高考數(shù)學(xué) 第三章 第八節(jié) 應(yīng)用舉例課件 理 新人教A版

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1、第八節(jié) 應(yīng) 用 舉 例1.1.三角形中常用的面積公式三角形中常用的面積公式(1)S= ah(h(1)S= ah(h表示邊表示邊a a上的高上的高).).(2)S= bcsin(2)S= bcsin A= = . A= = .(3)S= r(a+b+c)(r(3)S= r(a+b+c)(r為三角形的內(nèi)切圓半徑為三角形的內(nèi)切圓半徑).).12121absin C21acsin B2122.2.實(shí)際問(wèn)題中的有關(guān)概念實(shí)際問(wèn)題中的有關(guān)概念(1)(1)仰角和俯角仰角和俯角: :在視線和水平線所成的角中，視線在水平線在視線和水平線所成的角中，視線在水平線_的角叫仰的角叫仰角，在水平線角，在水平線_的角叫俯角

2、的角叫俯角( (如圖如圖).).上方上方下方下方(2)(2)方位角方位角: :從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B B點(diǎn)的方位角點(diǎn)的方位角為為(如圖如圖).).(3)(3)方向角方向角: :相對(duì)于某一正方向的水平角相對(duì)于某一正方向的水平角( (如圖如圖) )(i)(i)北偏東北偏東即由指北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)即由指北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到達(dá)目標(biāo)方向；到達(dá)目標(biāo)方向；(ii)(ii)北偏西北偏西即由指北方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)即由指北方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到達(dá)目標(biāo)方向；到達(dá)目標(biāo)方向；(iii)(iii)南偏西等其他方向角類(lèi)似南偏西等其他方向角類(lèi)似. .(4)(4)坡角與坡度坡角

3、與坡度坡角坡角: :坡面與水平面所成的二面角的度坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)數(shù)( (如圖如圖，角，角為坡角為坡角) )；坡度坡度: :坡面的鉛直高度與水平長(zhǎng)度之比坡面的鉛直高度與水平長(zhǎng)度之比( (如圖如圖，i i為坡度為坡度).).坡度又稱為坡比坡度又稱為坡比. .判斷下面結(jié)論是否正確判斷下面結(jié)論是否正確( (請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或或“”).”).(1)(1)面積公式中面積公式中S= bcsin A= absin C= acsinS= bcsin A= absin C= acsin B B，其實(shí)質(zhì)就，其實(shí)質(zhì)就是面積公式是面積公式S= ah= bh= ch(hS= ah= bh= ch

4、(h為相應(yīng)邊上的高為相應(yīng)邊上的高) )的變形的變形.( ).( )(2)(2)俯角是鉛垂線與視線所成的角，其范圍為俯角是鉛垂線與視線所成的角，其范圍為0, 0, .( ).( )(3)(3)方位角與方向角其實(shí)質(zhì)是一樣的，均是確定觀察點(diǎn)與目標(biāo)方位角與方向角其實(shí)質(zhì)是一樣的，均是確定觀察點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)之間的位置關(guān)系點(diǎn)之間的位置關(guān)系.( ).( )(4)(4)方位角大小的范圍是方位角大小的范圍是0,2)0,2)，方向角大小的范圍一般是，方向角大小的范圍一般是0, ).( )0, ).( )12121212121222【提示【提示】(1)(1)正確正確. .如如S= absin C= ah(h=bsinS=

5、 absin C= ah(h=bsin C) C)，h h即為即為邊邊a a上的高上的高. .(2)(2)錯(cuò)誤錯(cuò)誤. .俯角是視線與水平線所構(gòu)成的角俯角是視線與水平線所構(gòu)成的角. .(3)(3)正確正確. .方位角與方向角均是確定觀察點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)之間的位置方位角與方向角均是確定觀察點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)之間的位置關(guān)系的關(guān)系的. .(4)(4)正確正確. .方位角是由正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平方位角是由正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，故大小的范圍為角，故大小的范圍為0,2)0,2)，而方向角大小的范圍由定義可，而方向角大小的范圍由定義可知為知為0, ).0, ).答案答案: :(1) (2)(1

