廣東省高三數(shù)學(xué) 第6章第1節(jié) 正弦定理和余弦定理復(fù)習(xí)課件 文

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1、考綱要求高考展望掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題解三角形可以看成是三角恒等變換的延續(xù)和應(yīng)用，用到三角恒等變換的基本方法，同時(shí)它是對(duì)正、余弦定理，三角形面積公式等的綜合應(yīng)用由于近年高考命題強(qiáng)調(diào)以能力立意，加強(qiáng)對(duì)知識(shí)綜合性和應(yīng)用性的考查，故三角形問(wèn)題常常與其他數(shù)學(xué)知識(shí)相聯(lián)系，既考查解三角形的知識(shí)與方法，又考查運(yùn)用三角公式進(jìn)行恒等變換的技能及三角函數(shù)的應(yīng)用意識(shí)預(yù)計(jì)2012年的高考，一是在小題里考查三角形內(nèi)的數(shù)值關(guān)系問(wèn)題，二是以解答題形式考查三角形中正、余弦定理和三角恒等變形、向量等知識(shí)的綜合運(yùn)用，三是

2、利用解三角形解決測(cè)量長(zhǎng)度、高度、角度等實(shí)際問(wèn)題.2221. A 60B 45135C 120D 30ABCacbabC在中，若，則角 為 或A2221cos26.220abcabCabaCbC由余弦定理得，又角解析：所以是三角形的內(nèi)角，2.86075 32A. 4 2B. 4 3C. 4 6D.3ABCaBCb 在中，則 等于C607545 .sinsin8sin604.sin45BCAbaBAb 解析：由，得由正弦定理得，則22223.sinsin2cos cos ABCDABCbCcBbcBCABC在中，若，則是銳角三角形直角三角形鈍角三角形等邊三角形B22222224sinsin4sin

3、sin8sinsincoscos .sinsin0sinsincoscoscos0.022RCBRCBRBCBCBCBCBCBCBCBCAABC由正弦定理得因?yàn)?，所以，即因?yàn)?，所以，故，即為直角解析：三角形14.3cos2.ABCaAABC 在中，若，則的外接圓的半徑是1 cos23sin.32.22.AAABCAABCRaRsinAR 因?yàn)椋?是的內(nèi)角，所以設(shè)的外接圓的半徑為由正弦定理，得，所以半徑解為析：335.232 .ABCbcA 已知的面積為 ，且，則1 sin23132 3 sinsin.222.60120ABCSbcAAAAAABC因?yàn)?，所以，所以又角解析：或是的?nèi)角，所以6

4、0120或三角形解的個(gè)數(shù)的判定 182444()A.:BD.1.C.ABCabA在中，若，則此三角形解的情況為 無(wú)解兩解一解例題不能確定2 sinsin44sin4524212 2824nB1sibAbbbAab 因?yàn)?，所以，所以此三角形有兩解解析：答案?()ABCabaA AABC反思小在中，已知兩邊 、 和其中一邊 的對(duì)角為銳角，則的解的結(jié)：情況如下：sinsinsinabAabAbAabab無(wú)解一解兩解 一解.8010045 A.B.C.D.ABCABCabcabA在中，角 、 、 所對(duì)的邊分別為、 、 若，拓展練習(xí)：，則此三角形解的情況為無(wú)解一解兩解一解或無(wú)解 sin100 sin4

5、550 280100siCn.bAbAab 因?yàn)椋?，則此三角形有兩解解，析：故選正弦定理與余弦定理 2 sin .13 32722ABCabcABCacACcABCab在銳角中， 、 、 分別為角 、 、 所對(duì)的邊，且確定角 的大小；若，且的面積為，求例題 ：的值 2 132 sin.sin33sin0.3sin.2asinAsinAacAcCACABCC由及正弦定理，得因?yàn)?，所以因?yàn)槭卿J角三角形，所以解析： 22222227313 3sin6.2322cos737.3.12. 575abcCababababababababab因?yàn)?，故由面積公式得，即由余弦定理得，即由變形得將代入故方得，

