高考新坐標(biāo)高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第八章 第7節(jié) 拋物線課件

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1、啟啟智智慧慧高高考考研研析析課課后后限限時時自自測測固固基基礎(chǔ)礎(chǔ)自自主主落落實實提提知知能能典典例例探探究究第七節(jié)拋物線考綱傳真1掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單的幾何性質(zhì)2.理解數(shù)形結(jié)合的思想3.了解拋物線的實際背景及拋物線的簡單應(yīng)用1拋物線的定義平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)圖形范圍x0，yRy0，xRy0，xR焦點坐標(biāo)p2，00，p2準(zhǔn)線方程xp2yp2離心率e1焦半徑|PF|x0p2y0p2y0p2Rx0，yx02(p)1

2、(夯基釋疑)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡一定是拋物線()(2)方程 yax2(a0)表示的曲線是焦點在 x 軸上的拋物線， 且其焦點坐標(biāo)是a4，0，準(zhǔn)線方程是 xa4.()(3)拋物線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形()(4)AB 為拋物線 y22px(p0)的過焦點 Fp2，0的弦，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 x1x2p24，y1y2p2，弦長|AB|x1x2p.()解析由拋物線定義、性質(zhì)可知(1)，(2)，(3)錯誤，(4)正確答案(1)(2)(3)(4)2(教材改編)設(shè)拋物線的頂點在原點，準(zhǔn)線方

3、程為 x2，則拋物線的方程是()Ay28xBy28xCy24xDy24x解析因為拋物線的準(zhǔn)線方程為x2，所以p22，所以 p4，所以拋物線的方程是y28x.答案B3(2014安徽高考)拋物線 y14x2的準(zhǔn)線方程是()Ay1By2Cx1Dx2解析y14x2，x24y.準(zhǔn)線方程為 y1.答案A4拋物線 y28x 的焦點到直線 x 3y0 的距離是()A2 3B2C. 3D1解析拋物線 y28x 的焦點為 F(2，0)，則 d|2 30|12（ 3）21答案 D5已知點 A(2，3)在拋物線 C：y22px 的準(zhǔn)線上，記 C 的焦點為 F，則直線 AF 的斜率為_解析點 A(2，3)在拋物線 C

4、的準(zhǔn)線上，p22，p4.焦點 F(2，0)因此 kAF302234.答案34考向 1 拋物線的定義及應(yīng)用【典例 1】(1)(2014課標(biāo)全國卷)已知拋物線 C：y2x的焦點為 F，點 A(x0，y0)是 C 上一點，|AF|54x0，則 x0()A1B2C4D8(2)已知拋物線 y24x，過焦點 F 的直線與拋物線交于 A、B兩點， 過 A、 B 分別作 y 軸的垂線， 垂足分別為 C、 D， 則|AC|BD|的最小值為_解析(1)由 y2x，知 2p1，即 p12，因此焦點 F14，0，準(zhǔn)線 l 的方程為 x14.設(shè)點 A(x0，y0)到準(zhǔn)線 l 的距離為 d，則由拋物線的定義可知d|AF|

5、.從而 x01454x0，解得 x01.、 、(2)由 y24x，知 p2，焦點 F(1，0)，準(zhǔn)線 x1.根據(jù)拋物線的定義，|AF|AC|1，|BF|BD|1.因此|AC|BD|AF|BF|2|AB|2.所以|AC|BD|取到最小值，當(dāng)且僅當(dāng)|AB|取得最小值，又|AB|2p4 為最小值故|AC|BD|的最小值為 422.答案(1)A(2)2,【規(guī)律方法】1凡涉及拋物線上的點到焦點距離時，一般運用定義轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線距離處理 如本例充分運用拋物線定義實施轉(zhuǎn)化，使解答簡捷、明快2 若 P(x0， y0)為拋物線 y22px(p0)上一點， 由定義易得|PF|x0p2；若過焦點的弦 AB 的端點坐標(biāo)

