高考數(shù)學(xué) 備考沖刺之易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛系列 專題 概率與統(tǒng)計(jì)文科學(xué)生
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1、概率與統(tǒng)計(jì) 一、高考預(yù)測(cè) 計(jì)數(shù)原理、概率統(tǒng)計(jì)部分是高中數(shù)學(xué)中使用課時(shí)最多的一個(gè)知識(shí)板塊,高考對(duì)該部分的考查分值也較多.從近幾年的情況看,該部分考查的主要問(wèn)題是排列組合應(yīng)用問(wèn)題,二項(xiàng)式定理及其簡(jiǎn)單應(yīng)用,隨機(jī)抽樣,樣本估計(jì)總體,線性回歸分析,獨(dú)立性檢驗(yàn),古典概型,幾何概型,事件的獨(dú)立性,隨機(jī)變量的分布、期望和方差,正態(tài)分布的簡(jiǎn)單應(yīng)用,在試卷中一般是2~3個(gè)選擇題、填空題,一個(gè)解答題,試題難度中等或者稍易.預(yù)計(jì)2012年該部分的基本考查方向還是這樣,雖然可能出現(xiàn)一些適度創(chuàng)新,但考查的基本點(diǎn)不會(huì)發(fā)生大的變化.計(jì)數(shù)原理、概率統(tǒng)計(jì)部分的復(fù)習(xí)要從整體上,從知識(shí)的相互關(guān)系上進(jìn)行.概率試題的核心是概率計(jì)算,
2、其中事件之間的互斥、對(duì)立和獨(dú)立性是概率計(jì)算的核心,排列組合是進(jìn)行概率計(jì)算的工具,在復(fù)習(xí)概率時(shí)要抓住概率計(jì)算的核心和這個(gè)工具;統(tǒng)計(jì)問(wèn)題的核心是樣本數(shù)據(jù)的分布,反映樣本數(shù)據(jù)的方法:樣本頻數(shù)表、樣本頻率分布表、頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖,得到樣本數(shù)據(jù)的方法是隨機(jī)抽樣,在復(fù)習(xí)統(tǒng)計(jì)部分時(shí),要緊緊抓住這些圖表和方法,把圖表的含義弄清楚,這樣剩下的問(wèn)題就是有關(guān)的計(jì)算和對(duì)統(tǒng)計(jì)思想的理解,如樣本均值和方差的計(jì)算,用樣本估計(jì)總體等. 二、知識(shí)導(dǎo)學(xué) 要立足于基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法、基本問(wèn)題的練習(xí),恰當(dāng)選取典型例題,構(gòu)建思維模式,造就思維依托和思維的合理定勢(shì) 3.對(duì)立事件是互斥事件的一種特殊情況,是指在一次
3、試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生的兩個(gè)事件,集合A的對(duì)立事件記作,從集合的角度來(lái)看,事件所含結(jié)果的集合正是全集U中由事件A所含結(jié)果組成集合的補(bǔ)集,即A∪=U,A∩=.對(duì)立事件一定是互斥事件,但互斥事件不一定是對(duì)立事件。 要點(diǎn)1. 求等可能性事件、互斥事件和相互獨(dú)立事件的概率解此類題目常應(yīng)用以下知識(shí): (1)等可能性事件(古典概型)的概率:P(A)==;等可能事件概率的計(jì)算步驟:計(jì)算一次試驗(yàn)的基本事件總數(shù);設(shè)所求事件A,并計(jì)算事件A包含的基本事件的個(gè)數(shù);依公式求值;答,即給問(wèn)題一個(gè)明確的答復(fù). (4)解決概率問(wèn)題要注意“四個(gè)步驟,一個(gè)結(jié)合”:求概率的步驟是:第一步,確定事件性質(zhì)即所給的問(wèn)題歸結(jié)為四
4、類事件中的某一種.第二步,判斷事件的運(yùn)算即是至少有一個(gè)發(fā)生,還是同時(shí)發(fā)生,分別運(yùn)用相加或相乘事件.第三步,運(yùn)用公式求解第四步,答,即給提出的問(wèn)題有一個(gè)明確的答復(fù). 要點(diǎn)3 正態(tài)分布與線性回歸 1.正態(tài)分布的概念及主要性質(zhì) (1)正態(tài)分布的概念如果連續(xù)型隨機(jī)變量 的概率密度函數(shù)為,x 其中、為常數(shù),并且>0,則稱服從正態(tài)分布,記為(,). (2)期望E =μ,方差. (3)正態(tài)分布的性質(zhì)正態(tài)曲線具有下列性質(zhì):①曲線在x軸上方,并且關(guān)于直線x=μ對(duì)稱.②曲線在x=μ時(shí)處于最高點(diǎn),由這一點(diǎn)向左右兩邊延伸時(shí),曲線逐漸降低.③曲線的對(duì)稱軸位置由μ確定;曲線的形狀由確定,越大,曲線越“矮胖”;
