數(shù)學(xué)第十一章 復(fù)數(shù)、算法、推理與證明 第三節(jié) 合情推理與演繹推理 文

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1、第三節(jié)合情推理與演繹推理總綱目錄教材研讀1.合情推理考點突破2.演繹推理考點二歸納推理考點二歸納推理考點一類比推理考點三演繹推理考點三演繹推理類型定義特點歸納推理根據(jù)一類事物的部分部分 對象具有某種性質(zhì),推出這類事物的全部全部 對象都具有這種性質(zhì)的推理由部分部分 到整體整體 、由個別個別 到一般一般 類比推理根據(jù)兩類事物之間具有某些類似(或一致)性,推測一類事物具有另一類事物類似(或相同)的性質(zhì)的推理由特殊特殊 到特殊特殊 1.合情推理合情推理教材研讀教材研讀2.演繹推理演繹推理(1)定義定義:從一般性的原理出發(fā),推出某個特殊情況下的結(jié)論的推理稱為演繹推理.簡言之,演繹推理是由一般到特殊的推理

2、.(2)“三段論三段論”是演繹推理的一般模式是演繹推理的一般模式,包括包括:(i)大前提已知的一般原理;(ii)小前提所研究的特殊情況;(iii)結(jié)論根據(jù)一般原理,對特殊情況作出的判斷.1.(1)已知a是三角形一邊的長,h是該邊上的高,則三角形的面積是ah,如果把扇形的弧長l,半徑r分別看成三角形的底邊長和高,可得到扇形的面積為lr;(2)由1=12,1+3=22,1+3+5=32,可得到1+3+5+2n-1=n2.(1)(2)兩個推理過程分別屬于()A.類比推理、歸納推理B.類比推理、演繹推理C.歸納推理、類比推理D.歸納推理、演繹推理1212答案答案 A(1)三角形的性質(zhì)與扇形的性質(zhì)有相似

3、之處,此種推理為類比推理;(2)由特殊到一般,此種推理為歸納推理.故選A.A2.(2017北京海淀二模)一位手機用戶前四次輸入四位數(shù)字手機密碼均不正確,第五次輸入密碼正確,手機解鎖.事后發(fā)現(xiàn)前四次輸入的密碼中,每次都有兩個數(shù)字正確,但它們各自的位置均不正確.已知前四次輸入的密碼分別為3406,1630,7364,6173,則正確的密碼中一定含有數(shù)字()A.4,6B.3,6C.3,7D.1,7答案答案 D由前四次輸入的密碼可知3和6均出現(xiàn)四次,且每個位置出現(xiàn)一次,故正確密碼中沒有3和6,又前四次輸入的密碼中,每次有兩個數(shù)字正確,故正確密碼中數(shù)字為0,4,1,7,故正確密碼為0741或4017.故

4、選D.D3.(2016北京石景山一模)將數(shù)字1,2,3,4,5,6書寫在每一個骰子的六個表面上,做成6枚一樣的骰子.分別取三枚同樣的這種骰子疊放成如圖A和B所示的兩個柱體,則柱體A和B的表面(不含地面)上的數(shù)字之和分別是()A.47,48B.47,49C.49,50D.50,49A答案答案A由圖A知,5不與6、4相對,由圖B知,5不與1、3相對,故5與2相對.同理,6與1相對,3與4相對.故柱體A和B的表面(不含地面)上的數(shù)字之和分別為47,48.4.在平面上,若兩個正三角形的邊長比為1 2,則它們的面積比為1 4,類似地,在空間中,若兩個正四面體的棱長比為1 2,則它們的體積比為.答案答案1

5、 8解析解析兩個正三角形是相似三角形,它們的面積比是相似比的平方.類似地,兩個正四面體是兩個“相似”幾何體,體積比為相似比的立方,所求體積比為1 8.1 85.(2018北京海淀高三期末)某次高三英語聽力考試中有5道選擇題,每題1分,每道題在A,B,C三個選項中只有一個是正確的.下表是甲、乙、丙三名同學(xué)每道題填涂的答案和這5道題的得分:12345得分甲CCABB4乙CCBBC3丙BCCBB2則甲同學(xué)答錯的題目的題號是;此題正確的選項是.答案答案5;A解析解析甲與乙在1,2,4三道題選項相同,又甲選對4道,乙選對3道,1,2,4題正確選項分別為C,C,B;甲選錯的是題3或題5,由丙的成績知其只做