6、為 A(x1，y1)，B(x2，y2)，則弦長為|AB|x1x2p，x1x2可由根與系數(shù)的關(guān)系整體求出【變式訓(xùn)練 1】(2014課標(biāo)全國卷)設(shè) F 為拋物線 C：y23x 的焦點，過 F 且傾斜角為 30的直線交 C 于 A，B 兩點，則|AB|()A.303B6C12D7 3解析F 為拋物線 C：y23x 的焦點，F(xiàn)34，0.AB 的方程為 y0tan 30 x34 ，即 y33x34.聯(lián)立y23x，y33x34，得13x272x3160.x1x27213212，即 xAxB212.由于|AB|xAxBp，所以|AB|2123212.答案C考向 2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)【典例 2】(1)

7、(2014上海高考)若拋物線 y22px 的焦點與橢圓x29y251 的右焦點重合，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為_(2)設(shè)拋物線 C：y22px(p0)的焦點為 F，點 M 在 C 上，|MF|5.若以 MF 為直徑的圓過點(0，2)，則 C 的方程為()Ay24x 或 y28xBy22x 或 y28xCy24x 或 y216xDy22x 或 y216x解析(1)由橢圓x29y251，知 a3，b 5，c2a2b24，c2.因此橢圓的右焦點為(2，0)，又拋物線 y22px 的焦點為p2，0.依題意，得p22，于是拋物線的準(zhǔn)線 x2.(2)由已知得拋物線的焦點Fp2，0，設(shè)點 A(0，2)，點 M(

8、x0，y0)，則AFp2，2，AMy022p，y02.由已知得， AFAM0，即 y028y0160，因而 y04，M8p，4.由|MF|5 得，8pp22165，又 p0，解得 p2 或 p8.故 C 的方程為 y24x 或 y216x.答案(1)x2(2)C【規(guī)律方法】1拋物線幾何性質(zhì)的確定由拋物線的方程可以確定拋物線的開口方向、焦點位置 、焦點到準(zhǔn)線的距離； 從而進(jìn)一步確定拋物線的焦點坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程2求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程主要利用待定系數(shù)法，因為拋物線方程有四種形式，所以在求拋物線方程時，需先定位，再定量必要時要進(jìn)行分類討論 ，標(biāo)準(zhǔn)方程有時可設(shè)為 y2mx 或 x2my(m0)【變式訓(xùn)練 2

9、】(1)(2014課標(biāo)全國卷改編)已知拋物線 C：y28x 的焦點為 F，準(zhǔn)線為 l，P 是 l 上一點，Q 是直線 PF 與 C的一個交點，若FP4FQ，則|QF|_(2)(2015聊城模擬)點 M(5，3)到拋物線 yax2的準(zhǔn)線的距離為 6，那么拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()Ax2112yBx2112y 或 x2136yCx2136yDx212y 或 x236y解析(1)由 y28x，知 p4，焦點 F(2，0)，準(zhǔn)線 x2.依題意，設(shè) P(2，t)，Q(x0，y0)，由FP4FQ，得(4，t)4(x02，y0)，則 x01，y0t4，因此點 Q1，t4 .由拋物線定義|QF|1p23.(2)將

10、 yax2化為 x21ay.當(dāng) a0 時，準(zhǔn)線 y14a，則 314a6，a112.當(dāng) a0)點 M(x0，y0)在拋物線 C2上， 過 M 作 C1的切線，切點為 A， B(M 為原點 O 時， A， B 重合于 O) 當(dāng) x01 2時，切線 MA 的斜率為12.(1)求 p 的值；(2)當(dāng) M 在 C2上運動時，求線段 AB 中點 N 的軌跡方程(A，B 重合于 O 時，中點為 O)思路點撥(1)由導(dǎo)數(shù)及切線 MA 的斜率確定切點 A 的坐標(biāo)，進(jìn)而求 M 的坐標(biāo)，代入求 p；(2)根據(jù)題設(shè)條件及第(1)題的結(jié)論，構(gòu)造動點N(x，y)與 Ax1，x124 ，Bx2，x224 之間的關(guān)系，由相