5、反之越“高瘦”. (4)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 當(dāng)=0,=1時(shí)服從標(biāo)準(zhǔn)的正態(tài)分布,記作(0,1) (5)兩個(gè)重要的公式①,②. (6)與二者聯(lián)系.若,則; ②若,則. 三、易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛 一、概念理解不清致錯(cuò) 例1.拋擲一枚均勻的骰子,若事件A:“朝上一面為奇數(shù)”,事件B:“朝上一面的點(diǎn)數(shù)不超過(guò)3”,求P(A+B) 錯(cuò)誤解法2:事件A:朝上一面的點(diǎn)數(shù)為1,3,5;事件B:朝上一面的點(diǎn)數(shù)為1,2,3,即以A、B事件中重復(fù)的點(diǎn)數(shù)1、3 ∴P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A·B)= 錯(cuò)因分析:A、B事件中重復(fù)點(diǎn)數(shù)為1、3,所以P(A·B)=;這種錯(cuò)誤解法在于簡(jiǎn)單地類比應(yīng)用容斥原理致錯(cuò)
6、 正確解答:P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A·B)= 例2.某人拋擲一枚均勻骰子,構(gòu)造數(shù)列,使,記 求且的概率。 二、有序與無(wú)序不分致錯(cuò) 例3.甲、乙兩人參加普法知識(shí)競(jìng)賽,共有10個(gè)不同的題目,其中選擇題6個(gè),判斷題4個(gè),甲、乙依次各抽一題。求:(1)甲抽到選擇題,乙提到判斷題的概率是多少?(2)甲、乙兩人中至少有1人抽到選擇題的概率是多少? 錯(cuò)誤解法:(1)甲從選擇題抽到一題的結(jié)果為乙從判斷題中抽到一題的結(jié)果為 而甲、乙依次抽到一題的結(jié)果為∴所求概率為: 錯(cuò)因分析:甲、乙依次從10個(gè)題目各抽一題的結(jié)果,應(yīng)當(dāng)是先選后排,所以應(yīng)為。為避免錯(cuò)誤,對(duì)于基本事件總數(shù)也可這樣做:甲抽
7、取一道題目的結(jié)果應(yīng)為種,乙再抽取余下的9道題中的任一道的結(jié)果應(yīng)為種,所以正確解答: 例4.已知8支球隊(duì)中有3支弱隊(duì),以抽簽方式將這8支球隊(duì)分為A、B兩組,每組4支,求:A、B兩組中有一組恰有兩支弱隊(duì)的概率。 錯(cuò)解1:將8支球隊(duì)均分為A、B兩組,共有種方法:A、B兩組中有一組恰有兩支弱隊(duì)的分法為:先從3支弱隊(duì)取2支弱隊(duì),又從5支強(qiáng)隊(duì)取2支強(qiáng)隊(duì),組成這一組共有種方法,其它球隊(duì)分在另一組,只有一種分法?!嗨笫录母怕蕿椋骸? 錯(cuò)因分析:從基本事件的結(jié)果數(shù)來(lái)看,分組是講求順序的,那么指定事件:“A、B組中有一組有2支弱隊(duì)”應(yīng)分為兩種情形。即“A組有”或“B組有”,所以正確解答為: 正解:或
8、說(shuō)明:這道題也可從對(duì)立事件求解:3支弱隊(duì)分法同一組共有:種結(jié)果。 ∴所求事件概率為 三、分步與分類不清致錯(cuò) 例5.某種射擊比賽的規(guī)則是:開(kāi)始時(shí)在距目標(biāo)100m處射擊,若命中記3分,同時(shí)停止射擊。若第一次未命中,進(jìn)行第二次射擊,但目標(biāo)已在150m遠(yuǎn)處,這時(shí)命中記2分,同時(shí)停止射擊;若第2次仍未命中,還可以進(jìn)行第3次射擊,此時(shí)目標(biāo)已在200m遠(yuǎn)處。若第3次命中則記1分,同時(shí)停止射擊,若前3次都未命中,則記0分。已知身手甲在100m處擊中目標(biāo)的概率為,他命中目標(biāo)的概率與目標(biāo)的距離的平方成反比,且各次射擊都是獨(dú)立的。求:射手甲得k分的概率為Pk,求P3,P2,P1,P0的值。 :設(shè)射手射擊命中
