高考創(chuàng)新方案一輪復習教案新課標版理第三篇導數(shù)及其應用變化率與導數(shù)導數(shù)的運算

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1、第1講 變化率與導數(shù)、導數(shù)的運算 【2013年高考會這樣考】 1.利用導數(shù)的幾何意義求曲線在某點處的切線方程. 2.考查導數(shù)的有關(guān)計算,尤其是簡單的函數(shù)求導. 【復習指導】 本講復習時,應充分利用具體實際情景,理解導數(shù)的意義及幾何意義,應能靈活運用導數(shù)公式及導數(shù)運算法則進行某些函數(shù)求導. 基礎(chǔ)梳理 1.函數(shù)y=f(x)從x1到x2的平均變化率 函數(shù)y=f(x)從x1到x2的平均變化率為. 若Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1),則平均變化率可表示為. 2.函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導數(shù) (1)定義 稱函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率li=

2、 li為函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導數(shù),記作f′(x0)或y′|x=x0,即f′(x0)=li. (2)幾何意義 函數(shù)f(x)在點x0處的導數(shù)f′(x0)的幾何意義是在曲線y=f(x)上點(x0,f(x0))處切線的斜率.相應地,切線方程為y-f(x0)=f′(x0)(x-x0). 3.函數(shù)f(x)的導函數(shù) 稱函數(shù)f′(x)=li為f(x)的導函數(shù),導函數(shù)有時也記作y′. 4.基本初等函數(shù)的導數(shù)公式 若f(x)=c,則f′(x)=0; 若f(x)=xα(α∈R),則f′(x)=αxα-1; 若f(x)=sin x,則f′(x)=cos x; 若f(x)=cos x,則f′

3、(x)=-sin x; 若f(x)=ax(a>0,且a≠1),則f′(x)=axln_a; 若f(x)=ex,則f′(x)=ex; 若f(x)=logax(a>0,且a≠1),則f′(x)=; 若f(x)=ln x,則f′(x)=. 5.導數(shù)四則運算法則 (1)[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x); (2)[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x); (3)′= (g(x)≠0). 6.復合函數(shù)的求導法則 復合函數(shù)y=f(g(x))的導數(shù)和函數(shù)y=f(u),u=g(x)的導數(shù)間的關(guān)系為yx′=y(tǒng)u′·ux′. 一個區(qū)別 曲線y=f

4、(x)“在”點P(x0,y0)處的切線與“過”點P(x0,y0)的切線的區(qū)別: 曲線y=f(x)在點P(x0,y0)處的切線是指P為切點,若切線斜率存在時,切線斜率為k=f′(x0),是唯一的一條切線;曲線y=f(x)過點P(x0,y0)的切線,是指切線經(jīng)過P點,點P可以是切點,也可以不是切點,而且這樣的直線可能有多條. 兩種法則 (1)導數(shù)的四則運算法則. (2)復合函數(shù)的求導法則. 三個防范 1.利用公式求導時要特別注意除法公式中分子的符號,防止與乘法公式混淆. 2.要正確理解直線與曲線相切和直線與曲線只有一個交點的區(qū)別. 3.正確分解復合函數(shù)的結(jié)構(gòu),由外向內(nèi)逐層求導,做到

5、不重不漏. 雙基自測 1.下列求導過程中 ①′=-;②()′=;③(logax)′=′= ;④(ax)′=(eln ax)′=(exln a)′=exln aln a=axln a 其中正確的個數(shù)是(  ). A.1 B.2 C.3 D.4 答案 D 2.(人教A版教材習題改編)函數(shù)f(x)=(x+2a)(x-a)2的導數(shù)為(  ). A.2(x2-a2) B.2(x2+a2) C.3(x2-a2) D.3(x2+a2) 解析 f′(x)=(x-a)2+(x+2a)[2(x-a)]=3(x2-a2). 答案 C 3.(2011·湖南)曲線y=-在點M處的切線

