全向輪運動平臺分析

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1、全輪轉(zhuǎn)向式小車 ?、坐標(biāo)系與位置表示 I > A X) 圖1地理坐標(biāo)系與體坐標(biāo)系 定義如圖所示的坐標(biāo)系，地理坐標(biāo)系｛ &, hh體坐標(biāo)系｛Xy Yr｝,坐標(biāo)之間 夾角 為0, P點位置描述為 rX-i 山地理坐標(biāo)轉(zhuǎn)為體坐標(biāo)的映射山正交旋轉(zhuǎn)矩陣完成 ER = R ⑹ 5 = 反方向變換矩陣如下 R⑹7 = ■ cosO -sine .0 sinO cosO 0 0 0 1. cosO -sine O' sinO cosO 0 0 0 1. 知二y x- y 3」 二、運動學(xué)模型與控制律 2.1 全向輪直角坐標(biāo)運動學(xué)方程

2、 實際位姿 V 圖2軌跡跟蹤示意圖 坐標(biāo)系參照圖2,對于地理坐標(biāo)中的位置指令廠 的誤差在體坐標(biāo)系中表不出來 二(Xryr0r)和速度指令卬=(Vr將對應(yīng) /Xe\ 屬=% \A/ 對上式求導(dǎo)的到⑴： (cosO sinO 0\ /xr ~ x\ -sinO cosO 0 7r - y \ 0 0 1/ \0r - OJ Xe = (Xr — x)cosO - (%r — x)sinOO + (y「- yAsinO + (y r - y)cosOO =y eO) - (xcosO + ysinO) + VrCosOrCosO + v「sinO「sinO =y eO)

3、 -Vx + v r cos( e 廠 - 0) =y ea) -Vx + v r cos Oe ye = -(x r - x)sinO - (xr - x)cos0O + (yr - y)cosO 一( % - y)sin60 = -x &a) + (xsinO - ycosO) - VrcosOrsinO + VrsinOrcosO =-xe o)-Vy + Vr sin Oe 將上式合并寫出得到位置誤差微分方程 yeo) - Vx + Vr cos0e-xea)- Vy + Vr sin Oe 0)L(JL) 2.1.1 全向輪宜角坐標(biāo)下控制律設(shè)計 設(shè)雅普諾夫函數(shù)為 %

4、 = *( 龍 + % + %) 求其導(dǎo)數(shù)如下，當(dāng)漸進穩(wěn)定時導(dǎo)數(shù)小于 0； % = I + y eye + oe6e 乂 e =一眼 1^j7@= -kyy@、￡ = 0e 上式系數(shù)為正時，雅普諾夫函數(shù)的導(dǎo)數(shù)小于零，系統(tǒng)漸進穩(wěn)定 代入微分方程得 到控制律如下： vx = yeo) + vr cos 0e + kxxe vy = -x eo) + vr sin 0e + kyye o) = o) r + k e0e 2.2 差動輪直角坐標(biāo)運動學(xué)方程 差動輪與全向輪的區(qū)別是，全向輪小車速度方向與四個輪子的共同朝向相同 為任意方向，而差動輪小車的切向速度方向與 x軸重合，故方

5、程中s=o,微分 方程如 下： y //n?\ e e g g e ?% yea) -v + vr cos 0e -xea) + 壞 sin 0e o) r — 0) 2.2.1 差動輪直角坐標(biāo)下控制律設(shè)計 選擇 Lyapunov 函數(shù)如下： P 2 =才顯 + 廿)+ 士(1 一 COS8J 對上式沿求導(dǎo)： 1 . V2=x exe+y eye + -0 es\n0e =尢 - v + vr cos 0g) + ye(-xe(jo + v r sin 0e) + — s)sin&e K 1 1 =-x ev + xevr cos 0e +

6、 yevr sin 0e + -b ) r sin 0e - -to sin 0eK K 11 =-XeV + XeVr COS 0e + y eVr sin 0e + -0 ) r sin 0e --a) sin 0e 選擇如下速度控制 輸入： v = vr Cos 0e + kxxe o) = o)r + vr(kye + kesinOe) 將上式代入 Lyapunov 函數(shù)導(dǎo)數(shù)得到： V2 = -kxXA — A-VrSin2 0e 當(dāng)上式系數(shù)為正時，P 2 S 0,故以上Lyapunov函數(shù)選擇正確。 山此得到基于運動 學(xué)模型的軌跡跟蹤速度控制律為［習(xí): Vr CO