11、關(guān)點法求動點 N 的軌跡方程解(1)因為拋物線 C1：x24y 上任意一點(x，y)的切線斜率為 yx2，且切線 MA 的斜率為12，所以 A 點坐標(biāo)為1，14 .故切線 MA 的方程為 y12(x1)14.因為點 M(1 2，y0)在切線 MA 及拋物線 C2上，于是 y012(2 2)1432 24，y0（1 2）22p32 22p.由得 p2.(2)設(shè) N(x，y)，Ax1，x124 ，Bx2，x224 ，x1x2，則 xx1x22且 yx12x228，又切線 MA、MB 的方程分別為yx12(xx1)x124，yx22(xx2)x224.聯(lián)立得 M(x0，y0)的坐標(biāo)x1x22，x1x

12、24.因為點 M(x0，y0)在 C2上，即 x024y0，所以 x1x2x12x226.由得 x243y，x0.當(dāng) x1x2時，A，B 重合于原點 O，AB 中點 N 為 O，坐標(biāo)滿足 x243y.因此 AB 中點 N 的軌跡方程為 x243y.【通關(guān)錦囊】1本題求解的關(guān)鍵是求點 M 的坐標(biāo)，在第(1)問中，代入求p，在第(2)問中，代入曲線 C2求軌跡方程，體現(xiàn)方程思想的應(yīng)用2有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，由拋物線定義，直接使用公式|AB|x1x2p；若不過焦點，則必須用一般弦長公式，注意韋達(dá)定理的應(yīng)用【變式訓(xùn)練 3】(2015濰坊聯(lián)考)設(shè)拋物

13、線 C：x22py(p0)的焦點為 F，準(zhǔn)線為 l，若點 A 是拋物線 C 上在第一象限內(nèi)任意一點，已知以 F 為圓心，F(xiàn)A 為半徑的圓 F 交 l 于 B，D 兩點(1)若BFD90，ABD 的面積為 4 2，求 p 的值及圓 F 的方程；(2)若 A，B，F(xiàn) 三點共線，直線 m 與直線 AB 平行，且直線 m 與拋物線 C 只有一個公共點，求直線 m 的方程 解(1)由已知可得BFD 為等腰直角三角形，|BD|2p，圓 F 的半徑|FA| 2p.由拋物線定義可知 A 到 l 的距離 d|FA| 2p.由 SABD4 2，得12|BD|d4 2， 2p24 2，則 p2(p2 舍去)x24y

14、，焦點 F(0，1)，從而圓 F 的方程為 x2(y1)28.(2)因為 A， B， F 三點在同一直線上， 所以 AB 為圓 F 的直徑，ADB90.由拋物線定義知|AD|FA|12|AB所以ABD30，又點 A 在第一象限，直線 m 的斜率 k33.設(shè)直線 m：y33xb，代入 x22py.得 x2233px2pb0，因 m 與 C 只有一個公共點，故43p28pb0，bp6.從而直線 m 的方程為 2 3x6yp0.掌握1個結(jié)論焦半徑：拋物線 y22px(p0)上一點 P(x0，y0)到焦點 Fp2，0的距離|PF|x0p2.熟記2種方法1.定義法：根據(jù)條件確定動點滿足的幾何特征，從而求

15、出拋物線方程2.待定系數(shù)法：根據(jù)條件設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再確定參數(shù) p 的值，這里要注意拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式若焦點在 x 軸上，設(shè)為 y2ax(a0)，若焦點在 y 軸上，設(shè)為 x2by(b0)勿忘3點注意1.求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，要由焦點位置(開口方向)判斷是哪一種標(biāo)準(zhǔn)方程2.重視應(yīng)用拋物線定義中的距離相等的轉(zhuǎn)化來解決問題， 以簡化運算 3.直線與拋物線有一個交點，并不表明直線與拋物線相切創(chuàng)新探究之 11直線、圓、拋物線的交匯創(chuàng)新(2014福建高考)已知曲線上的點到點 F(0， 1)的距離比它到直線 y3 的距離小 2.(1)求曲線的方程(2)曲線在點 P 處的切線 l 與 x 軸交于點 A，直

