高考數(shù)學 備考沖刺之易錯點點睛系列 專題 概率與統(tǒng)計文科學生

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1、概率與統(tǒng)計 一、高考預測 計數(shù)原理、概率統(tǒng)計部分是高中數(shù)學中使用課時最多的一個知識板塊，高考對該部分的考查分值也較多．從近幾年的情況看，該部分考查的主要問題是排列組合應用問題，二項式定理及其簡單應用，隨機抽樣，樣本估計總體，線性回歸分析，獨立性檢驗，古典概型，幾何概型，事件的獨立性，隨機變量的分布、期望和方差，正態(tài)分布的簡單應用，在試卷中一般是2～3個選擇題、填空題，一個解答題，試題難度中等或者稍易．預計2012年該部分的基本考查方向還是這樣，雖然可能出現(xiàn)一些適度創(chuàng)新，但考查的基本點不會發(fā)生大的變化．計數(shù)原理、概率統(tǒng)計部分的復習要從整體上，從知識的相互關系上進行．概率試題的核心是概率計算，

2、其中事件之間的互斥、對立和獨立性是概率計算的核心，排列組合是進行概率計算的工具，在復習概率時要抓住概率計算的核心和這個工具；統(tǒng)計問題的核心是樣本數(shù)據(jù)的分布，反映樣本數(shù)據(jù)的方法：樣本頻數(shù)表、樣本頻率分布表、頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，得到樣本數(shù)據(jù)的方法是隨機抽樣，在復習統(tǒng)計部分時，要緊緊抓住這些圖表和方法，把圖表的含義弄清楚，這樣剩下的問題就是有關的計算和對統(tǒng)計思想的理解，如樣本均值和方差的計算，用樣本估計總體等． 二、知識導學 要立足于基礎知識、基本方法、基本問題的練習，恰當選取典型例題，構建思維模式，造就思維依托和思維的合理定勢 3．對立事件是互斥事件的一種特殊情況，是指在一次

3、試驗中有且僅有一個發(fā)生的兩個事件，集合A的對立事件記作，從集合的角度來看，事件所含結果的集合正是全集U中由事件A所含結果組成集合的補集，即A∪=U，A∩=.對立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是對立事件。 要點1. 求等可能性事件、互斥事件和相互獨立事件的概率解此類題目常應用以下知識: (1)等可能性事件(古典概型)的概率：P(A)＝＝;等可能事件概率的計算步驟：計算一次試驗的基本事件總數(shù);設所求事件A，并計算事件A包含的基本事件的個數(shù);依公式求值;答，即給問題一個明確的答復. (4)解決概率問題要注意“四個步驟，一個結合”：求概率的步驟是：第一步，確定事件性質即所給的問題歸結為四

4、類事件中的某一種.第二步，判斷事件的運算即是至少有一個發(fā)生，還是同時發(fā)生，分別運用相加或相乘事件.第三步，運用公式求解第四步，答，即給提出的問題有一個明確的答復. 要點3 正態(tài)分布與線性回歸 1.正態(tài)分布的概念及主要性質 （1）正態(tài)分布的概念如果連續(xù)型隨機變量 的概率密度函數(shù)為，x 其中、為常數(shù)，并且＞0，則稱服從正態(tài)分布，記為（，）. （2）期望E =μ，方差. （3）正態(tài)分布的性質正態(tài)曲線具有下列性質:①曲線在x軸上方，并且關于直線x＝μ對稱.②曲線在x=μ時處于最高點，由這一點向左右兩邊延伸時，曲線逐漸降低.③曲線的對稱軸位置由μ確定；曲線的形狀由確定，越大，曲線越“矮胖”；

5、反之越“高瘦”. （4）標準正態(tài)分布 當=0，=1時服從標準的正態(tài)分布，記作（0，1） （5）兩個重要的公式①,②. （6）與二者聯(lián)系.若，則; ②若，則. 三、易錯點點睛 一、概念理解不清致錯 例1．拋擲一枚均勻的骰子，若事件A：“朝上一面為奇數(shù)”，事件B：“朝上一面的點數(shù)不超過3”，求P（A+B） 錯誤解法2：事件A：朝上一面的點數(shù)為1，3，5；事件B：朝上一面的點數(shù)為1，2，3，即以A、B事件中重復的點數(shù)1、3 ∴P（A+B）=P（A）+P（B）－P（A·B）= 錯因分析：A、B事件中重復點數(shù)為1、3，所以P（A·B）=；這種錯誤解法在于簡單地類比應用容斥原理致錯