7、S 0e + k xXe o) r + Vr(kye + keSinOey 其中，k,際，褊為控制器參數(shù)。 2.2.2控制器參數(shù)選取 將控制律代入微分方程得下式： yeAr + V r(kye PR = + 島 sine- kxXe -Xe(a) r + V r(kye + k eSinOe)) + V r Sin Qe -Vr(kye + k eSinOe) 上式在零點附近線性化，忽略高次項得 PR= APR ~kx —31 0 a)r 0 vrk 系數(shù)值與角速度和速度指令值共同決定系統(tǒng)根, 0 \ % I -vrke J 當(dāng)系數(shù)為正是所有根為

8、負(fù)數(shù)。 2.3對比仿真與結(jié)果 仿真系統(tǒng)結(jié)果圖如下: 圖3軌跡跟蹤結(jié)構(gòu)圖 圖中q=(v 3" v. 3分別為移動機器人的線速度和角速度,丹=(x y 0)T,對于差動機器人 運動學(xué)方程可表示為： cosO =sinO .0 O' o ]=JQC 1. cosO 圖中J二sinO O' 0 ■爐旌 1. Qc = q; 對于全向輪機器人運動學(xué)方程可表示為 X- /cosO y =I sinO 6 ' 0 對角速度為0. 2和線速度為5的圓形軌跡進行跟蹤，仿真結(jié)果如下圖 -sinO cosO 1/ LQ 71 =R (6)-1 Lg 40 3S

9、 30 25 20 15 10 5 0 -5 .20 -10 0 10 20 圖4圓形軌跡跟蹤仿真圖 圖中X點線為差動輪跟蹤軌跡，。點線為全向輪跟蹤軌跡。 :、全向輪平臺的設(shè)計 對全向輪采用如下圖所示的結(jié)構(gòu)時，進行系統(tǒng)分析與設(shè)計 圖5互補型全向輪(onuii wheels) 3.1 運動學(xué)模型 義冒 2 圖6全向輪式移動機器人運動學(xué)模型 移動坐AXe-Ye固定在機器人重心上，而質(zhì)心正好位于兒何中心上。機器人 P點在 全局坐標(biāo)系的位置坐標(biāo)為： （xyO）,三個全向輪以3號輪中心轉(zhuǎn)動軸反 方向所為機 器人的X軸。假設(shè)三個全向輪完全相同，三個全向

10、輪中心到車體中 心位置的距離 L。在移動坐標(biāo) XQ —YQ的速度用以。表示。 山文獻［3］可得三個全向輪的速度與其在移動坐標(biāo)和全局坐標(biāo)系下的速度分 之間的關(guān)系分別為以下二式： /14\ / sin(60) cos(60) I A2 ) = I -sin(60) cos(60) W3 o -1 cos(60 - &) L\ /x\ =Ta 3X3Q /V\\ ( sin(60 - 0) I A2 I = ( -sin(60 + 0) \vj \ cos(60 + &) L y sine -cose u \o' 3.2 動力學(xué)模型 在移動坐標(biāo)屁-匕中，設(shè)機器人在沿軸屁和匕方向

11、上收到的力分別為 Fxe和 FYe第1、2、3號驅(qū)動輪提供給機器人的驅(qū)動力分別為 fl、刈、f3,機器人慣性轉(zhuǎn) 矩 為M,根據(jù)牛頓第二定律可得到如下的動力學(xué)方程： mxe m必= 10 - LM J cos(30) sin(30) L -cos(30) sin(30) L A1 滄- AJ V3 V3- 2 1 - 2/ - 1 -2_L 手)/ 2 - T r/xlELAJ =Tt>3X3( 2 E 在地理坐標(biāo)系X-Y下的方程如下 mx IO-y cos(30 + &) sin(30 + 0) -cos(30 - 0) sin(3

12、0 sinO -&) -cosO L L 33基于動力學(xué)模型的控制器設(shè)計 如上式所示，基于機器人動力學(xué)模型的控制方案， 宜接根據(jù)機器人的動力學(xué) 模型 設(shè)il?運動控制器，控制器的輸出為機器人上驅(qū)動電機的驅(qū)動電壓。基于動力 學(xué)模型 的控制方案，不需對驅(qū)動電機進行底層的速度控制，消除了底層速度控制 帶來的延 時。 山動力學(xué)方程： V3 mxe m必 10 - 可知在體坐標(biāo)系中各個方向上的控制輸入輸出是獨立的并且相互之間無耦 合； 于是可在體坐標(biāo)中對各個控制M分別進行控制。 當(dāng)以各個電機電壓作為控制M U時，對控制M U進行矩陣變換Tb3X3 ［/后可 得 到各個方向控