6、法 ：222242221.7136613360549.0023322.abababababbaaaaabaabbab前同方法聯(lián)立得，消去 并整理得，解得或又，所以或，故方法 ：()()解三角形時(shí)，正弦定理可用于解決角角邊、角邊角、邊邊角 這種情況要討論解的情況 ；余弦定理多用于解決邊角邊、邊邊邊、邊邊角 建立方程求解 并注意在三角形中，已知余弦值則角唯一確定，而已知正弦值時(shí)角未能唯反思小結(jié)：一確定 22 3202cos1.12ABCBCaACbabxxABCAB拓展練習(xí)：在中， 、 是方程的兩個(gè)根，且求：角 的大??；的長(zhǎng)度 2222222221coscos1cos.22 3222cos2cos

7、120(2 3)21201010.CABABababABACBCAC BCCabaCAbababababB 因?yàn)?，所以由題設(shè)知，所以，所以解析：判斷三角形的形狀2 cos()AB3CDABCabcABCabC在中， ， ， 分別為角 ， ， 的對(duì)邊若，則此三角形一定是 等腰直角三角形直角三角例題形等腰三角形等腰或直：角三角形222222222222 sin2 2 sincos .sin2sin cossin coscos sin0sin0.C.0.12abcababaabcbcABCRARBCABCBCBCBCBCBCBCABCBCBCBC由余弦定理得，則，即，所以為等腰三角形，由正弦定理將原

8、式化為由，有，展開得解，即因?yàn)?、 為三角形的內(nèi)角，則，方法 ：所以，即析：方法 ：選ABC為等腰故可得三角形 “”“”判斷三角形的形狀，應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、鈍角三角形或銳角三角形要特別注意 等腰直角三角形 與 等腰三角形或直角三角形的區(qū)別依據(jù)已知條件中的邊角關(guān)系判斷時(shí)，主要有如下兩反思小結(jié)：條途徑： 12ABC利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系，過(guò)因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀；利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為內(nèi)角的三角函數(shù)間的關(guān)系，通過(guò)三角恒等變換，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷出三角形的形狀此時(shí)要注意應(yīng)用

9、這個(gè)結(jié)論，并優(yōu)先考查最大角在這兩種解法的等式變形中，一般兩邊不要約去公因式，應(yīng)移項(xiàng)提取公因式，以免漏解sinsinsin3 4 30 ABCDABCABCABC在中，若 ，則是銳角三角形直角三角形鈍角三角形等拓展練習(xí)：邊三角形C2222 sin2 sin2 sin3 430.3430cos02RA RB RCa b ccatbtctabcCabABC由正弦定理得 ，易得最大邊為設(shè)，則，故為鈍角解析：三角形正弦定理余弦定理面積公式的靈活應(yīng)用 2.74sincos257.2212ABCA B Ca b cA BCa bcCABC 例題4 在中，角 、 、 的對(duì)邊分別為 、已知，求角 的大?。磺螅旱?/p>

10、面積 2222118074sincos22274coscos2221 cos742cos12214cos4cos10cos.201860 .0ABCABCCCCCCCCCC 因?yàn)?，故由，得，所以，整理，得，解得，所以解為：因?22222222cos7732536.31sin2113sin36.22232ABCcababCababababababCSabC由余弦定理得，即，所以，得又由知，所以 本題將三角恒等變換、求值與解三角形綜合一起考查，這是近幾年高考的一種命題趨勢(shì)，注意綜合運(yùn)用應(yīng)用正弦定理進(jìn)行邊角互化，利用三角公式進(jìn)行角的統(tǒng)一，達(dá)到化簡(jiǎn)的目的在解三角形中，利用正、余弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化是解