6、對了題2和題4,題3不選C,題5不選B,由乙的答題和得分情況知,題5不選C,即題5正確的選項為A.考點一類比推理考點一類比推理考點突破考點突破典例典例1(1)給出下列類比推理命題(其中Q為有理數(shù)集,R為實數(shù)集,C為復(fù)數(shù)集):由“若a,bR,則a-b=0a=b”類比推出“若a,bC,則a-b=0a=b”;由“若a,b,c,dR,則復(fù)數(shù)a+bi=c+dia=c,b=d”類比推出“若a,b,c,dQ,則a+b=c+da=c,b=d”;由“若a,bR,則a-b0ab”類比推出“若a,bC,則a-b0ab”;由“若xR,則|x|1-1x1”類比推出“若zC,則|z|1-1z2,f(8),f(16)3,觀

7、察上述結(jié)果,可推測一般的結(jié)論為.(2)已知x(0,+),觀察下列各式:x+2,x+=+3,x+=+4,歸納得x+n+1(nN*),則a=.12131n32521x24x2x2x24x327x3x3x3x327xnax命題角度二與不等式有關(guān)的推理命題角度二與不等式有關(guān)的推理答案答案(1)f(2n)(nN*)(2)nn22n解析解析(1)f(21)=,f(22)2=,f(23),f(24),歸納得f(2n)(nN*).(2)第一個式子是n=1的情況,此時a=11=1;第二個式子是n=2的情況,此時a=22=4;第三個式子是n=3的情況,此時a=33=27,歸納可知a=nn.3242526222n命

8、題角度三與數(shù)列有關(guān)的推理命題角度三與數(shù)列有關(guān)的推理典例典例4以下數(shù)表的構(gòu)造思路源于我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的詳解九章算術(shù)一書中的“楊輝三角形”.該表由若干行數(shù)字組成,從第二行起,每一行中的數(shù)字均等于其“肩上”兩數(shù)之和,表中最后一行僅有一個數(shù),則這個數(shù)為()A.201722015B.201722014C.201622015D.201622014B答案答案 B解析解析由題意知數(shù)表的每一行都是等差數(shù)列,且第一行數(shù)的公差為1,第二行數(shù)的公差為2,第三行數(shù)的公差為4,第2015行數(shù)的公差為22014,第1行的第一個數(shù)為22-1,第2行的第一個數(shù)為320,第3行的第一個數(shù)為421,第n行的第一個數(shù)為(n+1

9、),第2016行只有一個數(shù)M,則M=(1+2016)22014=201722014.故選B.22n命題角度四與圖形變化有關(guān)的推理命題角度四與圖形變化有關(guān)的推理典例典例5下面圖形由小正方形組成,請觀察圖1至圖4的規(guī)律,依此規(guī)律,第n個圖形中小正方形的個數(shù)是(nN*).(1)2n n答案答案(1)2n n解析解析由題圖可知第n個圖形中小正方形的個數(shù)為1+2+3+n=.(1)2n n規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)(1)歸納推理的一般步驟通過對某些個體的觀察、分析和比較,發(fā)現(xiàn)它們的相同性質(zhì)或變化規(guī)律;由發(fā)現(xiàn)的相同性質(zhì)或變化規(guī)律推出一個明確表達的一般性命題.(2)歸納是依據(jù)特殊現(xiàn)象推出一般現(xiàn)象,因而由歸納所得的結(jié)論超

10、越了前提所包含的范圍.(3)歸納推理所得結(jié)論未必正確,有待進一步證明,但對數(shù)學(xué)結(jié)論和科學(xué)的發(fā)現(xiàn)很有用.2-1如圖所示,將若干個點擺成三角形圖案,每條邊(包括兩個端點)有n(n1,nN)個點,相應(yīng)的圖案中總的點數(shù)記為an,則+=()A.B.C.D.239a a349a a459a a201520169aa20122013201320122014201520142013C答案答案C每條邊有n個點,所以3條邊有3n個點,三角形的3個頂點重復(fù)計算了一次,所以減3個頂點,即an=3n-3,那么=-,即+=+=1-=,故選C.19nna a9(33) 3nn1(1)nn11n1n239a a349a a4

