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1、第二十五講 選 擇 題 的 解 法
一、題型特點(diǎn):
1.高考數(shù)學(xué)試題中,選擇題注重多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的小型綜合,滲透各種數(shù)學(xué)思想和方法,體現(xiàn)以考查“三基”為重點(diǎn)的導(dǎo)向,能否在選擇題上獲取高分,對(duì)高考數(shù)學(xué)成績(jī)影響重大.解答選擇題的基本要求是四個(gè)字——準(zhǔn)確、迅速.
2.選擇題主要考查基礎(chǔ)知識(shí)的理解、基本技能的熟練、基本計(jì)算的準(zhǔn)確、基本方法的運(yùn)用、考慮問(wèn)題的嚴(yán)謹(jǐn)、解題速度的快捷等方面. 解答選擇題的基本策略是:要充分利用題設(shè)和選擇支兩方面提供的信息作出判斷。一般說(shuō)來(lái),能定性判斷的,就不再使用復(fù)雜的定量計(jì)算;能使用特殊值判斷的,就不必采用常規(guī)解法;能使用間接法解的,就不必采用直接解;對(duì)于明
2、顯可以否定的選擇應(yīng)及早排除,以縮小選擇的范圍;對(duì)于具有多種解題思路的,宜選最簡(jiǎn)解法等。解題時(shí)應(yīng)仔細(xì)審題、深入分析、正確推演、謹(jǐn)防疏漏;初選后認(rèn)真檢驗(yàn),確保準(zhǔn)確。
3.解數(shù)學(xué)選擇題的常用方法,主要分直接法和間接法兩大類(lèi).直接法是解答選擇題最基本、最常用的方法;但高考的題量較大,如果所有選擇題都用直接法解答,不但時(shí)間不允許,甚至有些題目根本無(wú)法解答.因此,我們還要掌握一些特殊的解答選擇題的方法.
二、例題解析
1.直接求解法 涉及數(shù)學(xué)定義、定理、法則、公式的應(yīng)用的問(wèn)題,常通過(guò)直接演算得出結(jié)果,與選擇支進(jìn)行比照,作出選擇,稱(chēng)之直接求解法.
例1、 圓x2+2x+y2+4y-3=0上
3、到直線x+y+1=0的距離為的點(diǎn)共有( )
A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)
解 :本題的關(guān)鍵是確定已知直線與圓的相對(duì)位置,這就需對(duì)圓心到直線的距離作定量分析.將圓的方程化為(x+1)2+(y+2)2=(2)2,∴ r=2.∵ 圓心(-1,-2)到直線x+y+1=0的距離d==,恰為半徑的一半.故選C.
例2、設(shè)F1、F2為雙曲線-y2=1的兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)P在雙曲線上滿足∠F1PF2=90o,則△F1PF2的面積是( )
A.1 B./2
4、 C.2 D.
解 ∵ |PF1|-|PF2|=±2a=±4,∴ |PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=16,
∵ ∠F1PF2=90o,∴ =|PF1|·|PF2|=(|PF1|2+|PF2|2-16).
又∵ |PF1|2+|PF2|2=(2c)2=20.∴ =1,選A.
例3、 橢圓mx2+ny2=1與直線x+y=1交于A、B兩點(diǎn),過(guò)AB中點(diǎn)M與原點(diǎn)的直線斜率為,則的值為( )
A. B. C.1 D.
分析:命題:“若斜率為k(k≠0
5、)的直線與橢圓+=1(或雙曲線-=1)相交于A、B的中點(diǎn),則k·kOM=-(或k·kOM=),”(證明留給讀者)在處理有關(guān)圓錐曲線的中點(diǎn)弦問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用.運(yùn)用這一結(jié)論,不難得到:
解 ∵ kAB·kOM=-=-=-,∴ =-kAB·kOM=1·=,故選A.
