高考創(chuàng)新方案一輪復(fù)習(xí)教案新課標(biāo)版理第三篇導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用變化率與導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

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1、第1講 變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 【2013年高考會(huì)這樣考】 1.利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線在某點(diǎn)處的切線方程. 2.考查導(dǎo)數(shù)的有關(guān)計(jì)算,尤其是簡(jiǎn)單的函數(shù)求導(dǎo). 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 本講復(fù)習(xí)時(shí),應(yīng)充分利用具體實(shí)際情景,理解導(dǎo)數(shù)的意義及幾何意義,應(yīng)能靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行某些函數(shù)求導(dǎo). 基礎(chǔ)梳理 1.函數(shù)y=f(x)從x1到x2的平均變化率 函數(shù)y=f(x)從x1到x2的平均變化率為. 若Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1),則平均變化率可表示為. 2.函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù) (1)定義 稱函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時(shí)變化率li=

2、 li為函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù),記作f′(x0)或y′|x=x0,即f′(x0)=li. (2)幾何意義 函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義是在曲線y=f(x)上點(diǎn)(x0,f(x0))處切線的斜率.相應(yīng)地,切線方程為y-f(x0)=f′(x0)(x-x0). 3.函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù) 稱函數(shù)f′(x)=li為f(x)的導(dǎo)函數(shù),導(dǎo)函數(shù)有時(shí)也記作y′. 4.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 若f(x)=c,則f′(x)=0; 若f(x)=xα(α∈R),則f′(x)=αxα-1; 若f(x)=sin x,則f′(x)=cos x; 若f(x)=cos x,則f′

3、(x)=-sin x; 若f(x)=ax(a>0,且a≠1),則f′(x)=axln_a; 若f(x)=ex,則f′(x)=ex; 若f(x)=logax(a>0,且a≠1),則f′(x)=; 若f(x)=ln x,則f′(x)=. 5.導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則 (1)[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x); (2)[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x); (3)′= (g(x)≠0). 6.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y=f(u),u=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx′=y(tǒng)u′·ux′. 一個(gè)區(qū)別 曲線y=f

4、(x)“在”點(diǎn)P(x0,y0)處的切線與“過”點(diǎn)P(x0,y0)的切線的區(qū)別: 曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,y0)處的切線是指P為切點(diǎn),若切線斜率存在時(shí),切線斜率為k=f′(x0),是唯一的一條切線;曲線y=f(x)過點(diǎn)P(x0,y0)的切線,是指切線經(jīng)過P點(diǎn),點(diǎn)P可以是切點(diǎn),也可以不是切點(diǎn),而且這樣的直線可能有多條. 兩種法則 (1)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則. (2)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則. 三個(gè)防范 1.利用公式求導(dǎo)時(shí)要特別注意除法公式中分子的符號(hào),防止與乘法公式混淆. 2.要正確理解直線與曲線相切和直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)的區(qū)別. 3.正確分解復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu),由外向內(nèi)逐層求導(dǎo),做到

5、不重不漏. 雙基自測(cè) 1.下列求導(dǎo)過程中 ①′=-;②()′=;③(logax)′=′= ;④(ax)′=(eln ax)′=(exln a)′=exln aln a=axln a 其中正確的個(gè)數(shù)是(  ). A.1 B.2 C.3 D.4 答案 D 2.(人教A版教材習(xí)題改編)函數(shù)f(x)=(x+2a)(x-a)2的導(dǎo)數(shù)為(  ). A.2(x2-a2) B.2(x2+a2) C.3(x2-a2) D.3(x2+a2) 解析 f′(x)=(x-a)2+(x+2a)[2(x-a)]=3(x2-a2). 答案 C 3.(2011·湖南)曲線y=-在點(diǎn)M處的切線

6、的斜率為(  ). A.- B.C.-D. 解析 本小題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查運(yùn)算求解能力. y′==,把x=代入得導(dǎo)數(shù)值為. 答案 B 4.(2011·江西)若f(x)=x2-2x-4ln x,則f′(x)>0的解集為(  ). A.(0,+∞) B.(-1,0)∪(2,+∞) C.(2,+∞) D.(-1,0) 解析 令f′(x)=2x-2-=>0,利用數(shù)軸標(biāo)根法可解得-1<x<0或x>2,又x>0,所以x>2.故選C. 答案 C 5.如圖,函數(shù)f(x)的圖象是折線段ABC,其中A,B,C的坐標(biāo)分別為(0,4),(2,0),(6,4),則f(f(0))