13、制M Fi尸Tgy"。先對系統(tǒng)參數(shù)［m刀進行辨識，得到山控制 i Fu到 速度V的傳遞函數(shù)；然后設(shè)計 Fu的控制器，進過變 ma3/3Fu后得至I」各個電機的 控制M U =Ta3X3Fu o速度控制指令％唄3由第2節(jié)控制律求得。 3.4 基于編碼器的位姿推算 圓弧模型在文獻［4］中介紹機器人里程訃圓弧模型是把移動機器人在運動過 程 中的實際軌跡通過圓弧去逼近。 圖7平臺樣品示意圖⑸ ! W X 僦/)\ X ? I % I 圖8采樣期間的圓弧運動軌跡 圖中A(Xn, yn9 0n) NB(X n+p yn+p On+l)分別為在采樣時間間隔起始點與終點 的位姿坐標(biāo),

14、L(ASA + ASl) %N+1 = & + 2(AS R - ASJ Y，N+1 ?yn ?2(asa-as l) \sr — as ； [021 =O n + ——— / AS? — AS； \ 叫四 十」y__- sinC △Sr - ASl、 cos On + L - J -COSOn AB為采樣期間的圓弧軌跡，利用圖中兒何關(guān)系可以得到運動軌跡 為圓弧時的推算公式如下： 當(dāng)ASr -AS A較小時可采用宜線模型 ?An+1 = + 2 "嚴(yán)％+陰+啦 .i n ,、SR — AS L ' 2 、Sr — AS/ 0+1 = 0 n + - 隨著移動

15、距離的增加，誤差逐漸加大，其誤差的來源主要包括系統(tǒng)誤差和非 系統(tǒng) 誤差。系統(tǒng)誤差跟實際采用的器件的精度和測M上的誤差等方面產(chǎn)生的：非 系統(tǒng)誤 差是在移動過程中隨機發(fā)生的誤差，主要包括 ：測位輪子的打滑、路況等。 山于非系統(tǒng)誤差不容易消除， 因此，這里將通過實驗的方法來校準(zhǔn)機構(gòu)的安 裝精 度，減小因系統(tǒng)誤差對定位精度產(chǎn)生較大影響。 影響測M誤差的主要參數(shù)是編碼器輸出一個脈沖對應(yīng)輪子運動的距離廠和兩 個 定位輪之間的距離L, r和L精度校正的具體方法和實現(xiàn)步驟如下： 編碼器一個脈沖代表定位輪運行的距離廠校正方法：使兩個定位輪在室平面 上 沿著一條5米長度的宜線運行，編寫軟件程序，對與定

16、位輪同軸相連的兩個 自山編碼 器的輸出脈沖進行計數(shù)，將該數(shù)值記錄左右自山編碼器輸出脈沖個數(shù) NL和NR,根據(jù) 公式 5000 r = (Nl+Nr) /2mm 求出每次測M計算得到r的值，再取平均值即可。經(jīng)過多次測試實驗結(jié)果列 表。 定位輪之間的距離L校正方法：在平地上，使測位裝置從莫一起始位置出發(fā)， 順 時針或逆時針旋轉(zhuǎn)n周后再回到該出發(fā)位置，記下在該過程與左右定位輪相連 的編 碼器輸出的脈沖數(shù)分別為 NR,根據(jù)公式 (M —必)來r L = 27m 求出每次測M計算得到 L的值，再取平均值即可。經(jīng)過多次測試兩定位輪之 間 距離L校正實驗列表。 四、Mecanum輪

17、平臺的設(shè)計 Mecanum輪采用滾輪與軸線成45?夾角的結(jié)構(gòu)，如下圖所示 圖9麥克納姆輪(Mecanum wheels) 假設(shè)圖中小翟子可沿徑向自山滾動，而沿軸向與地面無滑動。 4.1 運動學(xué)模型 圖10麥克納姆輪移動機器人運動學(xué)原理圖 山文獻［6］可得四個輪

18、的速度與其在移動坐標(biāo)系下的速度分M之間的關(guān)系為 下式，其中W為車半寬，L為車半長： (%, =Ta4x3 (Vye \ b) 其逆變換如下 Tb3\4XTa4 <3=1 股4// |\ 4.2 動力學(xué)模型 在移動坐標(biāo)X。-匕中，設(shè)機器人在沿軸/和匕萬向上收到的力分別為 Fxe和 FYe第1.2、3和4號驅(qū)動輪提供給機器人的驅(qū)動力分別為 fl、fl. f3和f4,機 器人慣性 轉(zhuǎn)矩為M,根據(jù)牛頓第二定律可得到如下的動力學(xué)方程： 事 ? mx^ ，嘰 -10 - Fxe FYe M . 1 1 1 L + W 1 1 -1 1 f