9、目標(biāo)的概率P與目標(biāo)距離之間的關(guān)系 為,由已知 錯(cuò)誤解法:, 正解:, , 四、考慮不周致錯(cuò) 例6.某運(yùn)動(dòng)員射擊一次所得環(huán)數(shù)的分布列如下: 7 8 9 10 P 0.2 0.2 0.2 0.2 現(xiàn)進(jìn)行兩次射擊,以該運(yùn)動(dòng)員兩次射擊中最高的環(huán)數(shù)作為他的成績(jī)記為,求:的分布列。 例7.將n個(gè)球等可能地放入到N(n×n)個(gè)有編號(hào)的盒子中(盒子中容納球的個(gè)數(shù)不限)。求A:某指定的n個(gè)盒子中恰有一球的概率。 錯(cuò)誤解法:將n個(gè)球等可能地放入到N個(gè)盒子中,共有Nn種方法。 而指定的n個(gè)盆中各有一球的放法有:n!種,則所求概率: 錯(cuò)因分析:這種解法不全面,如果球
10、是有編號(hào)的,則答案是對(duì)的。若球是不可辨認(rèn)的,則答案錯(cuò)了,若球是不可辨認(rèn)的,則若考慮盒子中球的個(gè)數(shù)而不考慮放的是哪幾個(gè)球,為此,我們用“□”表示一個(gè)盒子;用“○”表示一個(gè)球,先將盒子按編號(hào) 1 2 3 4 5 n 把n個(gè)球放入N中盒子中,形如:1010011……10001,正好看作N+1個(gè)“1”和n個(gè)“0”的全排列。由于兩邊必為“1”所以排法只有種;而指定的n個(gè)盒子中恰有一球的放法只有1種,故 六.混淆有放回與不放回致錯(cuò) 例9.某產(chǎn)品有3只次品,7只正品,每次取1只測(cè)試,取后不放回,求:(1)恰好到第5次3只次品全部被測(cè)出的概率;(2)恰好到第k
11、次3只次品全部被測(cè)出的概率的最大值和最小值。 錯(cuò)解:(1)P(A)=(2)。 錯(cuò)因分析:錯(cuò)解(1)的錯(cuò)誤的原因在于忽視了“不放回摸球”問(wèn)題的每一次摸球是不獨(dú)立的;而錯(cuò)解(2)的錯(cuò)誤的原因則在于忽視了“不放回摸球”問(wèn)題的每一次摸球袋內(nèi)球的總數(shù)是變的(比前一次少一個(gè))。 正解:(1) (2) 當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),。 四、典型習(xí)題導(dǎo)練 (II)若第一次抽張卡片,放回后再抽取1張卡片,求兩次抽取中至少一次抽到數(shù)字3的概率 3、某籃球隊(duì)甲、乙兩名隊(duì)員在本賽季已結(jié)束的8場(chǎng)比賽中得分統(tǒng)計(jì)的莖葉圖如下: (I)比較這兩名隊(duì)員在比賽中得分的均值和方差的大?。海↖I)從乙比賽得分在20分以下的
12、6場(chǎng)比賽中隨機(jī)抽取2場(chǎng)進(jìn)行失誤分析,求抽到恰好有1場(chǎng)得分不足10分的概率. 4、對(duì)某校高三年級(jí)學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),隨機(jī)抽取名學(xué)生作為樣本,得到這名學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù).根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計(jì)表和頻率分布直方圖如下: 分組 頻數(shù) 頻率 10 0.25 24 2 0.05 合計(jì) 1 頻率/組距 15 25 20 10 0 30 次數(shù) a (Ⅰ)求出表中及圖中的值;(Ⅱ)若該校高三學(xué)生有240人,試估計(jì)該校高三學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù);(Ⅲ)在所取樣本中,
13、從參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)不少于20次的學(xué)生中任選2人,求至多一人參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間內(nèi)的概率. 。 6、某工廠有甲、乙兩個(gè)車間,每個(gè)車間各有編號(hào)為1、2、3、4、5的5名技工.在某天內(nèi)每名技工加工的合格零件的個(gè)數(shù)如下表: 1號(hào) 2號(hào) 3號(hào) 4號(hào) 5號(hào) 甲車間 4 5 7 9 10 乙車間 5 6 7 8 9 (Ⅰ)分別求出甲、乙兩個(gè)車間技工在該天內(nèi)所加工的合格零件的平均數(shù)及方差,并由此比較兩個(gè)車間技工的技術(shù)水平;(Ⅱ)質(zhì)檢部門從甲、乙兩個(gè)車間中各隨機(jī)抽取名技工,對(duì)其加工的零件進(jìn)行檢測(cè),若兩人完成合格零件個(gè)數(shù)之和不小于12個(gè),則稱