7、=______;li=________(用數(shù)字作答). 答案 2?。?   考向一 導(dǎo)數(shù)的定義 【例1】?利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)f(x)=x3在x=x0處的導(dǎo)數(shù),并求曲線f(x)=x3在x=x0處切線與曲線f(x)=x3的交點(diǎn). [審題視點(diǎn)] 正確理解導(dǎo)數(shù)的定義是求解的關(guān)鍵. 解f′(x0)== = (x2+xx0+x)=3x. 曲線f(x)=x3在x=x0處的切線方程為 y-x=3x·(x-x0), 即y=3xx-2x,由 得(x-x0)2(x+2x0)=0,解得x=x0,x=-2x0. 若x0≠0,則交點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,x),(-2x0,-8x); 若x0=0,則交

8、點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0). 利用定義求導(dǎo)數(shù)的一般過程是:(1)求函數(shù)的增量Δy;(2)求平均變化率;(3)求極限li. 【訓(xùn)練1】 利用導(dǎo)數(shù)的定義證明奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù),偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù). 證明 法一 設(shè)y=f(x)是奇函數(shù),即對(duì)定義域內(nèi)的任意x都有f(-x)=-f(x) f′(x)=li 則f′(-x)=li =li=f′(x) 因此f′(x)為偶函數(shù),同理可證偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù). 法二 設(shè)y=f(x)是奇函數(shù),即對(duì)定義域內(nèi)的任意x都有 f(-x)=-f(x),即f(x)=-f(-x) 因此f′(x)=[-f(-x)]′=- [f(-x)]′=f′(-x) 則f′(

9、x)為偶函數(shù) 同理可證偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù). 考向二 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 【例2】?求下列各函數(shù)的導(dǎo)數(shù): (1)y=; (2)y=(x+1)(x+2)(x+3); (3)y=sin; (4)y=+; [審題視點(diǎn)] 先把式子化為最簡(jiǎn)式再進(jìn)行求導(dǎo). 解 (1)∵y==x-+x3+, ∴y′=′+(x3)′+(x-2sin x)′ =-x-+3x2-2x-3sin x+x-2cos x. (2)法一 y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6, ∴y′=3x2+12x+11. 法二 y′=[(x+1)(x+2)]′(x+3)+(x+1)(x+2)(x+3)′ =

10、[(x+1)′(x+2)+(x+1)(x+2)′](x+3)+(x+1)· (x+2) =(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2) =(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2) =3x2+12x+11. (3)∵y=sin=-sin x, ∴y′=′=-(sin x)′=-cos x. (4)y=+==, ∴y′=′==. (1)熟記基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及四則運(yùn)算法則是正確求導(dǎo)的基礎(chǔ). (2)必要時(shí)對(duì)于某些求導(dǎo)問題可先化簡(jiǎn)函數(shù)解析式再求導(dǎo). 【訓(xùn)練2】 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù): (1)y=xnex; (2)y=; (3)y=exln x; (4)y=(x+

11、1)2(x-1). 解 (1)y′=nxn-1ex+xnex=xn-1ex(n+x). (2)y′==-. (3)y′=exln x+ex·=ex. (4)∵y=(x+1)2(x-1)=(x+1)(x2-1)=x3+x2-x-1, ∴y′=3x2+2x-1. 考向三 求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 【例3】?求下列復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù). (1)y=(2x-3)5;(2)y=; (3)y=sin2;(4)y=ln(2x+5). [審題視點(diǎn)] 正確分解函數(shù)的復(fù)合層次,逐層求導(dǎo). 解 (1)設(shè)u=2x-3,則y=(2x-3)5, 由y=u5與u=2x-3復(fù)合而成, ∴y′=f′(u)·u′(x