2.直接判斷法
涉及有關(guān)數(shù)學(xué)概念的判斷題,需依據(jù)對(duì)概念的全面、正確、深刻的理解而作出判斷和選擇.
例1、甲:“一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面分別垂直于另一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面”,乙:“兩個(gè)二面角相等或互補(bǔ).”則甲是乙的( )
A.充分而非必要條件 B.必要而非充分條件
C.充
6、要條件 D.既非充分又非要條件
分析 顯然“乙T甲”不成立,因而本題關(guān)鍵是判斷
“甲T乙”是否成立?由反例:正方體中,二面角A1-AB
-C與B1-DD1-A滿足條件甲(圖31-1),但它們的度數(shù)
分別為90o和45o,并不滿足乙,故應(yīng)選D.
例2、下列四個(gè)函數(shù)中,既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù)的是( )
A.f(x)=x+lg B.f(x)=(x-1)
C.f(x)= D.f(x)=
解 由于選擇支B給出的函數(shù)的定義域?yàn)閇-1,1],該定義區(qū)
7、間關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱(chēng),故選B.
3、特殊化法(即特例判斷法)
例1.如右下圖,定圓半徑為a,圓心為 ( b ,c ), 則直線ax+by+c=0
與直線 x–y+1=0的交點(diǎn)在( B )
A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限
提示:取滿足題設(shè)的特殊值a=2,b=–3,c=1
解方程 得 于是排除A、C、D,故應(yīng)選B
例2.函數(shù)f(x)=Msin() ()在區(qū)間[a,b]上是增函數(shù),且f(a)=–M,
f(b)=M,則函數(shù)g(x)=Mcos()在[a,b]上( C )
A.是增函數(shù)
8、 B.是減函數(shù) C.可以取得最大值M D.可以取得最小值–M
解:取特殊值。令=0,,則
因,則,這時(shí), 顯然應(yīng)選C
例3.已知等差數(shù)列{an}的前m項(xiàng)和為30,前2m項(xiàng)和為100,則它的前3m項(xiàng)和為( C )
A.130 B.170 C.210 D.260
解:特殊化法。令m=1,則a1=S1=30,又a1+a2=S2=100 ∴a2=70, ∴等差數(shù)列的公差d=a2–a1=40,于是a3=a2+d=110, 故應(yīng)選C
例4.已知實(shí)數(shù)a,b均不為零,,且,則等于( B )
A. B.
9、 C.– D.–
提示:特殊化法。取,則 故應(yīng)選B
4、排除法(篩選法)
例1.設(shè)函數(shù),若f(x0)>1,則x0的取值范圍是( D )
A.(–1,1) B.(–1,+) C.(–,–2)(0,+) D.(–,–1)(1,+)
例2.已知是第三象限角,|cos|=m,且,則等于( D )
A. B.– C. D.–
例3.已知二次函數(shù)f(x)=x2+2(p–2)x+p,若f(x)在區(qū)間[0,1]內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)c,使f( c)>0,
則實(shí)數(shù)p的取值范圍是( C )
A.(1,4) B.(1
10、,+) C.(0,+) D.(0,1)
點(diǎn)評(píng):排除法,是從選擇支入手,根據(jù)題設(shè)條件與各選擇支的關(guān)系,逐個(gè)淘汰與題設(shè)矛盾的選擇支,從而篩選出正確答案。
5、數(shù)形結(jié)合法(圖象法) 根據(jù)題目特點(diǎn),畫(huà)出圖象,得出結(jié)論。
例1.對(duì)于任意x∈R,函數(shù)f(x)表示–x+3,,x2–4x+3中的較大者,則f(x)的最小值是( A )
A.2 B.3 C.8 D.–1
例2.已知向量,向量,向量,則向量與向量的夾角的取值范圍是( D )
A.[0,] B.[,] C.[,] D.[,]
例3.已知
11、方程|x–2n|=k(n∈N*)在區(qū)間[2n–1,2n+1]上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則k的取值范圍是( B )
A.k>0 B.0
12、存在一個(gè)實(shí)數(shù)c,使,則實(shí)數(shù)p的取值范圍是( C )
A.(1,4) B.(1,+∞) C.(0,+∞) D.(0,1)
解:取p=1代入檢驗(yàn)。
例3.(2004廣東)變量x,y滿足下列條件:
則使得z=3x+2y的值的最小的(x,y)是( B )
A.(4.5,3) B.(3,6) C.(9,2) D.(6,4)
解:一一代入檢驗(yàn)。代入運(yùn)算后比較大小。
7、推理分析法
通過(guò)對(duì)四個(gè)選擇支之間的邏輯關(guān)系的分析,達(dá)到否定謬誤支,肯定正確支的方法,稱(chēng)之為邏輯分析法,例如:若“(A)真 T (B)真”,則(A)必假,否則將與“只有一
13、個(gè)選擇支正確”的前提相矛盾.