11、題的基本方法在三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值中，常要重視角的統(tǒng)一，函數(shù)的統(tǒng)一，降次思想反思小結(jié)：的應(yīng)用 .16 3ABCABCabcABCbAxacf xxf x 在中，角 、 、 所對(duì)的邊分別是、 、 若 、 、 成等差數(shù)拓展練習(xí)列，記角，當(dāng)， 時(shí)，求：的取值范圍2.2.331sinsinsin11sinsinsinsin33ABCBACABCABCBACabcABCbABCacAC由 、 、 成等差數(shù)列，得因?yàn)樵谥?，于是解得，從而因?yàn)樵谥?，所以解析?2 32sinsin()332 322(sinsincoscossin)3333sincos2sin()62sin()6326333 262AAAAA

12、AAAf xxxxf xf x，即由，得，于是，即的取值范圍為， 112 sin2 sin2 sinsinsinsin222sinsinsin.aRAbRBcRCabcABCRRRab cABC正弦定理：變形公式：化邊為角：，；化角為邊：，； 2 基本題型：已知一邊兩角，解三角形：先由內(nèi)角和定理求第三角，再用正弦定理，有解時(shí)只有一解已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，解三角形：先由正弦定理求另一邊的對(duì)角，再由內(nèi)角和定理與正弦定理求其余的邊與角在已知三角形兩邊一對(duì)角，求解三角形時(shí)，若運(yùn)用正弦定理，則務(wù)必注意可能有兩解22.111sinsinsin2222sin sin sin.43222222SabCbc

13、AcaBabcSRABCRABCABCCABCABCAB三角形面積公式：；.三角形內(nèi)角和定理：在中， 41sinsincoscostantan2 sincoscossin2222tantantantantantan3coscossinsinABCABCABCABCABCABCABCABCABCbaCcAABCABAB .三角形中的基本關(guān)系：在中：，；，；在中,，在中,， 2222222225cos21cos2cos2bcaAbcacbBacabcCab余弦定理：變形： 2 基本題型：已知三邊，解三角形：由余弦定理和內(nèi)角和定理求角，在有解時(shí)只有一解已知兩邊及夾角，解三角形：先由余弦定理求第三邊，

14、再由正弦定理與內(nèi)角和定理求角，有一解已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，可建立方程求解，并注意到在三角形中，已知余弦值則角唯一確定，所以這種方法可避免討論 2222222223.61sinsinsincos.222CabcCabcCabcABCABCABCABC余弦定理是勾股定理的推廣：判斷 為銳角， 為直角，為鈍角特別提醒： 求解三角形中的問(wèn)題時(shí)，一定要注意這個(gè)特殊性：，求解三角形中含有邊角混合關(guān)系的問(wèn)題時(shí)，常運(yùn)用正弦定理、余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化1.1()A 2sin2cos2 B sincos3 C 3sinc(2010)os1D 2sincos1某班設(shè)計(jì)了一個(gè)八邊形的班徽，如圖所示，它由腰長(zhǎng)為 ，頂

15、角為 的四個(gè)等腰三角形及其底邊構(gòu)成的正方形所組成該八邊形的面積為 .北京卷22141 1 sin2sin .2112 1 1 cos22cos22cos .2sin2 oA c s2. 四個(gè)等腰三角形的面積之和為由余弦定理可得正方形的邊長(zhǎng)為，故正方形的面積為所以所求八邊形的面積為解析：答案：1.32135 .2_().2010ABCDBCBCBDADADBACABBD在中， 為邊上一點(diǎn)，若，則全國(guó)新課標(biāo)卷12222222222 .222cos13524222 2cos 4522212025.25.25ABxBDyDCyACxxyyxyyxyyxyyyyBD設(shè)，則，由余弦定理得即解析：答由故案：，解得(2010)2.120()A.B.C.D.ABCABCabcCcaabababab在中，角 ， ， 所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為 ， ， 若，則 與 的大小關(guān)系湖南卷不能確定A22222222120212cos22()2.0A00.CcacababCaabababababababababababab因?yàn)?，所以，即，所以，所以因?yàn)?，所以，所以解析：答案：本?jié)內(nèi)容的高考試題主要考查運(yùn)用正、余弦定理解三角形的能力.注意數(shù)形結(jié)合,合理選擇正、余選題感悟：弦定理