6、的斜率為(  ). A.- B.C.-D. 解析 本小題考查導數(shù)的運算、導數(shù)的幾何意義,考查運算求解能力. y′==,把x=代入得導數(shù)值為. 答案 B 4.(2011·江西)若f(x)=x2-2x-4ln x,則f′(x)>0的解集為(  ). A.(0,+∞) B.(-1,0)∪(2,+∞) C.(2,+∞) D.(-1,0) 解析 令f′(x)=2x-2-=>0,利用數(shù)軸標根法可解得-1<x<0或x>2,又x>0,所以x>2.故選C. 答案 C 5.如圖,函數(shù)f(x)的圖象是折線段ABC,其中A,B,C的坐標分別為(0,4),(2,0),(6,4),則f(f(0))

7、=______;li=________(用數(shù)字作答). 答案 2?。?   考向一 導數(shù)的定義 【例1】?利用導數(shù)的定義求函數(shù)f(x)=x3在x=x0處的導數(shù),并求曲線f(x)=x3在x=x0處切線與曲線f(x)=x3的交點. [審題視點] 正確理解導數(shù)的定義是求解的關(guān)鍵. 解f′(x0)== = (x2+xx0+x)=3x. 曲線f(x)=x3在x=x0處的切線方程為 y-x=3x·(x-x0), 即y=3xx-2x,由 得(x-x0)2(x+2x0)=0,解得x=x0,x=-2x0. 若x0≠0,則交點坐標為(x0,x),(-2x0,-8x); 若x0=0,則交

8、點坐標為(0,0). 利用定義求導數(shù)的一般過程是:(1)求函數(shù)的增量Δy;(2)求平均變化率;(3)求極限li. 【訓練1】 利用導數(shù)的定義證明奇函數(shù)的導數(shù)是偶函數(shù),偶函數(shù)的導數(shù)是奇函數(shù). 證明 法一 設y=f(x)是奇函數(shù),即對定義域內(nèi)的任意x都有f(-x)=-f(x) f′(x)=li 則f′(-x)=li =li=f′(x) 因此f′(x)為偶函數(shù),同理可證偶函數(shù)的導數(shù)是奇函數(shù). 法二 設y=f(x)是奇函數(shù),即對定義域內(nèi)的任意x都有 f(-x)=-f(x),即f(x)=-f(-x) 因此f′(x)=[-f(-x)]′=- [f(-x)]′=f′(-x) 則f′(

9、x)為偶函數(shù) 同理可證偶函數(shù)的導數(shù)是奇函數(shù). 考向二 導數(shù)的運算 【例2】?求下列各函數(shù)的導數(shù): (1)y=; (2)y=(x+1)(x+2)(x+3); (3)y=sin; (4)y=+; [審題視點] 先把式子化為最簡式再進行求導. 解 (1)∵y==x-+x3+, ∴y′=′+(x3)′+(x-2sin x)′ =-x-+3x2-2x-3sin x+x-2cos x. (2)法一 y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6, ∴y′=3x2+12x+11. 法二 y′=[(x+1)(x+2)]′(x+3)+(x+1)(x+2)(x+3)′ =

10、[(x+1)′(x+2)+(x+1)(x+2)′](x+3)+(x+1)· (x+2) =(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2) =(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2) =3x2+12x+11. (3)∵y=sin=-sin x, ∴y′=′=-(sin x)′=-cos x. (4)y=+==, ∴y′=′==. (1)熟記基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及四則運算法則是正確求導的基礎(chǔ). (2)必要時對于某些求導問題可先化簡函數(shù)解析式再求導. 【訓練2】 求下列函數(shù)的導數(shù): (1)y=xnex; (2)y=; (3)y=exln x; (4)y=(x+

11、1)2(x-1). 解 (1)y′=nxn-1ex+xnex=xn-1ex(n+x). (2)y′==-. (3)y′=exln x+ex·=ex. (4)∵y=(x+1)2(x-1)=(x+1)(x2-1)=x3+x2-x-1, ∴y′=3x2+2x-1. 考向三 求復合函數(shù)的導數(shù) 【例3】?求下列復合函數(shù)的導數(shù). (1)y=(2x-3)5;(2)y=; (3)y=sin2;(4)y=ln(2x+5). [審題視點] 正確分解函數(shù)的復合層次,逐層求導. 解 (1)設u=2x-3,則y=(2x-3)5, 由y=u5與u=2x-3復合而成, ∴y′=f′(u)·u′(x