6、) (2) (3) (4) (3) (4)121221.1.在在ABCABC中中,A= ,AB=1,AC=2,A= ,AB=1,AC=2,則則S SABCABC的值為的值為( )( )(A) (B)1 (C) (D)(A) (B)1 (C) (D)【解析【解析】選選C.C.由已知得由已知得A= ,AB=c=1,AC=b=2,A= ,AB=c=1,AC=b=2,SSABCABC= bcsin= bcsin A= A= 2 21 1 = . = .3123233121232322.2.在在ABCABC中中,AC= ,AB= ,S,AC= ,AB= ,SABCABC= = ，則，則coscos A

7、A等于等于( )( )(A) (B) (C)(A) (B) (C) (D) (D)【解析【解析】選選D.D.由已知得由已知得AC=b= ,AB=c= ,AC=b= ,AB=c= ,S SABCABC= = 得，得， bcsinbcsin A= , A= ,即即 , ,故故sin A= .sin A= .cos A= .cos A= .5222552 55552 55522212221252sin A225522 51 sin A5 3.3.如圖所示，已知兩座燈塔如圖所示，已知兩座燈塔A A和和B B與海洋觀察站與海洋觀察站C C的距離相等，的距離相等，燈塔燈塔A A在觀察站在觀察站C C的北偏

8、東的北偏東4040，燈塔，燈塔B B在觀察站在觀察站C C的南偏東的南偏東6060，則燈塔則燈塔A A在燈塔在燈塔B B的方向?yàn)榈姆较驗(yàn)? )( )(A)(A)北偏西北偏西5 5 (B) (B)北偏西北偏西1010(C)(C)北偏西北偏西1515 (D) (D)北偏西北偏西2020【解析【解析】選選B.B.由已知由已知ACBACB180180404060608080，又又ACACBCBC，AAABCABC5050，606050501010. .燈塔燈塔A A位于燈塔位于燈塔B B的北偏西的北偏西1010. .4.4.已知已知A A，B B兩地的距離為兩地的距離為10 km,B10 km,B，C

9、 C兩地的距離為兩地的距離為20 km,20 km,現(xiàn)測(cè)現(xiàn)測(cè)得得ABC=120ABC=120，則，則A A，C C兩地的距離為兩地的距離為_(kāi)km._km.【解析【解析】如圖所示，如圖所示，由余弦定理可得：由余弦定理可得：ACAC2 2=100+400-2=100+400-210102020cos 120cos 120=700=700，AC=10 (km).AC=10 (km).答案答案: :1010775.5.某運(yùn)動(dòng)會(huì)開(kāi)幕式上舉行升旗儀式，在坡度為某運(yùn)動(dòng)會(huì)開(kāi)幕式上舉行升旗儀式，在坡度為1515的看臺(tái)上，的看臺(tái)上，同一列上的第一排和最后一排測(cè)得旗桿頂部的仰角分別為同一列上的第一排和最后一排測(cè)得旗

10、桿頂部的仰角分別為6060和和3030，第一排和最后一排的距離為，第一排和最后一排的距離為 米米( (如圖所示如圖所示) )，則，則旗桿的高度為旗桿的高度為_(kāi)米米. .10 6【解析【解析】如圖所示，依題意可知如圖所示，依題意可知AEC=45AEC=45, ,ACE=180ACE=180-60-60-15-15=105=105, ,EAC=180EAC=180-45-45-105-105=30=30. .由正弦定理可知由正弦定理可知 , ,AC= AC= sinCEAsinCEA=20 (=20 (米米) )，在在RtRtABCABC中，中，AB=ACAB=ACsinACBsinACB= =3

11、0(= =30(米米).).即旗桿的高度為即旗桿的高度為3030米米. .答案答案: :3030CEACsin EACsin CEACEsin EAC3320 32考向考向1 1 與三角形面積有關(guān)的問(wèn)題與三角形面積有關(guān)的問(wèn)題【典例【典例1 1】(1)(2013(1)(2013中山模擬中山模擬) )已知已知O O為為ABCABC內(nèi)一點(diǎn)，滿足內(nèi)一點(diǎn)，滿足 = =0， =2=2，且，且BAC= BAC= ，則，則OBCOBC的面積為的面積為 ( )( )(A) (B) (C) (D)(A) (B) (C) (D)OAOBOC AB AC 312333223(2)(2013(2)(2013揭陽(yáng)模擬揭陽(yáng)

12、模擬) )在在ABCABC中，若中，若A=30A=30，b=2b=2，且，且 =0=0，則，則ABCABC的面積為的面積為( )( )(A)2 (B) (C)1 (D)2(A)2 (B) (C)1 (D)2(3)(2013(3)(2013北京模擬北京模擬) )已知已知ABCABC的三個(gè)內(nèi)角的三個(gè)內(nèi)角A A，B B，C C所對(duì)的邊所對(duì)的邊分別為分別為a,b,ca,b,c，角，角A A是銳角，且是銳角，且 b=2asin B.b=2asin B.求角求角A A的度數(shù)的度數(shù); ;若若a=7a=7，ABCABC的面積為的面積為10 ,10 ,求求ABCABC的周長(zhǎng)的周長(zhǎng). .22BA BCAB 333

13、3【思路點(diǎn)撥【思路點(diǎn)撥】(1)(1)先確定先確定O O點(diǎn)的位置，可知點(diǎn)的位置，可知O O為為ABCABC的重心，再的重心，再利用向量關(guān)系求得利用向量關(guān)系求得ABCABC面積即可求得面積即可求得S SOBCOBC. .(2)(2)利用已知條件求邊利用已知條件求邊a,ba,b, ,角角C C，即可求得面積，即可求得面積. .(3)(3)利用正弦定理得角利用正弦定理得角A A，再利用余弦定理得，再利用余弦定理得b+cb+c，從而可求周，從而可求周長(zhǎng)長(zhǎng). .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)選選B.B.由由 = =0，可知，可知O O為為ABCABC的重的重心，故心，故S SOBCOBC= S= SA

14、BCABC, ,由由 =2=2得得c cbcosbcos BAC=2, BAC=2,又又coscos BAC= , BAC= ,故故bcbc=4,=4,SSABCABC= bcsinBAC= bcsinBAC= ,= ,故故S SOBCOBC= S= SABCABC= .= .OAOBOC 13AB AC 1212134322 1333(2)(2)選選B.B.由由2 =02 =0得得2cacos B=c2cacos B=c2 2，即，即2acos B=c.2acos B=c.方法一方法一: :由正弦定理得由正弦定理得2sin Acos B=sin C=sin(A+B2sin Acos B=si

15、n C=sin(A+B),),得得2sin Acos B=sin Acos B+cos Asin B2sin Acos B=sin Acos B+cos Asin B，故故sin Acos B-cos Asin B=0,sin Acos B-cos Asin B=0,即即sin(A-B)=0,sin(A-B)=0,又又A,BA,B是是ABCABC的內(nèi)角的內(nèi)角, ,故故A-B=0,A-B=0,2BA BCAB A=B,a=b=2,A=B,a=b=2,A=30A=30,B=30,B=30,C=120,C=120. .由由S SABCABC= absin C= absin C得得S SABCABC=

16、 .= .12132 2322 方法二方法二：由余弦定理得，：由余弦定理得，2a2a =c =c，即，即a a2 2+c+c2 2-b-b2 2=c=c2 2, ,aa2 2=b=b2 2, ,即即a=b=2,A=B,a=b=2,A=B,又又A=30A=30,B=30,B=30,C=120,C=120. .SSABCABC= absin C= .= absin C= .222acb2ac12132 2322 (3)(3)由已知得由已知得 ，由正弦定理，由正弦定理 得得sin A= .sin A= .又又A A為銳角為銳角, ,故故A= .A= .由余弦定理得由余弦定理得cos A= cos A

17、= ，即即b b2 2+c+c2 2-49=bc,-49=bc,由由 bcsin A=10 bcsin A=10 ，得，得bc=40,bc=40,故故b b2 2+c+c2 2=89=89，得，得(b+c)(b+c)2 2=169,=169,又又b b0 0，c c0,b+c=13.0,b+c=13.故故ABCABC的周長(zhǎng)為的周長(zhǎng)為20.20.absin B32absin Asin B323222bca2bc123【互動(dòng)探究【互動(dòng)探究】若將本例題若將本例題(1)(1)中中“ “ =0”=0”修改為修改為“O O為為ABCABC中線中線ADAD的中點(diǎn)的中點(diǎn)”，其他條件不變，則，其他條件不變，則O

18、BCOBC的面積又該的面積又該如何求解如何求解? ?【解析【解析】由由 =2=2得得cbcos A=2,cbcos A=2,又又BAC= ,cos BAC= ,bc=4,BAC= ,cos BAC= ,bc=4,SSABCABC bcsinBAC= .bcsinBAC= .又又O O為為ABCABC中線中線ADAD的中點(diǎn)的中點(diǎn), ,故故S SOBCOBC= S= SABCABC= .= .OAOBOC AB AC 3121231232【拓展提升【拓展提升】三角形的面積公式三角形的面積公式(1)(1)已知一邊和這邊上的高已知一邊和這邊上的高: :S= ahS= aha a= bh= bhb b=