例1 當(dāng)x?[-4,0]時(shí),a+≤x+1恒成立,則a的一個(gè)可能值是( )
A.5 B. C.- D.-5
解 ∵ ≥0, ∴ (A)真T(B)真T(C)真T(D)真, ∴ (D)真.
例3、已知sinq =,cosq =(<q <p),則tg=( ).
A. B.|| C. D.5
解 因受條件sin2q +cos2q =1的制約,故m為一確定值,于是sinq 、cosq 的值應(yīng)與m無(wú)關(guān),進(jìn)而推知
14、tg的值與m無(wú)關(guān),∵ <q <p, ∴ ?(,),∴ tg>1,故選(D).
注:直接運(yùn)用半角公式求tg,將會(huì)錯(cuò)選(A).若直接計(jì)算,由()2+()2=1,可得m=0或m=8,∵ <q <p, ∴ sinq >0,cosq <0,故應(yīng)舍去m=0,取m=8,得sinq =,cosq =,再由半角公式求出tg==5,也不如上述解法簡(jiǎn)捷.
三、練習(xí)
1已知點(diǎn)P(sinα-cosα,tanα)在第一象限,則在內(nèi)α的取值范圍為( B )
A B
C D
2一個(gè)直角三角形的三內(nèi)角成等比數(shù)列,則其最小內(nèi)角為( B )
A B C D
15、3若,則( B )
A B C D
4函數(shù)的反函數(shù)為( B )
A B
C D
5已知函數(shù)在[0,1]上是x的減函數(shù),則a的取值范圍為( B )
A (0,1) B (1,2) C (0,2) D
6.(07天津)設(shè)均為正數(shù),且,,.則( A?。?
A. B. C. D.
7設(shè)f(x)是定義在實(shí)數(shù)集R上的任意一個(gè)增函數(shù),且F(x)=f(x)-f(-x),那么F(x)應(yīng)為( A )
A 增函數(shù)且是奇函數(shù) B增函數(shù)且是偶函數(shù)
C 減函
16、數(shù)且是奇函數(shù) D減函數(shù)且是偶函數(shù)
解: 取f(x)=x,知F(x)=x-(-x)=2x,故選A。
8定義在上的奇函數(shù)為增函數(shù),偶函數(shù)在區(qū)間的圖象與的圖象重合,設(shè),給出下列不等式:
1)f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b) 2) f(b)-f(-a)g(b)-g(-a) 4) f(a)-f(-b)
17、 C D
10將直線3x-y+2=0繞原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)900,得到的直線方程為( A )
A x+3y+2=0 B x+3y-2=0 C x-3y+2=0 D x-3y-2=0
11已知集合A=,B=,C的則A、B、C的關(guān)系是( C ).