6、 正確解答：P（A+B）=P（A）+P（B）－P（A·B）= 例2．某人拋擲一枚均勻骰子，構造數(shù)列，使，記 求且的概率。 二、有序與無序不分致錯 例3．甲、乙兩人參加普法知識競賽，共有10個不同的題目，其中選擇題6個，判斷題4個，甲、乙依次各抽一題。求：（1）甲抽到選擇題，乙提到判斷題的概率是多少？（2）甲、乙兩人中至少有1人抽到選擇題的概率是多少？ 錯誤解法：（1）甲從選擇題抽到一題的結果為乙從判斷題中抽到一題的結果為 而甲、乙依次抽到一題的結果為∴所求概率為： 錯因分析：甲、乙依次從10個題目各抽一題的結果，應當是先選后排，所以應為。為避免錯誤，對于基本事件總數(shù)也可這樣做：甲抽

7、取一道題目的結果應為種，乙再抽取余下的9道題中的任一道的結果應為種，所以正確解答： 例4．已知8支球隊中有3支弱隊，以抽簽方式將這8支球隊分為A、B兩組，每組4支，求：A、B兩組中有一組恰有兩支弱隊的概率。 錯解1：將8支球隊均分為A、B兩組，共有種方法：A、B兩組中有一組恰有兩支弱隊的分法為：先從3支弱隊取2支弱隊，又從5支強隊取2支強隊，組成這一組共有種方法，其它球隊分在另一組，只有一種分法?！嗨笫录母怕蕿椋骸? 錯因分析：從基本事件的結果數(shù)來看，分組是講求順序的，那么指定事件：“A、B組中有一組有2支弱隊”應分為兩種情形。即“A組有”或“B組有”，所以正確解答為： 正解：或

8、說明：這道題也可從對立事件求解：3支弱隊分法同一組共有：種結果。 ∴所求事件概率為 三、分步與分類不清致錯 例5．某種射擊比賽的規(guī)則是：開始時在距目標100m處射擊，若命中記3分，同時停止射擊。若第一次未命中，進行第二次射擊，但目標已在150m遠處，這時命中記2分，同時停止射擊；若第2次仍未命中，還可以進行第3次射擊，此時目標已在200m遠處。若第3次命中則記1分，同時停止射擊，若前3次都未命中，則記0分。已知身手甲在100m處擊中目標的概率為，他命中目標的概率與目標的距離的平方成反比，且各次射擊都是獨立的。求：射手甲得k分的概率為Pk，求P3，P2，P1，P0的值。 ：設射手射擊命中

9、目標的概率P與目標距離之間的關系 為，由已知 錯誤解法：， 正解：， ， 四、考慮不周致錯 例6．某運動員射擊一次所得環(huán)數(shù)的分布列如下： 7 8 9 10 P 0.2 0.2 0.2 0.2 現(xiàn)進行兩次射擊，以該運動員兩次射擊中最高的環(huán)數(shù)作為他的成績記為，求：的分布列。 例7．將n個球等可能地放入到N（n×n）個有編號的盒子中（盒子中容納球的個數(shù)不限）。求A：某指定的n個盒子中恰有一球的概率。 錯誤解法：將n個球等可能地放入到N個盒子中，共有Nn種方法。 而指定的n個盆中各有一球的放法有：n!種，則所求概率： 錯因分析：這種解法不全面，如果球

10、是有編號的，則答案是對的。若球是不可辨認的，則答案錯了，若球是不可辨認的，則若考慮盒子中球的個數(shù)而不考慮放的是哪幾個球，為此，我們用“□”表示一個盒子；用“○”表示一個球，先將盒子按編號 1 2 3 4 5 n 把n個球放入N中盒子中，形如：1010011……10001，正好看作N+1個“1”和n個“0”的全排列。由于兩邊必為“1”所以排法只有種；而指定的n個盒子中恰有一球的放法只有1種，故 六.混淆有放回與不放回致錯 例9．某產品有3只次品，7只正品，每次取1只測試，取后不放回，求：（1）恰好到第5次3只次品全部被測出的概率；（2）恰好到第k

11、次3只次品全部被測出的概率的最大值和最小值。 錯解：（1）P（A）=（2）。 錯因分析：錯解（1）的錯誤的原因在于忽視了“不放回摸球”問題的每一次摸球是不獨立的；而錯解（2）的錯誤的原因則在于忽視了“不放回摸球”問題的每一次摸球袋內球的總數(shù)是變的（比前一次少一個）。 正解：（1） （2） 當時，；當時，。 四、典型習題導練 （II）若第一次抽張卡片，放回后再抽取1張卡片，求兩次抽取中至少一次抽到數(shù)字3的概率 3、某籃球隊甲、乙兩名隊員在本賽季已結束的8場比賽中得分統(tǒng)計的莖葉圖如下： （I）比較這兩名隊員在比賽中得分的均值和方差的大?。海↖I）從乙比賽得分在20分以下的