16、線 y3 分別與直線 l 及 y 軸交于點 M，N.以 MN 為直徑作圓 C，過點 A 作圓C 的切線，切點為 B.試探究：當(dāng)點 P 在曲線上運動(點 P 與原點不重合)時，線段 AB 的長度是否發(fā)生變化？證明你的結(jié)論解(1)法一：設(shè) S(x，y)為曲線上任意一點，依題意，點 S 到 F(0，1)的距離與它到直線 y1 的距離相等，所以曲線是以點 F(0，1)為焦點、直線 y1 為準(zhǔn)線的拋物線，所以曲線的方程為 x24y.法二：設(shè) S(x，y)為曲線上任意一點，則|y(3)| （x0）2（y1）22，依題意，點 S(x，y)只能在直線 y3 的上方，所以 y3，所以 （x0）2（y1）2y1，

17、化簡，得曲線的方程為 x24y.(2)當(dāng)點 P 在曲線上運動時， 線段 AB 的長度不變 證明如下：由(1)知拋物線的方程為 y14x2，設(shè) P(x0，y0)(x00)，則 y014x02，由 y12x，得切線 l 的斜率 ky|xx012x0，所以切線 l 的方程為 yy012x0(xx0)，即 y12x0 x14x02.由y12x0 x14x02，y0得 A12x0，0.由y12x0 x14x02，y3得 M12x06x0，3.又 N(0，3)，所以圓心 C14x03x0，3，半徑 r12|MN|14x03x0|，則|AB| |AC|2r212x014x03x023214x03x02 6.

18、所以點 P 在曲線上運動時，線段 AB 的長度不變【智慧心語】創(chuàng)新點撥：(1)命題背景新穎，借助動點到定點，定直線的距離定義曲線，借助新情景考查拋物線的定義及應(yīng)用(2)內(nèi)容交匯滲透，突出思想方法，本題將拋物線、圓及其它們的切線融合交匯，并借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義，確定曲線的切線 l.將圓錐曲線和函數(shù)的導(dǎo)數(shù)這兩大核心內(nèi)容滲透， 體現(xiàn)高考命題的新動向，同時突出考查數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸這三大數(shù)學(xué)思想應(yīng)對措施：(1)善于轉(zhuǎn)化，將條件轉(zhuǎn)化為動點到定點 F(0，1)和到定直線 x1 的距離相等，從而利用拋物線定義確定曲線的方程(2)借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求切線 l 的方程；借助坐標(biāo)法求得點 A、 M

19、的坐標(biāo)， 求得|AC|和半徑， 利用幾何直觀計算|AB|(定值)，避免繁雜運算，優(yōu)化解題過程【類題通關(guān)】如圖 872，拋物線 E：y24x 的焦點為 F，準(zhǔn)線 l 與 x 軸的交點為 A.點 C 在拋物線 E 上，以 C 為圓心，|CO|為半徑作圓，設(shè)圓 C 與準(zhǔn)線 l 交于不同的兩點 M、N.(1)若點 C 的縱坐標(biāo)為 2，求|MN|；(2)若|AF|2|AM|AN|，求圓 C 的半徑解(1)拋物線 y24x 的準(zhǔn)線方程為 x1，又點 C(x0，2)在拋物線 E：y24x 上，C 的坐標(biāo)為(1，2)，則|CO| 5，且點 C 到準(zhǔn)線 l 的距離 d2.因此|MN|2 |CO|2d22 542.(2)設(shè) Cy024，y0，則圓 C 的方程為xy0242(yy0)2y0416y02，即 x2y022xy22y0y0.由 x1，得 y22y0y1y0220，設(shè) M(1，y1)，N(1，y2)，則4y0241y022 2y0240，y1y2y0221.由|AF|2|AM|AN|，得|y1y2|4，所以y02214， 解得 y0 6， 此時0.所以圓心 C 的坐標(biāo)為32， 6或32， 6，從而|CO|2334，|CO|332，即圓 C 的半徑為332.