A. B.
C. D.
12集合{,1},{,1,2},其中{1,2,…,9}且,把滿足上述條件的一對(duì)有序整數(shù)()作為一個(gè)點(diǎn),這樣的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是(B)
(A)9 (B)14 (C
18、)15 (D)21
13已知函數(shù),,,R,且,,,則
的值(B)
(A)一定大于零 (B)一定小于零 (C)等于零 (D)正負(fù)都有可能
14已知1是與的等比中項(xiàng),又是與的等差中項(xiàng),則的值是 (D)
(A)1或 (B)1或 (C)1或 (D)1或
15平面直角坐標(biāo)系中,為坐標(biāo)原點(diǎn),已知兩點(diǎn)(2,-1),(-1,3),若點(diǎn)滿足其中0≤≤1,且,則點(diǎn)的軌跡方程為(C)
(A) (B)
19、
(C)(-1≤≤2) (D)(-1≤≤2)
16.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)在上為減函數(shù),且函數(shù)為偶函數(shù),則( D )
A. B. C. D.
17下列各圖是正方體或正四面體,P,Q,R,S分別是所在棱的中點(diǎn),這四個(gè)點(diǎn)中不共面的一個(gè)圖是(D)
(A) (B) (C) (D)
18如圖所示,單位圓中弧AB的長(zhǎng)為x,f(x)表示弧AB與弦AB
所圍成的弓形面積的2倍,則
20、函數(shù)y=f(x)的圖象是 ( D )
19為確保信息安全,信息需加密傳輸,發(fā)送方由明文密文(加密),接收方由密文明文(解密),已知加密規(guī)則為:明文對(duì)應(yīng)密文例如,明文對(duì)應(yīng)密文當(dāng)接收方收到密文時(shí),則解密得到的明文為(B)
(A) ?。˙) ?。–) (D)
20關(guān)于的方程,給出下列四個(gè)命題:
①存在實(shí)數(shù),使得方程恰有2個(gè)不同的實(shí)根;
②存在實(shí)數(shù),使得方程恰有4個(gè)不同的實(shí)根;
③存在實(shí)數(shù),使得方程恰有5個(gè)不同的實(shí)根;
④存在實(shí)
21、數(shù),使得方程恰有8個(gè)不同的實(shí)根.
其中假命題的個(gè)數(shù)是 (A)
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
21設(shè)是二次函數(shù),若的值域是,則的值域是( C )
A. B.
C. D.
22如果的三個(gè)內(nèi)角的余弦值分別等于的三個(gè)內(nèi)角的正弦值,則( D )
A.和都是銳角三角形
B.和都是鈍角三角形
C.是鈍角三角形,是銳角三角形
D.是銳角三角形,是鈍角三角形
23已知非零向量與滿足且則為(A)
(A)等邊三角形 ?。˙)直角三角形
22、
(C)等腰非等邊三角形 ?。―)三邊均不相等的三角形
24已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為,,是準(zhǔn)線上一點(diǎn),且,,則雙曲線的離心率是( B?。?
A. B. C. D.
O
M(,)
25如圖,平面中兩條直線和相交于點(diǎn)O,對(duì)于平面上任意一點(diǎn)M,若、分別是M到直線和的距離,則稱(chēng)有序非負(fù)實(shí)數(shù)對(duì)(,)是點(diǎn)M的“距離坐標(biāo)”.已知常數(shù)≥0,≥0,給出下列命題:
①若==0,則“距離坐標(biāo)”為(0,0)的點(diǎn)
有且僅有1個(gè);
②若=0,且+≠0,則“距離坐標(biāo)”為
(,)的點(diǎn)有且僅有2個(gè);
③若≠0,則“距離坐標(biāo)”為(,)的點(diǎn)有且僅有4個(gè).
上述命題中,正確命題的個(gè)數(shù)是( D )
(A)0; (B)1; (C)2; (D)3.
26(06江西)對(duì)于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f(x),若滿足(x-1)30,則必有( C )
A. f(0)+f(2)<2f(1) B. f(0)+f(2)£2f(1)
C. f(0)+f(2)32f(1) D. f(0)+f(2)>2f(1)