19、2 -1 -1 L + W L + W A- =Tb 3X4 上式驅(qū)動力逆變換為 /11RL4J L + W \ -L- W\ -L-W L + W ' LM J =Ta4X3 % 尸丫@ LM J 模 學(xué)模 帶來的 ? ? mye 10」 \lTw 1 -1 —1 L + W 1 1-1 il 4.3 基于動力學(xué)模型的控制器設(shè)計 如上式所示，基于機器人動力學(xué)模型的控制方案，宜接根據(jù)機器人的動力學(xué) 型設(shè)計運動控制器，控制器的輸出為機器人上驅(qū)動電機的驅(qū)動電壓?；趧恿? 消除了底層速度控制 型的控制方案，不需對驅(qū)動電機進行

20、底層的速度控制, 延時。 由動力學(xué)方程： 合; 可知在體坐標(biāo)系中各個方向上的控制輸入輸出是獨立的并且相互之間無耦 于是可在體坐標(biāo)中對各個控制量分別進行控制。 當(dāng)以各個電機電壓作為控制M U時，對控制M U進行矩陣變換Tb3X4(7后可 得到在體坐標(biāo)系中的各個方向控制M Fu=Tb3X4(/o先對系統(tǒng)參數(shù)［m 進行辨 識，得到111控制M Fu到體坐標(biāo)速度V的傳遞函數(shù)：然后設(shè)訃 Fu的控制器，進過 變換Ta4X3Fu后得到各個電機的控制M U =Ta4x?Fu。速度控制指令VxeVye由第2節(jié)控制 律求得。 4.4 基于三全向輪編碼器的位姿推算 圓弧模型在文獻［5］中介紹機器

21、人里程計圓弧模型是把移動機器人在運動過 程中的 實 際 軌 跡 通 過 圓 弧 去 逼 近。 圖7平臺樣品示意圖⑹ Ow 圖8采樣期間的圓弧運動軌跡 由于三輪全向機器人具有完整約束動力學(xué)特性 [23-25],因此采用三個編碼器才可 以得到機器人平面運動的三自山 度信息，即機器人的坐標(biāo)信息 PcOccycA) o 圖中A( “n何)和何+1)分別為在采樣時間間隔起始點與終點 的位姿坐標(biāo)， AB為采樣期間的圓弧軌跡，利用圖中兒何關(guān)系可以得到運動軌跡 為圓弧時的推算公式如下： sin 億+魚冷-s 呃(* 4 - \Sl XN+1=%N2(ASR -ASJ .

22、,=,L (AS R + ASJ YN+1 % 2(ASA- — — cos -cosOn AS l). ASn — ASr [On + 1 = 0 n + - 當(dāng)ASR -ASe較小時可采用宜線模型 =foj + 2 cos [0 n + - @SR + ASJ . ( 'SR - \SL' 次田=% + -2-sm 嚴(yán) + ——L—— △ Sr — \Sl Vn+1 = %+ 隨著移動距離的增加，誤差逐漸加大，其誤差的來源主要包括系統(tǒng)誤差和非 系統(tǒng) 誤差。系統(tǒng)誤差跟實際采用的器件的精度和測M上的誤差等方面產(chǎn)生的：非 系統(tǒng)誤 差是在移動過程中隨機發(fā)生的誤差，主要包括

23、：測位輪子的打滑、路況等。 山于非系統(tǒng)誤差不容易消除， 因此，這里將通過實驗的方法來校準(zhǔn)機構(gòu)的安 裝精 度，減小因系統(tǒng)誤差對定位精度產(chǎn)生較大影響。 影響測M誤差的主要參數(shù)是編碼器輸出一個脈沖對應(yīng)輪子運動的距離廠和兩 個 定位輪之間的距離L, r和L精度校正的具體方法和實現(xiàn)步驟如下： 編碼器一個脈沖代表定位輪運行的距離廠校正方法：使兩個定位輪在室平面 上 沿著一條5米長度的宜線運行，編寫軟件程序，對與定位輪同軸相連的兩個 自山編碼 器的輸出脈沖進行計數(shù)，將該數(shù)值記錄左右自山編碼器輸出脈沖個數(shù) NL和NR,根據(jù) 公式 5000 7'=(皿+必)/2吶 求出每次測M計算得到廠的值

24、， 再取平均值即可。經(jīng)過多次測試實驗結(jié)果列 表。 定位輪之間的距離L校正方法：在平地上，使測位裝置從莫一起始位置出發(fā)， 順時針或逆時針旋轉(zhuǎn)n周后再回到該出發(fā)位置，記下在該過程與左右定位輪相連 的 編碼器輸出的脈沖數(shù)分別為 NR,根據(jù)公式 (M -Sr 2m 求出每次測量計算得到 L 的值，再取平均值即可。經(jīng)過多次測試兩定位輪之 間 距離 L 校正實驗列表。 參考文獻： [1] 金琨 ?滑模變結(jié)構(gòu)控制 MATLAB 仿真 [M]. ： 清華大學(xué)， 2005. [2] Y. Kanayama? Y. Kimura, F. Miyazaki. T. Noguchi. A stabl

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