14、該工廠“質(zhì)量合格”,求該工廠“質(zhì)量合格”的概率. 8、某學(xué)校共有教職工900人,分成三個(gè)批次進(jìn)行繼續(xù)教育培訓(xùn),在三個(gè)批次中男、女教職工人數(shù)如左表所示。已知在全體教職工中隨機(jī)抽取1名,抽到第二批次中女教職工的概率是0.16. (Ⅰ)求的值;(Ⅱ)現(xiàn)用分層抽樣的方法在全體教職工中抽取54名做培訓(xùn)效果的調(diào)查,問(wèn)應(yīng)在第三批次中抽取教職工多少名?(Ⅲ)已知,求第三批次中女教職工比男教職工多的概率. 第一批次 第二批次 第三批次 女教職工 196 男教職工 204 156 9、某日用品按行業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)分成五個(gè)等級(jí),等級(jí)系數(shù)X依次為1,2,3,4,5.現(xiàn)從
15、一批日用品中隨機(jī)抽取20件,對(duì)其等級(jí)系數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,得到頻率分布表如下表所示: 等級(jí) 頻數(shù) 頻率 1 c a 2 4 b 3 9 0.45 4 2 0.1 5 3 0.15 合計(jì) 20 1 (Ⅰ)若所抽取的20件日用品中,等級(jí)系數(shù)為2的恰有4件,求a,b,c的值; (Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,從等級(jí)為4的2件日用品和等級(jí)為5的3件日用品中任取兩件(假定每件日用品被取出的可能性相同),寫出所有可能的結(jié)果,并求這兩件日用品的等級(jí)系數(shù)恰好相等的概率. 10、某大學(xué)對(duì)該校參加某項(xiàng)活動(dòng)的志愿者實(shí)施“社會(huì)教育實(shí)施”學(xué)分考核,該大學(xué)考核只有合格和優(yōu)秀兩個(gè)等
16、次.若某志愿者考核為合格,授予個(gè)學(xué)分;考核為優(yōu)秀,授予個(gè)學(xué)分.假設(shè)該校志愿者甲、乙考核為優(yōu)秀的概率分別為、,乙考核合格且丙考核優(yōu)秀的概率為.甲、乙、丙三人考核所得等次相互獨(dú)立. (Ⅰ)求在這次考核中,志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核為優(yōu)秀的概率;(Ⅱ)求在這次考核中,甲、乙、丙三名志愿者所得學(xué)分之和為的概率. 12、某校高二年級(jí)研究性學(xué)習(xí)小組,為了分析2011年我國(guó)宏觀經(jīng)濟(jì)形勢(shì),上網(wǎng)查閱了2010年和2011年2—6月我國(guó)CPI同比(即當(dāng)年某月與前一年同月相比)的增長(zhǎng)數(shù)據(jù)(見(jiàn)下表),但2011年4,5,6三個(gè)月的數(shù)據(jù)(分別記為x,y,z)沒(méi)有查到. 有的同學(xué)清楚記得2011年2,
17、3,4,5,6五個(gè)月的CPI數(shù)據(jù)成等差數(shù)列. (Ⅰ)求x,y,z的值;(Ⅱ)求2011年2—6月我國(guó)CPI的數(shù)據(jù)的方差;(Ⅲ)一般認(rèn)為,某月CPI達(dá)到或超過(guò)3個(gè)百分點(diǎn)就已經(jīng)通貨膨脹,而達(dá)到或超過(guò)5個(gè)百分點(diǎn)則嚴(yán)重通貨膨脹. 現(xiàn)隨機(jī)地從上表2010年的五個(gè)月和2011年的五個(gè)月的數(shù)據(jù)中各抽取一個(gè)數(shù)據(jù),求相同月份2010年通貨膨脹,并且2011年嚴(yán)13、某校為了解學(xué)生的視力情況,隨機(jī)抽查了一部分學(xué)生的視力,將調(diào)查結(jié)果分組,分組區(qū)間為(3.9,4.2],(4.2,4.5],…,(5.1,5.4].經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)處理,得到如下頻率分布表: 分組 頻數(shù) 頻率 (3.9,4.2] 3 0.06 (4
18、.2,4.5] 6 0.12 (4.5,4.8] 25 x (4.8,5.1] y z (5.1,5.4] 2 0.04 合計(jì) n 1.00 (Ⅰ)求頻率分布表中未知量n,x,y,z的值;(Ⅱ)從樣本中視力在(3.9,4.2]和(5.1,5.4]的所有同學(xué)中隨機(jī)抽取兩人,求兩人的視力差的絕對(duì)值低于0.5的概率. 14、口袋中有6個(gè)大小相同的小球,其中1個(gè)小球標(biāo)有數(shù)字“3”,2個(gè)小球標(biāo)有數(shù)字“2”,3個(gè)小球標(biāo)有數(shù)字“1”,每次從中任取一個(gè)小球,取后放回,連續(xù)抽取兩次。(I)求兩次取出的小球所標(biāo)數(shù)字不同的概率;(II)記兩次取出的小球所標(biāo)數(shù)字之和為,求事件“”的