12、6場比賽中隨機抽取2場進行失誤分析，求抽到恰好有1場得分不足10分的概率． 4、對某校高三年級學生參加社區(qū)服務次數(shù)進行統(tǒng)計，隨機抽取名學生作為樣本，得到這名學生參加社區(qū)服務的次數(shù)．根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計表和頻率分布直方圖如下： 分組 頻數(shù) 頻率 10 0.25 24 2 0.05 合計 1 頻率/組距 15 25 20 10 0 30 次數(shù) a （Ⅰ）求出表中及圖中的值；（Ⅱ）若該校高三學生有240人，試估計該校高三學生參加社區(qū)服務的次數(shù)在區(qū)間內的人數(shù)；（Ⅲ）在所取樣本中，

13、從參加社區(qū)服務的次數(shù)不少于20次的學生中任選2人，求至多一人參加社區(qū)服務次數(shù)在區(qū)間內的概率． 。 6、某工廠有甲、乙兩個車間，每個車間各有編號為1、2、3、4、5的5名技工．在某天內每名技工加工的合格零件的個數(shù)如下表： 1號 2號 3號 4號 5號 甲車間 4 5 7 9 10 乙車間 5 6 7 8 9 （Ⅰ）分別求出甲、乙兩個車間技工在該天內所加工的合格零件的平均數(shù)及方差，并由此比較兩個車間技工的技術水平；（Ⅱ）質檢部門從甲、乙兩個車間中各隨機抽取名技工，對其加工的零件進行檢測，若兩人完成合格零件個數(shù)之和不小于12個，則稱

14、該工廠“質量合格”，求該工廠“質量合格”的概率． 8、某學校共有教職工900人，分成三個批次進行繼續(xù)教育培訓，在三個批次中男、女教職工人數(shù)如左表所示。已知在全體教職工中隨機抽取1名，抽到第二批次中女教職工的概率是0.16. （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）現(xiàn)用分層抽樣的方法在全體教職工中抽取54名做培訓效果的調查，問應在第三批次中抽取教職工多少名？(Ⅲ)已知，求第三批次中女教職工比男教職工多的概率. 第一批次 第二批次 第三批次 女教職工 196 男教職工 204 156 9、某日用品按行業(yè)質量標準分成五個等級，等級系數(shù)X依次為1，2，3，4，5.現(xiàn)從

15、一批日用品中隨機抽取20件，對其等級系數(shù)進行統(tǒng)計分析，得到頻率分布表如下表所示： 等級 頻數(shù) 頻率 1 c a 2 4 b 3 9 0.45 4 2 0.1 5 3 0.15 合計 20 1 (Ⅰ)若所抽取的20件日用品中，等級系數(shù)為2的恰有4件，求a,b,c的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，從等級為4的2件日用品和等級為5的3件日用品中任取兩件（假定每件日用品被取出的可能性相同），寫出所有可能的結果，并求這兩件日用品的等級系數(shù)恰好相等的概率. 10、某大學對該校參加某項活動的志愿者實施“社會教育實施”學分考核，該大學考核只有合格和優(yōu)秀兩個等

16、次.若某志愿者考核為合格，授予個學分；考核為優(yōu)秀，授予個學分.假設該校志愿者甲、乙考核為優(yōu)秀的概率分別為、，乙考核合格且丙考核優(yōu)秀的概率為.甲、乙、丙三人考核所得等次相互獨立. (Ⅰ)求在這次考核中，志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核為優(yōu)秀的概率；(Ⅱ)求在這次考核中，甲、乙、丙三名志愿者所得學分之和為的概率. 12、某校高二年級研究性學習小組，為了分析2011年我國宏觀經濟形勢，上網(wǎng)查閱了2010年和2011年2—6月我國CPI同比（即當年某月與前一年同月相比）的增長數(shù)據(jù)（見下表），但2011年4，5，6三個月的數(shù)據(jù)（分別記為x，y，z）沒有查到. 有的同學清楚記得2011年2，

