數(shù)學(xué)第一章 集合與常用邏輯用語(yǔ) 1.3 命題及其關(guān)系、充要條件 文 新人教A版

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1、1 1. .3 3命題及其關(guān)系、充要條件命題及其關(guān)系、充要條件-2-知識(shí)梳理雙基自測(cè)2341自測(cè)點(diǎn)評(píng)1.命題 真假 -3-知識(shí)梳理雙基自測(cè)自測(cè)點(diǎn)評(píng)23412.四種命題及其關(guān)系(1)四種命題的表示及相互之間的關(guān)系(2)四種命題的真假關(guān)系互為逆否的兩個(gè)命題(或).互逆或互否的兩個(gè)命題.等價(jià) 同真 同假 不等價(jià) -4-知識(shí)梳理雙基自測(cè)自測(cè)點(diǎn)評(píng)23413.充分條件、必要條件與充要條件的概念 充分 必要 充分不必要 必要不充分 充要 既不充分也不必要 -5-知識(shí)梳理雙基自測(cè)自測(cè)點(diǎn)評(píng)23414.常用結(jié)論(1)在四種形式的命題中,真命題的個(gè)數(shù)只能是0或2或4.(2)p是q的充分不必要條件等價(jià)于 q是 p的充

2、分不必要條件.其他情況依此類(lèi)推.(3)集合與充要條件:設(shè)p,q成立的對(duì)象構(gòu)成的集合分別為A,B,p是q的充分不必要條件AB;p是q的必要不充分條件AB;p是q的充要條件A=B.2-6-知識(shí)梳理雙基自測(cè)3415自測(cè)點(diǎn)評(píng)1.下列結(jié)論正確的打“”,錯(cuò)誤的打“”.(2)命題“若x2-3x+20,則x2或xb”是“a3b3”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件 答案解析解析關(guān)閉因?yàn)閍b能推出a3b3,a3b3也能推出ab.所以“ab”是“a3b3”的充要條件,故選C. 答案解析關(guān)閉C-8-知識(shí)梳理雙基自測(cè)自測(cè)點(diǎn)評(píng)234153.(2017山東濰坊期末)已知命題“若

3、x=5,則x2-8x+15=0”,則它的逆命題、否命題與逆否命題這三個(gè)命題中,真命題有()A.0個(gè) B.1個(gè)C.2個(gè) D.3個(gè) 答案解析解析關(guān)閉原命題“若x=5,則x2-8x+15=0”為真命題,又當(dāng)x2-8x+15=0時(shí),x=3或x=5,故其逆命題“若x2-8x+15=0,則x=5”為假命題.又由四種命題之間的關(guān)系知該命題的逆否命題為真命題,否命題為假命題,故選B. 答案解析關(guān)閉B-9-知識(shí)梳理雙基自測(cè)自測(cè)點(diǎn)評(píng)234154.設(shè)p:實(shí)數(shù)x,y滿足x1且y1,q:實(shí)數(shù)x,y滿足x+y2,則p是q的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件 答案 答案關(guān)閉A -1

4、0-知識(shí)梳理雙基自測(cè)自測(cè)點(diǎn)評(píng)234155.(教材習(xí)題改編P10T3(2)“(x-a)(x-b)=0”是“x=a”的條件. 答案解析解析關(guān)閉x=a(x-a)(x-b)=0,反之不一定成立.因此,“(x-a)(x-b)=0”是“x=a”的必要不充分條件. 答案解析關(guān)閉必要不充分-11-知識(shí)梳理雙基自測(cè)自測(cè)點(diǎn)評(píng)1.“否命題”與“命題的否定”是兩個(gè)不同的概念.否命題是既否定命題的條件,又否定命題的結(jié)論;命題的否定只否定結(jié)論.2.因?yàn)榛槟娣衩}的兩個(gè)命題具有相同的真假性,所以當(dāng)判斷一個(gè)命題的真假比較困難時(shí),可轉(zhuǎn)化為判斷它的逆否命題的真假.3.“p是q的充分不必要條件”即為“pq且q p”;“p的充分不

5、必要條件是q”即為“qp且p q”.-12-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3例1(1)命題“若a2+b2=0,則a=0且b=0”的逆否命題是()A.若a2+b20,則a0且b0B.若a2+b20,則a0或b0C.若a=0且b=0,則a2+b20D.若a0或b0,則a2+b20(2)原命題為“ ,nN*,則an為遞減數(shù)列”,關(guān)于其逆命題,否命題,逆否命題真假性的判斷依次如下,正確的是()A.真,真,真B.假,假,真C.真,真,假D.假,假,假思考由原命題寫(xiě)出其他三種命題應(yīng)注意什么?如何判斷命題的真假? 答案解析解析關(guān)閉 答案解析關(guān)閉-13-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解題心得1.在判斷四種命題的關(guān)系時(shí),要分清命題的條件

6、與結(jié)論,當(dāng)確定了原命題時(shí),要能根據(jù)四種命題的關(guān)系寫(xiě)出其他三種命題;當(dāng)一個(gè)命題有大前提時(shí),若要寫(xiě)出其他三種命題,大前提需保持不變.2.判斷一個(gè)命題為真命題,要給出推理證明;說(shuō)明一個(gè)命題是假命題,只需舉出反例.當(dāng)一個(gè)命題的真假直接判斷不易時(shí),可轉(zhuǎn)化為判斷其等價(jià)命題的真假.-14-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)命題“若x,y都是偶數(shù),則x+y也是偶數(shù)”的逆否命題是()A.若x+y是偶數(shù),則x與y不都是偶數(shù)B.若x+y是偶數(shù),則x與y都不是偶數(shù)C.若x+y不是偶數(shù),則x與y不都是偶數(shù)D.若x+y不是偶數(shù),則x與y都不是偶數(shù)(2)(2017河南鄭州模擬)給出以下四個(gè)命題:“若x+y=0,則x