19、概率 17、對(duì)人們的休閑方式的一次調(diào)查中,共調(diào)查了100人,其中女性60人,男性40人.女性中有38人主要的休閑方式是看電視,另外22人主要的休閑方式是運(yùn)動(dòng);男性中有15人主要的休閑方式是看電視,另外25人主要的休閑方式是運(yùn)動(dòng).(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個(gè)2×2列聯(lián)表;(2)判斷性別與休閑方式是否有關(guān). 參考公式:; 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.84 5.024 6.635 7.879 10.8
20、3 參考數(shù)據(jù):60×40×53×47=5978400,620×620=384400, 384400÷59784≈6.4298. 18、時(shí)維壬辰,序?qū)僦俅?,值春耕播種時(shí)機(jī),某中學(xué)生物研究性學(xué)習(xí)小組對(duì)春季晝夜溫差大小與水稻發(fā)芽率之間的關(guān)系進(jìn)行研究,記錄了實(shí)驗(yàn)室4月10日至4月14日的每天晝夜溫差與每天每50顆稻籽浸泡后的發(fā)芽數(shù),得到如下資料: 日 期 4月10日 4月11日 4月12日 4月13日 4月14日 溫 差x(oC) 10 12 13 14 11 發(fā)芽數(shù)y(顆) 11 13 14 16 12 (Ⅰ)從4月10日至4月14日中任選2天,
21、記發(fā)芽的種子數(shù)分別為m,n,求事件“m,n均小于14”的概率; 19、在某醫(yī)學(xué)實(shí)驗(yàn)中,某實(shí)驗(yàn)小組為了分析某種藥物用藥量與血液中某種抗體水平的關(guān)系,選取六只實(shí)驗(yàn)動(dòng)物進(jìn)行血檢,得到如下資料: 動(dòng)物編號(hào) 1 2 3 4 5 6 用藥量x(單位) 1 3 4 5 6 8 抗體指標(biāo)y (單位) 3.4 3.7 3.8 4.0 4.2 4.3 記為抗體指標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差,若抗體指標(biāo)落在內(nèi)則稱該動(dòng)物為有效動(dòng)物,否則稱為無(wú)效動(dòng)物.研究方案規(guī)定先從六只動(dòng)物中選取兩只,用剩下的四只動(dòng)物的數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再對(duì)被選取的兩只動(dòng)物數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).(Ⅰ)求選取的兩只動(dòng)物都是有效
22、動(dòng)物的概率;(Ⅱ)若選取的是編號(hào)為1和6的兩只動(dòng)物,且利用剩余四只動(dòng)物的數(shù)據(jù)求出關(guān)于的線性回歸方程為試求出的值;(Ⅲ)若根據(jù)回歸方程估計(jì)出的1號(hào)和6號(hào)動(dòng)物的抗體指標(biāo)數(shù)據(jù)與檢驗(yàn)結(jié)果誤差都不超過(guò)抗體指標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的,試判斷(Ⅱ)中所得線性回歸方程是否可靠. 20、衡陽(yáng)市第一次聯(lián)考后,某校對(duì)甲、乙兩個(gè)文科班的數(shù)學(xué)考試成績(jī)進(jìn)行分析,規(guī)定:大于或等于120分為優(yōu)秀,120分以下為非優(yōu)秀.統(tǒng)計(jì)成績(jī)后,得到如下的列聯(lián)表,且已知在甲、乙兩個(gè)文科班全部110人中隨機(jī)抽取1人為優(yōu)秀的概率為. 優(yōu)秀 非優(yōu)秀 合計(jì) 甲班 10 乙班 30 合計(jì) 110 內(nèi)容總結(jié) (1)即“A組有”或“B組有”,所以正確解答為: 正解:或 說(shuō)明:這道題也可從對(duì)立事件求解:3支弱隊(duì)分法同一組共有:種結(jié)果 (2)10001,正好看作N+1個(gè)“1”和n個(gè)“0”的全排列
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