17、3，4，5，6五個月的CPI數(shù)據(jù)成等差數(shù)列. （Ⅰ）求x，y，z的值；（Ⅱ）求2011年2—6月我國CPI的數(shù)據(jù)的方差；（Ⅲ）一般認為，某月CPI達到或超過3個百分點就已經通貨膨脹，而達到或超過5個百分點則嚴重通貨膨脹. 現(xiàn)隨機地從上表2010年的五個月和2011年的五個月的數(shù)據(jù)中各抽取一個數(shù)據(jù)，求相同月份2010年通貨膨脹，并且2011年嚴13、某校為了解學生的視力情況，隨機抽查了一部分學生的視力，將調查結果分組，分組區(qū)間為（3.9，4.2]，（4.2，4.5]，…，（5.1，5.4]．經過數(shù)據(jù)處理，得到如下頻率分布表： 分組 頻數(shù) 頻率 （3.9，4.2] 3 0.06 （4

18、.2，4.5] 6 0.12 （4.5，4.8] 25 x （4.8，5.1] y z （5.1，5.4] 2 0.04 合計 n 1.00 （Ⅰ）求頻率分布表中未知量n，x，y，z的值；（Ⅱ）從樣本中視力在（3.9，4.2]和（5.1，5.4]的所有同學中隨機抽取兩人，求兩人的視力差的絕對值低于0.5的概率． 14、口袋中有6個大小相同的小球,其中1個小球標有數(shù)字“3”,2個小球標有數(shù)字“2”,3個小球標有數(shù)字“1”,每次從中任取一個小球,取后放回,連續(xù)抽取兩次。(I)求兩次取出的小球所標數(shù)字不同的概率;(II)記兩次取出的小球所標數(shù)字之和為,求事件“”的

19、概率 17、對人們的休閑方式的一次調查中，共調查了100人，其中女性60人，男性40人．女性中有38人主要的休閑方式是看電視，另外22人主要的休閑方式是運動；男性中有15人主要的休閑方式是看電視，另外25人主要的休閑方式是運動．(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個2×2列聯(lián)表；(2)判斷性別與休閑方式是否有關． 參考公式：； 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.84 5.024 6.635 7.879 10.8

20、3 參考數(shù)據(jù)：60×40×53×47=5978400,620×620=384400, 384400÷59784≈6.4298. 18、時維壬辰，序屬仲春，值春耕播種時機，某中學生物研究性學習小組對春季晝夜溫差大小與水稻發(fā)芽率之間的關系進行研究，記錄了實驗室4月10日至4月14日的每天晝夜溫差與每天每50顆稻籽浸泡后的發(fā)芽數(shù)，得到如下資料： 日 期 4月10日 4月11日 4月12日 4月13日 4月14日 溫 差x（oC） 10 12 13 14 11 發(fā)芽數(shù)y（顆） 11 13 14 16 12 （Ⅰ）從4月10日至4月14日中任選2天，

21、記發(fā)芽的種子數(shù)分別為m，n，求事件“m，n均小于14”的概率； 19、在某醫(yī)學實驗中，某實驗小組為了分析某種藥物用藥量與血液中某種抗體水平的關系，選取六只實驗動物進行血檢，得到如下資料： 動物編號 1 2 3 4 5 6 用藥量x（單位） 1 3 4 5 6 8 抗體指標y (單位） 3.4 3.7 3.8 4.0 4.2 4.3 記為抗體指標標準差，若抗體指標落在內則稱該動物為有效動物，否則稱為無效動物.研究方案規(guī)定先從六只動物中選取兩只，用剩下的四只動物的數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再對被選取的兩只動物數(shù)據(jù)進行檢驗.(Ⅰ)求選取的兩只動物都是有效

22、動物的概率；（Ⅱ）若選取的是編號為1和6的兩只動物，且利用剩余四只動物的數(shù)據(jù)求出關于的線性回歸方程為試求出的值;(Ⅲ)若根據(jù)回歸方程估計出的1號和6號動物的抗體指標數(shù)據(jù)與檢驗結果誤差都不超過抗體指標標準差則認為得到的線性回歸方程是可靠的，試判斷（Ⅱ）中所得線性回歸方程是否可靠. 20、衡陽市第一次聯(lián)考后，某校對甲、乙兩個文科班的數(shù)學考試成績進行分析，規(guī)定：大于或等于120分為優(yōu)秀，120分以下為非優(yōu)秀.統(tǒng)計成績后，得到如下的列聯(lián)表,且已知在甲、乙兩個文科班全部110人中隨機抽取1人為優(yōu)秀的概率為. 優(yōu)秀 非優(yōu)秀 合計 甲班 10 乙班 30 合計 110 內容總結 （1）即“A組有”或“B組有”，所以正確解答為： 正解：或 說明：這道題也可從對立事件求解：3支弱隊分法同一組共有：種結果 （2）10001，正好看作N+1個“1”和n個“0”的全排列