7、,y互為相反數(shù)”的逆命題;“全等三角形的面積相等”的否命題;“若q-1,則x2+x+q=0有實(shí)根”的逆否命題;若ab是正整數(shù),則a,b都是正整數(shù).其中真命題是.(只填序號(hào)) 答案解析解析關(guān)閉(1)由于“x,y都是偶數(shù)”的否定是“x,y不都是偶數(shù)”,“x+y是偶數(shù)”的否定是“x+y不是偶數(shù)”,故原命題的逆否命題為“若x+y不是偶數(shù),則x,y不都是偶數(shù)”.(2)命題“若x+y=0,則x,y互為相反數(shù)”的逆命題為“若x,y互為相反數(shù),則x+y=0”,顯然為真命題;不全等的三角形的面積也可能相等,故為假命題;原命題正確,所以它的逆否命題也正確,故為真命題;若ab是正整數(shù),則a,b不一定都是正整數(shù),例如

8、a=-1,b=-3,故為假命題. 答案解析關(guān)閉(1)C(2)-15-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3例2設(shè)p:實(shí)數(shù)x,y滿足(x-1)2+(y-1)22,q:實(shí)數(shù)x,yA.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件思考充要條件的判斷有哪幾種方法? 答案解析解析關(guān)閉 答案解析關(guān)閉-16-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解題心得充要條件的三種判斷方法:(1)定義法:根據(jù)pq,qp進(jìn)行判斷.(2)集合法:根據(jù)p,q成立對(duì)應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷.(3)等價(jià)轉(zhuǎn)化法:根據(jù)一個(gè)命題與其逆否命題的等價(jià)性,把判斷的命題轉(zhuǎn)化為其逆否命題進(jìn)行判斷.-17-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(2017湖南婁

9、底二模)“a1”是“不等式2xa-x成立”的必要不充分條件,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.a3B.a4D.aa-x,則2x+xa.設(shè)f(x)=2x+x,可知函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù).根據(jù)題意“不等式2x+xa成立,即f(x)a成立”能得到“x1”,并且反之不成立.當(dāng)x1時(shí),可知f(x)3.故a3. 答案解析關(guān)閉A -23-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)31.寫(xiě)一個(gè)命題的逆命題、否命題及逆否命題的關(guān)鍵是分清原命題的條件和結(jié)論,在判斷命題的真假時(shí),可以借助原命題與其逆否命題同真同假的關(guān)系來(lái)判定.2.充要關(guān)系的幾種判斷方法:(1)定義法:直接判斷“若p,則q”“若q,則p”的真假.(3)集合法:設(shè)A=x|p(x)

10、,B=x|q(x),利用集合A,B的關(guān)系來(lái)判斷.-24-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)31.當(dāng)一個(gè)命題有大前提時(shí),要寫(xiě)出其他三種命題,必須保留大前提,也就是大前提不動(dòng).2.判斷命題的真假及寫(xiě)四種命題時(shí),一定要明確命題的結(jié)構(gòu),可以先把命題改寫(xiě)成“若p,則q”的形式.3.判斷條件之間的關(guān)系,要注意條件之間的推出方向,正確理解“p的一個(gè)充分不必要條件是q”等語(yǔ)言.-25-思想方法等價(jià)轉(zhuǎn)化思想在充要條件中的應(yīng)用等價(jià)轉(zhuǎn)化是一種重要的數(shù)學(xué)思想,體現(xiàn)了“把未知問(wèn)題化歸到已有知識(shí)范圍內(nèi)可解”的求解策略,本節(jié)內(nèi)容蘊(yùn)含著豐富的等價(jià)轉(zhuǎn)化思想,對(duì)于一個(gè)難以入手的命題,可以把命題轉(zhuǎn)化為易于解決的等價(jià)命題,每一個(gè)等價(jià)命題都能提供一個(gè)解

11、題思路.因此熟悉并掌握命題的多種等價(jià)形式是等價(jià)轉(zhuǎn)化的前提,同時(shí)也是靈活解題的基礎(chǔ).-26-要不充分條件,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.分析：先求出p,q對(duì)應(yīng)不等式的解集,再利用p,q之間的關(guān)系列出關(guān)于m的不等式或不等式組得出結(jié)論.解：(方法一)由q:x2-2x+1-m20(m0),得1-mx1+m,-27-所以p是q的充分不必要條件.由q:x2-2x+1-m20(m0),得1-mx1+m,則q:Q=x|1-mx1+m,m0.-28-則p:P=x|-2x10.因?yàn)閜是q的充分不必要條件,則PQ,即m9或m9.故m9. -29-反思提升本例涉及參數(shù)問(wèn)題,直接解決較為困難,先用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想,將復(fù)雜、生疏的問(wèn)題化歸為簡(jiǎn)單、熟悉的問(wèn)題來(lái)解決.一般地,在涉及參數(shù)的取值范圍的充要條件問(wèn)題中,常常要利用集合的包含、相等關(guān)系來(lái)考慮,這是解此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵.