大學(xué)高等數(shù)學(xué) 函數(shù)[共47頁(yè)]

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1、高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)微積分姓姓 名：張智勇名：張智勇地地 點(diǎn)：四教西點(diǎn)：四教西305305室室E-mail : 自我介紹自我介紹課程名稱(chēng)：微積分課程名稱(chēng)：微積分學(xué)學(xué) 分：分：4 4 學(xué)分學(xué)分學(xué)學(xué) 時(shí)：時(shí)：64 64 學(xué)時(shí)（學(xué)時(shí)（1 1周周-16-16周）周）課程介紹課程介紹課程內(nèi)容：課程內(nèi)容：1. 1. 函數(shù)、極限與連續(xù)函數(shù)、極限與連續(xù) 2. 2. 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分 3. 3. 中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 4. 4. 不定積分不定積分 5. 5. 定積分及其應(yīng)用定積分及其應(yīng)用1. 1. 期末總評(píng)成績(jī)的計(jì)算期末總評(píng)成績(jī)的計(jì)算 期末考試成績(jī)占期末考試成績(jī)占70%70%，平時(shí)成績(jī)占，平時(shí)成

2、績(jī)占30%30%。 平時(shí)成績(jī)：期中測(cè)驗(yàn)成績(jī)，作業(yè)成績(jī)，考勤。平時(shí)成績(jī)：期中測(cè)驗(yàn)成績(jī)，作業(yè)成績(jī)，考勤。2. 2. 考勤考勤 不許曠課、遲到、早退，自覺(jué)維護(hù)課堂紀(jì)律。不許曠課、遲到、早退，自覺(jué)維護(hù)課堂紀(jì)律。3. 3. 作業(yè)作業(yè) 要求認(rèn)真完成作業(yè)，按時(shí)交作業(yè)。嚴(yán)禁抄作業(yè)。字跡要求認(rèn)真完成作業(yè)，按時(shí)交作業(yè)。嚴(yán)禁抄作業(yè)。字跡 潦草、表達(dá)混亂、亂劃亂改的作業(yè)返回重做，甚至取潦草、表達(dá)混亂、亂劃亂改的作業(yè)返回重做，甚至取 消該次成績(jī)。消該次成績(jī)。4. 4. 答疑答疑 時(shí)間：時(shí)間： 地點(diǎn)：四教西地點(diǎn)：四教西305305考核及要求考核及要求課程特點(diǎn)與學(xué)習(xí)方法課程特點(diǎn)與學(xué)習(xí)方法方法方法: 1. 課前預(yù)習(xí)課前預(yù)習(xí)

3、2.重點(diǎn)聽(tīng)講重點(diǎn)聽(tīng)講 3. 簡(jiǎn)記筆記簡(jiǎn)記筆記 4. 整理咀嚼整理咀嚼 5. 后作練習(xí)后作練習(xí) 6. 答疑答疑特點(diǎn)：特點(diǎn)：1. 課堂大課堂大 2. 時(shí)間長(zhǎng)時(shí)間長(zhǎng) 3. 進(jìn)度快進(jìn)度快第一章第一章 函函 數(shù)數(shù) 函數(shù)的概念及基本特性函數(shù)的概念及基本特性預(yù)備知識(shí)預(yù)備知識(shí)1、數(shù)的擴(kuò)張：、數(shù)的擴(kuò)張：復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)虛數(shù)虛數(shù)無(wú)理數(shù)無(wú)理數(shù)有理數(shù)有理數(shù)分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù)整數(shù)整數(shù)負(fù)整數(shù)負(fù)整數(shù)自然數(shù)自然數(shù)實(shí)數(shù)2、數(shù)的幾何表示：數(shù)軸、數(shù)的幾何表示：數(shù)軸 實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)之間具有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)之間具有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。3 3、區(qū)間、區(qū)間: : 是指介于某兩個(gè)實(shí)數(shù)之間的全體實(shí)數(shù)是指介于某兩個(gè)實(shí)數(shù)之間的全體實(shí)數(shù). .這兩個(gè)實(shí)數(shù)

4、叫做區(qū)間的端點(diǎn)這兩個(gè)實(shí)數(shù)叫做區(qū)間的端點(diǎn). .,baRba且且bxax 開(kāi)區(qū)間：開(kāi)區(qū)間：oxab),(ba記作記作bxax oxab閉區(qū)間：閉區(qū)間：,ba記作記作半開(kāi)區(qū)間：半開(kāi)區(qū)間：oxabbxax,(ba記作bxax oxab),ba記作記作區(qū)間的劃分：區(qū)間的劃分：1.1.有限區(qū)間有限區(qū)間 2.2.無(wú)限區(qū)間無(wú)限區(qū)間區(qū)間長(zhǎng)度區(qū)間長(zhǎng)度兩端點(diǎn)間的距離兩端點(diǎn)間的距離( (線段的長(zhǎng)度線段的長(zhǎng)度) )稱(chēng)為區(qū)間的稱(chēng)為區(qū)間的長(zhǎng)度長(zhǎng)度. .bxxoxb) ), ,( (記作記作bx0 x0 x0 x 4 4、鄰域、鄰域. 0,0且是兩個(gè)實(shí)數(shù)與設(shè)x,0叫叫做做這這鄰鄰域域的的中中心心點(diǎn)點(diǎn)x.叫叫做做這這鄰鄰域域的

5、的半半徑徑 , 00鄰鄰域域的的稱(chēng)稱(chēng)為為點(diǎn)點(diǎn)數(shù)數(shù)集集 xxxx . |),(0000 xxxxxxxxU記作記作 其中其中 稱(chēng)為稱(chēng)為 的的左鄰域左鄰域, ),(00 xx 稱(chēng)為稱(chēng)為 的的右鄰域右鄰域。),(00 xx0 x0 x).,(00 xU記作,0鄰域的去心的點(diǎn)x).,(),( 0),(0000000 xxxxxxxxU去心鄰域：去心鄰域：因變量因變量自變量自變量)(xfy 定義域：定義域：數(shù)集數(shù)集D叫做這個(gè)函數(shù)的定義域叫做這個(gè)函數(shù)的定義域,)( fD記作記作值值 域：域：函數(shù)值全體組成的數(shù)集函數(shù)值全體組成的數(shù)集, 即即).()(),(|fZZfDxxfyy或者或者記作記作，的的函數(shù)函數(shù)

6、，記作，記作是是或稱(chēng)或稱(chēng)上的一個(gè)函數(shù)關(guān)系，上的一個(gè)函數(shù)關(guān)系，為定義在為定義在應(yīng)，則稱(chēng)這個(gè)對(duì)應(yīng)法則應(yīng)，則稱(chēng)這個(gè)對(duì)應(yīng)法則與之對(duì)與之對(duì)都有一個(gè)確定的實(shí)數(shù)都有一個(gè)確定的實(shí)數(shù), ,，使每一個(gè)，使每一個(gè)對(duì)應(yīng)規(guī)則對(duì)應(yīng)規(guī)則。設(shè)有一個(gè)。設(shè)有一個(gè)是一個(gè)非空的實(shí)數(shù)集合是一個(gè)非空的實(shí)數(shù)集合是兩個(gè)變量，是兩個(gè)變量，與與若若xyDfyDxfDyx函數(shù)概念函數(shù)概念 大體分為以下幾種：大體分為以下幾種： a) a)偶次方根號(hào)偶次方根號(hào) b)b)分式的分母分式的分母 c) c)對(duì)數(shù)的真數(shù)對(duì)數(shù)的真數(shù) d) d)三角函數(shù)（正切余切）和反三角函數(shù)，三角函數(shù)（正切余切）和反三角函數(shù)， e) e)以上情況的復(fù)合等以上情況的復(fù)合等(1)、

7、函數(shù)的定義域、函數(shù)的定義域 1. 1.數(shù)學(xué)角度：定義域是自變量所能取的使算式數(shù)學(xué)角度：定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實(shí)數(shù)值有意義的一切實(shí)數(shù)值, , 這種定義域稱(chēng)為函這種定義域稱(chēng)為函數(shù)的數(shù)的自然定義域自然定義域. . 2. 2.實(shí)際應(yīng)用實(shí)際應(yīng)用 時(shí)間，高度，熱度等等時(shí)間，高度，熱度等等(1)(1)絕對(duì)值函數(shù)絕對(duì)值函數(shù) 00 xxxxxyxy xyo其定義域?yàn)槠涠x域?yàn)镈( f )(,+), 值域?yàn)橹涤驗(yàn)閆( f )0, +).幾個(gè)特殊的函數(shù)舉例幾個(gè)特殊的函數(shù)舉例 (2) 符號(hào)函數(shù)符號(hào)函數(shù) 010001sgnxxxxy當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)1-1xyo其定義域?yàn)槠涠x域?yàn)镈( f )(,+), 值

8、域?yàn)橹涤驗(yàn)閆( f )1, 0, 1.xxx sgn可以證明：可以證明：對(duì)于任何實(shí)數(shù)對(duì)于任何實(shí)數(shù) x, 下列關(guān)系成立下列關(guān)系成立:(3) 取整函數(shù)取整函數(shù) 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo階梯曲線階梯曲線 設(shè)設(shè) x 為任一實(shí)數(shù)為任一實(shí)數(shù), 不超過(guò)不超過(guò)x 的最大整數(shù)稱(chēng)為的最大整數(shù)稱(chēng)為 x 的整數(shù)部分的整數(shù)部分, 記作記作 x. 即即y = x = n, n x n + 1, n = 0, 1, 2, 可以證明：可以證明：對(duì)于任何實(shí)數(shù)對(duì)于任何實(shí)數(shù)x, 有不等式有不等式 x x 0.3 3、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的單調(diào)性,)(DIDxf區(qū)間的定義域?yàn)椋?/p>

9、設(shè)函數(shù)性性 單單調(diào)調(diào)恒有時(shí)當(dāng)如果對(duì)于,2121xxIxx，或者)()()()(2121xfxfxfxf).()(單調(diào)減少的上是單調(diào)增加的在區(qū)間則稱(chēng)函數(shù)Ixf)(xfy )(1xf)(2xfxyoI單調(diào)增加)(xfy )(1xf)(2xfxyoI單調(diào)減少M(fèi)Myxoy=f(x)X有界有界無(wú)界無(wú)界MMyxoX0 x4、函數(shù)的有界性、函數(shù)的有界性 設(shè)設(shè) f (x)在集合在集合D內(nèi)有定義內(nèi)有定義, 若存在正數(shù)若存在正數(shù)M, 使得對(duì)使得對(duì)每一個(gè)每一個(gè) , 都有都有 成立成立, 則稱(chēng)函數(shù)則稱(chēng)函數(shù) f (x)在在D內(nèi)有界內(nèi)有界, 或稱(chēng)或稱(chēng) f ( x)是是D內(nèi)的有界函數(shù)內(nèi)的有界函數(shù); 否則否則, 稱(chēng)稱(chēng) f (

10、x)在在D內(nèi)無(wú)界內(nèi)無(wú)界,或稱(chēng)或稱(chēng) f (x)是是D內(nèi)的無(wú)界函數(shù)內(nèi)的無(wú)界函數(shù).Dx Mxf )( 設(shè)設(shè) f (x)在集合在集合D內(nèi)有定義內(nèi)有定義, 若存在數(shù)若存在數(shù)A(或或B), 使得對(duì)使得對(duì)每一個(gè)每一個(gè) , 都有都有 (或或 )成立成立, 則稱(chēng)函則稱(chēng)函數(shù)數(shù) f (x)在在D內(nèi)有內(nèi)有上界上界(或有或有下界下界), 也稱(chēng)函數(shù)也稱(chēng)函數(shù) f (x)是是D內(nèi)有內(nèi)有上界上界(或有下界或有下界)的函數(shù)的函數(shù).Dx Axf )(Bxf )( 例如例如, 函數(shù)函數(shù) y = sin x在在(,+)內(nèi)有界內(nèi)有界, 而函數(shù)而函數(shù) y = x2在在 (,+)內(nèi)有下界但無(wú)上界內(nèi)有下界但無(wú)上界,故故 y = x2 在在 (

11、,+)內(nèi)是無(wú)界函數(shù)內(nèi)是無(wú)界函數(shù).不過(guò)不過(guò) y = x2 在在1,1上是有界上是有界函數(shù)函數(shù).結(jié)論：結(jié)論： 函數(shù)函數(shù) f (x)在在D內(nèi)有界的內(nèi)有界的充要條件充要條件是函數(shù)是函數(shù) f (x)在在D內(nèi)既有上界又有下界內(nèi)既有上界又有下界; 復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)一、復(fù)合函數(shù)一、復(fù)合函數(shù)1、定義：設(shè)函數(shù)、定義：設(shè)函數(shù) y = f (u), uD( f ), yZ( f ) u = g (x), xD( g ), uZ( g )若若D( f ) Z( g ) (空集空集), 則稱(chēng)函數(shù)則稱(chēng)函數(shù))()( ),(fDxgxxxgfy 為由函數(shù)為由函數(shù) y = f (u) 和和 u = g (x) 復(fù)

12、合而成的復(fù)合函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù). 其中其中y 稱(chēng)為稱(chēng)為因變量因變量, x 稱(chēng)為稱(chēng)為自變量自變量, 而而 u 稱(chēng)為稱(chēng)為中間變量中間變量.集合集合 稱(chēng)為復(fù)合函數(shù)稱(chēng)為復(fù)合函數(shù) y = f g(x) 的定的定義域義域.)()(fDxgx 例例 討論下列各組函數(shù)可否復(fù)合成復(fù)合函數(shù)討論下列各組函數(shù)可否復(fù)合成復(fù)合函數(shù), 若可若可以以, 求出復(fù)合函數(shù)及其定義域求出復(fù)合函數(shù)及其定義域.;ln)(,1)()1(xxguuufy .cos)(),1ln()()2(2xxguuufy )., 1ln|1ln|)()(,)(), 1)(11exxyexxxxuZfDRuZfD定義域?yàn)榧磸?fù)合函數(shù)為所以解：由于.,)(

13、)(,1 , 1)(), 1 () 1()(合則上述兩個(gè)函數(shù)不能符所以而解：由于uZfDuZfD注意注意: :1. 1.不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)合不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)的函數(shù)的; ;2. 2.復(fù)合函數(shù)可以由兩個(gè)以上的函數(shù)復(fù)合構(gòu)成復(fù)合函數(shù)可以由兩個(gè)以上的函數(shù)復(fù)合構(gòu)成. .ln ,uv=cos ,v arct=1.tx=,2uy 例：2 2、函數(shù)值以及函數(shù)表達(dá)式的求法、函數(shù)值以及函數(shù)表達(dá)式的求法例例 設(shè)設(shè) , 求求 .xxxf11)()(1 xff 解：解：)(1 xff )(1 1)(1 1xfxf )(2)(xfxf xxxx 11211.31 xx例例 設(shè)設(shè) ,

14、求求 .xxf )1()(xf解：解：令令,1ux 則則.)1(2 ux,)1()(2 uuf即即.)1()(2 xxf二、二、 反函數(shù)反函數(shù)0 x0y0 x0yxyDW)(xfy 函數(shù)函數(shù)oxyDW)(yx 反函數(shù)反函數(shù)o 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x) 的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镈( f )，值域?yàn)?，值域?yàn)閆( f )，若對(duì)每，若對(duì)每一個(gè)一個(gè)yZ( f ) ，都有唯一確定的，都有唯一確定的xD( f )與之對(duì)應(yīng)且滿足與之對(duì)應(yīng)且滿足y = f (x)，則，則x是定義在是定義在Z( f )上以上以y為自變量的函數(shù)，為自變量的函數(shù)， 記作記作 x = f 1( y )， y Z( f ) ， 并稱(chēng)其為反函數(shù)

15、并稱(chēng)其為反函數(shù). 習(xí)慣上記作習(xí)慣上記作).(),(1fZxxfy說(shuō)明說(shuō)明. .(1)(1)原原函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線y = x 對(duì)稱(chēng)；對(duì)稱(chēng)； (2)(2)函數(shù)函數(shù)y = f ( x )具有反函數(shù)充要條件它是一一對(duì)應(yīng)的；具有反函數(shù)充要條件它是一一對(duì)應(yīng)的；嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù). .反函數(shù)是相互的且具有唯一性反函數(shù)是相互的且具有唯一性. . (3) (3) 定義域、值域相反對(duì)應(yīng)法則互逆定義域、值域相反對(duì)應(yīng)法則互逆.)(xfy 原函數(shù)xyo),(abQ),(baP)(xy 反函數(shù)反函數(shù)(4)(4) 反函數(shù)的求法反函數(shù)的求法三、函數(shù)的運(yùn)算三、函數(shù)的運(yùn)

16、算的下列運(yùn)算：的下列運(yùn)算：,)(, )(21DDxgxf、的定義域分別是的定義域分別是設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)個(gè)函數(shù)個(gè)函數(shù)，則我們可以定義這兩，則我們可以定義這兩 21DDD函數(shù)的函數(shù)的和（差）和（差）函數(shù)的函數(shù)的積積函數(shù)的函數(shù)的商商 gf Dxxgxfxgf ，)()()(Dxxgxfxgf ，)()()(gfgf )()()(xgxfxgf 0)(| xgxDxCy (C為常數(shù)為常數(shù))xyocy 圖形是一條平行于圖形是一條平行于x 軸的直線軸的直線其定義域?yàn)槠涠x域?yàn)镈( f )(,+), 值域?yàn)橹涤驗(yàn)閆( f )C.1. 1.常值函數(shù)常值函數(shù)(constant functions )(constan

17、t functions )基本初等函數(shù)與初等函數(shù)基本初等函數(shù)與初等函數(shù)一、基本初等函數(shù)一、基本初等函數(shù)2. 2.冪函數(shù)冪函數(shù)(power functions )(power functions )冪函數(shù)冪函數(shù))( 是常數(shù)是常數(shù) xyoxy)1 , 1(112xy xy xy1 xy xay xay)1( )1( a)10( aaayx且且3. 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)(exponential function)1, 0(log aaxyaxyln xyalog xya1log )1( a)0 , 1( 4. 對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)(logarithmic function)正弦函數(shù)正弦函數(shù)xysin xys

18、in 四、三角函數(shù)與反三角函數(shù)四、三角函數(shù)與反三角函數(shù)1. 三角函數(shù)三角函數(shù)xycos xycos 余弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)正切函數(shù)xytan xytan xycot 余切函數(shù)余切函數(shù)xycot 2. 反三角函數(shù)反三角函數(shù)xyarcsin xyarcsin 反反正正弦弦函函數(shù)數(shù)xyarccos xyarccos 反反余余弦弦函函數(shù)數(shù)xyarctan xyarctan 反正切函數(shù)反正切函數(shù)xycot 反余切函數(shù)反余切函數(shù)arcxycot arc四、初等函數(shù)四、初等函數(shù) 常值函數(shù)常值函數(shù), ,冪函數(shù)冪函數(shù), ,指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù), ,對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù), ,三三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為基本初等函數(shù)基本初等函數(shù). .由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成的并運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成的并可用一個(gè)式子表示的函數(shù)，稱(chēng)為可用一個(gè)式子表示的函數(shù)，稱(chēng)為初等函數(shù)初等函數(shù). .2.分段函數(shù)一定不是初等函數(shù)嗎？分段函數(shù)一定不是初等函數(shù)嗎？解答解答不一定不一定考察函數(shù)考察函數(shù) 00 xxxxy它是一個(gè)分段函數(shù)，它是一個(gè)分段函數(shù)，2xxy ，但是但是根據(jù)定義，它是一個(gè)初等函數(shù)根據(jù)定義，它是一個(gè)初等函數(shù).1.初等函數(shù)的結(jié)構(gòu)分析初等函數(shù)的結(jié)構(gòu)分析