12、)=(u5)′(2x-3)′=5u4·2 =10u4=10(2x-3)4. (2)設(shè)u=3-x,則y=. 由y=u與u=3-x復(fù)合而成. y′=f′(u)·u′(x)=(u)′(3-x)′=u-(-1) =-u-=-=. (3)設(shè)y=u2,u=sin v,v=2x+, 則yx′=y(tǒng)u′·uv′·vx′=2u·cos v·2 =4sin·cos=2sin. (4)設(shè)y=ln u,u=2x+5,則yx′=y(tǒng)u′·ux′ y′=·(2x+5)′=. 由復(fù)合函數(shù)的定義可知,中間變量的選擇應(yīng)是基本函數(shù)的結(jié)構(gòu),解這類問題的關(guān)鍵是正確分析函數(shù)的復(fù)合層次,一般是從最外層開始,由外向

13、內(nèi),一層一層地分析,把復(fù)合函數(shù)分解成若干個(gè)常見的基本函數(shù),逐步確定復(fù)合過程. 【訓(xùn)練3】 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù): (1)y=;    (2)y=sin22x; (3)y=e-xsin 2x; (4)y=ln. 解 (1)y′=·2x=, (2)y′=(2sin 2x)(cos 2x)×2=2sin 4x (3)y′=(-e-x)sin 2x+e-x(cos 2x)×2 =e-x(2cos 2x-sin 2x). (4)y′=··2x=.   規(guī)范解答6——如何求曲線上某一點(diǎn)的切線方程 【問題研究】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求函數(shù)在某一點(diǎn)的坐標(biāo)或某一點(diǎn)處的切線方程是高考常常涉及的問題.

14、這類問題最容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤就是分不清楚所求切線所過的點(diǎn)是不是切點(diǎn)而導(dǎo)致錯(cuò)誤., 【解決方案】解這類問題的關(guān)鍵就是抓住切點(diǎn).看準(zhǔn)題目所求的是“在曲線上某點(diǎn)處的切線方程”還是“過某點(diǎn)的切線方程”,然后求某點(diǎn)處的斜率,用點(diǎn)斜式寫出切線方程. 【示例】?(本題滿分12分)(2010·山東)已知函數(shù)f(x)=ln x-ax+-1(a∈R). (1)當(dāng)a=-1時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程; (2)當(dāng)a≤時(shí),討論f(x)的單調(diào)性. (1)求出在點(diǎn)(2,f(2))處的斜率及f(2),由點(diǎn)斜式寫出切線方程; (2)求f′(x),再對(duì)a分類討論. [解答示范] (1)當(dāng)a=-

15、1時(shí),f(x)=ln x+x+-1, x∈(0,+∞).所以f′(x)=,x∈(0,+∞),(1分) 因此f′(2)=1,即曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線斜率為1. 又f(2)=ln 2+2, 所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程為 y-(ln 2+2)=x-2,即x-y+ln 2=0.(3分) (2)因?yàn)閒(x)=ln x-ax+-1,所以f′(x)=-a+=-,x∈(0,+∞).(4分) 令g(x)=ax2-x+1-a,x∈(0,+∞). ①當(dāng)a=0時(shí),g(x)=-x+1,x∈(0,+∞), 所以當(dāng)x∈(0,1)時(shí),g(x)>0, 此時(shí)f′

16、(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減; 當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),g(x)<0,此時(shí)f′(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;(6分) ②當(dāng)a≠0時(shí),由f′(x)=0, 即ax2-x+1-a=0,解得x1=1,x2=-1. a.當(dāng)a=時(shí),x1=x2,g(x)≥0恒成立,此時(shí)f′(x)≤0,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減;(7分) b.當(dāng)0<a<時(shí),-1>1>0. x∈(0,1)時(shí),g(x)>0,此時(shí)f′(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減; x∈時(shí),g(x)<0,此時(shí)f′(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;x∈時(shí),g(x)>0,此時(shí)f′(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;(9分) c.當(dāng)a<

17、0時(shí),由于-1<0,x∈(0,1)時(shí),g(x)>0,此時(shí)f′(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減; x∈(1,+∞)時(shí),g(x)<0,此時(shí)f′(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.(11分) 綜上所述: 當(dāng)a≤0時(shí),函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減, 函數(shù)f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增; 當(dāng)a=時(shí),函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減; 當(dāng)0<a<時(shí),函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減, 函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增, 函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減.(12分) 求解切線問題的關(guān)鍵是切點(diǎn)坐標(biāo),無論是已知切線斜率還是切線經(jīng)過某一點(diǎn),切點(diǎn)坐標(biāo)都是化解難點(diǎn)的關(guān)鍵所在. 內(nèi)容總結(jié) (1)(3)y=e-xsin 2x

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