12、)=(u5)′(2x-3)′=5u4·2 =10u4=10(2x-3)4. (2)設u=3-x,則y=. 由y=u與u=3-x復合而成. y′=f′(u)·u′(x)=(u)′(3-x)′=u-(-1) =-u-=-=. (3)設y=u2,u=sin v,v=2x+, 則yx′=y(tǒng)u′·uv′·vx′=2u·cos v·2 =4sin·cos=2sin. (4)設y=ln u,u=2x+5,則yx′=y(tǒng)u′·ux′ y′=·(2x+5)′=. 由復合函數(shù)的定義可知,中間變量的選擇應是基本函數(shù)的結(jié)構(gòu),解這類問題的關(guān)鍵是正確分析函數(shù)的復合層次,一般是從最外層開始,由外向

13、內(nèi),一層一層地分析,把復合函數(shù)分解成若干個常見的基本函數(shù),逐步確定復合過程. 【訓練3】 求下列函數(shù)的導數(shù): (1)y=;    (2)y=sin22x; (3)y=e-xsin 2x; (4)y=ln. 解 (1)y′=·2x=, (2)y′=(2sin 2x)(cos 2x)×2=2sin 4x (3)y′=(-e-x)sin 2x+e-x(cos 2x)×2 =e-x(2cos 2x-sin 2x). (4)y′=··2x=.   規(guī)范解答6——如何求曲線上某一點的切線方程 【問題研究】利用導數(shù)的幾何意義求函數(shù)在某一點的坐標或某一點處的切線方程是高考常常涉及的問題.

14、這類問題最容易出現(xiàn)的錯誤就是分不清楚所求切線所過的點是不是切點而導致錯誤., 【解決方案】解這類問題的關(guān)鍵就是抓住切點.看準題目所求的是“在曲線上某點處的切線方程”還是“過某點的切線方程”,然后求某點處的斜率,用點斜式寫出切線方程. 【示例】?(本題滿分12分)(2010·山東)已知函數(shù)f(x)=ln x-ax+-1(a∈R). (1)當a=-1時,求曲線y=f(x)在點(2,f(2))處的切線方程; (2)當a≤時,討論f(x)的單調(diào)性. (1)求出在點(2,f(2))處的斜率及f(2),由點斜式寫出切線方程; (2)求f′(x),再對a分類討論. [解答示范] (1)當a=-

15、1時,f(x)=ln x+x+-1, x∈(0,+∞).所以f′(x)=,x∈(0,+∞),(1分) 因此f′(2)=1,即曲線y=f(x)在點(2,f(2))處的切線斜率為1. 又f(2)=ln 2+2, 所以曲線y=f(x)在點(2,f(2))處的切線方程為 y-(ln 2+2)=x-2,即x-y+ln 2=0.(3分) (2)因為f(x)=ln x-ax+-1,所以f′(x)=-a+=-,x∈(0,+∞).(4分) 令g(x)=ax2-x+1-a,x∈(0,+∞). ①當a=0時,g(x)=-x+1,x∈(0,+∞), 所以當x∈(0,1)時,g(x)>0, 此時f′

16、(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減; 當x∈(1,+∞)時,g(x)<0,此時f′(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;(6分) ②當a≠0時,由f′(x)=0, 即ax2-x+1-a=0,解得x1=1,x2=-1. a.當a=時,x1=x2,g(x)≥0恒成立,此時f′(x)≤0,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減;(7分) b.當0<a<時,-1>1>0. x∈(0,1)時,g(x)>0,此時f′(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減; x∈時,g(x)<0,此時f′(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;x∈時,g(x)>0,此時f′(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;(9分) c.當a<

17、0時,由于-1<0,x∈(0,1)時,g(x)>0,此時f′(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減; x∈(1,+∞)時,g(x)<0,此時f′(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.(11分) 綜上所述: 當a≤0時,函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減, 函數(shù)f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增; 當a=時,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減; 當0<a<時,函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減, 函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增, 函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減.(12分) 求解切線問題的關(guān)鍵是切點坐標,無論是已知切線斜率還是切線經(jīng)過某一點,切點坐標都是化解難點的關(guān)鍵所在. 內(nèi)容總結(jié) (1)(3)y=e-xsin 2x

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