11、59a a201520169aa11121123113411201420151201520142015典例典例6(1)(2017北京朝陽一模)如圖,AB1C1,B1B2C2,B2B3C3是三個邊長為2的等邊三角形,且有一條邊在同一直線上,邊B3C3上有5個不同的點P1,P2,P3,P4,P5,設(shè)mi=(i=1,2,5),則m1+m2+m5=.2ACiAP考點三演繹推理考點三演繹推理(2)(2017北京西城二模)某班開展一次智力競賽活動,共a,b,c三個問題,其中題a滿分是20分,題b,c滿分都是25分.每道題或者得滿分,或者得0分.活動結(jié)果顯示,全班同學(xué)每人至少答對一道題,有1名同學(xué)答對全部三

12、道題,有15名同學(xué)答對其中兩道題.答對題a與題b的人數(shù)之和為29,答對題a與題c的人數(shù)之和為25,答對題b與題c的人數(shù)之和為20,則該班同學(xué)中只答對一道題的人數(shù)是;該班的平均成績是.答案答案(1)90(2)4;42分解析解析(1)因為AB1C1,B1B2C2,B2B3C3均是邊長為2的等邊三角形,所以AB1C2為等腰三角形,AB1C2=120,AB3C3=60,所以C2AB3=30,AC2=2,延長AC2,B3C3,交于點D,3則D=90,所以,所以=0.所以mi=(+)=+=|cos30+0=26=18,所以m1+m2+m5=185=90.(2)設(shè)答對題a,題b,題c的人數(shù)分別為Sa,Sb,

13、Sc,由題意得2AC33B C2AC33B C2ACiAP2AC3AB3iB P2AC3AB2AC3iB P2AC3AB33229,20,25abbcacSSSSSS17,12,8.abcSSS設(shè)只答對題a的人數(shù)為a,只答對題b的人數(shù)為b,只答對題c的人數(shù)為c,答對a與b,b與c,a與c的人數(shù)分別為x,y,z.由題可知x+y+z=15.Sa=x+z+a+1=17,Sb=x+y+b+1=12,Sc=y+z+c+1=8,+得,2(x+y+z)+(a+b+c)+3=37.故a+b+c=4,即只答對一道題的有4人,故全班總?cè)藬?shù)為1+15+4=20.總分為20Sa+25Sb+25Sc=840,平均分為=

14、42(分).84020規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)(1)演繹推理是從一般到特殊的推理,其一般形式是三段論,應(yīng)用三段論解決問題時,應(yīng)當(dāng)首先明確什么是大前提和小前提,如果大前提是顯然的,則可以省略.(2)在推理論證過程中,一些復(fù)雜的證明題常常要利用幾個三段論才能完成.3-1 (2017北京,14,5分)某學(xué)習(xí)小組由學(xué)生和教師組成,人員構(gòu)成同時滿足以下三個條件:(i)男學(xué)生人數(shù)多于女學(xué)生人數(shù);(ii)女學(xué)生人數(shù)多于教師人數(shù);(iii)教師人數(shù)的兩倍多于男學(xué)生人數(shù).若教師人數(shù)為4,則女學(xué)生人數(shù)的最大值為;該小組人數(shù)的最小值為.答案答案612解析解析設(shè)男學(xué)生人數(shù)為x,女學(xué)生人數(shù)為y,教師人數(shù)為z,由已知得且x,y,z均為正整數(shù).當(dāng)z=4時,8xy4,x的最大值為7,y的最大值為6,故女學(xué)生人數(shù)的最大值為6.xyz,當(dāng)x=3時,條件不成立,當(dāng)x=4時,條件不成立,當(dāng)x=5時,5yz,此時z=3,y=4.該小組人數(shù)的最小值為12.,2,xyyzzx2x52