19、 ch= chc c. .(2)(2)已知兩邊及其夾角：已知兩邊及其夾角：S= absin C= acsin B= bcsinS= absin C= acsin B= bcsin A. A.(3)(3)已知三邊：已知三邊：S= ,S= ,其中其中p= .p= .121212121212p papb (pc)abc2(4)(4)已知兩角及兩角的共同邊：已知兩角及兩角的共同邊：S= .S= .(5)(5)已知三邊和外接圓半徑已知三邊和外接圓半徑R R，則，則S= .S= .222b sin Csin Ac sin Asin Ba sin Bsin C2sin(CA)2sin(AB)2sin(BC)

20、abc4R【變式備選【變式備選】在在ABCABC中，內(nèi)角中，內(nèi)角A A，B B，C C的對(duì)邊分別為的對(duì)邊分別為a a，b b，c.c.已知已知 . .(1)(1)求求 的值的值. .(2)(2)若若coscos B= B= ，b=2,b=2,求求ABCABC的面積的面積S.S.cos A2cos C2cacos Bbsin Csin A14【解析【解析】(1)(1)方法一方法一: :在在ABCABC中，由中，由及正弦定理可得及正弦定理可得 ，即即cos Asin B-2cos Csin B=2sin Ccos B-sin Acos Bcos Asin B-2cos Csin B=2sin Cc

21、os B-sin Acos B，則則cos Asin B+sin Acos B=2sin Ccos B+2cos Csin Bcos Asin B+sin Acos B=2sin Ccos B+2cos Csin B，sin(A+B)=2sin(C+B)sin(A+B)=2sin(C+B)，而，而A+B+C=A+B+C=，則，則sin C=2sin Asin C=2sin A，即即 =2.=2.cos A2cos C2cacos Bbcos A2cos C2sin Csin Acos Bsin Bsin Csin A方法二方法二：在：在ABCABC中，由中，由 可得，可得，bcos A-2bc

22、os C=2ccos B-acos Bbcos A-2bcos C=2ccos B-acos B，由余弦定理可得由余弦定理可得 ，整理可得整理可得c=2a.c=2a.由正弦定理可得由正弦定理可得 =2.=2.cos A2cos C2cacos Bb222222222bcaabcacb2caa222acb2csin Ccsin Aa(2)(2)由由c=2ac=2a及及cos B= ,b=2cos B= ,b=2可得可得4=c4=c2 2+a+a2 2-2accos B=4a-2accos B=4a2 2+a+a2 2-a-a2 2=4a=4a2 2, ,則則a=1a=1，c=2c=2，S= ac

23、sin B= S= acsin B= 1 12 2 = = ，即即S= .S= .141221 cos B15415412考向考向2 2 測(cè)量距離問(wèn)題測(cè)量距離問(wèn)題【典例【典例2 2】(1)(2013(1)(2013聊城模擬聊城模擬) )如圖如圖, ,設(shè)設(shè)A A，B B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者在兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者在A A的同側(cè)的河岸邊選定一點(diǎn)的同側(cè)的河岸邊選定一點(diǎn)C C，測(cè)出，測(cè)出ACAC的的距離是距離是50 m50 m，ACB=45ACB=45，CAB=105CAB=105后，就可以計(jì)算出后，就可以計(jì)算出A A，B B兩點(diǎn)的距離為兩點(diǎn)的距離為( )( )(A)50 m (B)50 m (

24、C)25 m (D) m(A)50 m (B)50 m (C)25 m (D) m23225 22(2)(2011(2)(2011上海高考上海高考) )在相距在相距2 2千米的千米的A A，B B兩點(diǎn)處測(cè)量目標(biāo)點(diǎn)兩點(diǎn)處測(cè)量目標(biāo)點(diǎn)C C，若若CAB=75CAB=75，CBA=60CBA=60, ,則則A A，C C兩點(diǎn)之間的距離為兩點(diǎn)之間的距離為_(kāi)千米千米. .【思路點(diǎn)撥【思路點(diǎn)撥】(1)(1)利用三角形的內(nèi)角和定理得利用三角形的內(nèi)角和定理得ABCABC，再利用正，再利用正弦定理可解弦定理可解. .(2)(2)利用已知角求得利用已知角求得ACBACB，再利用正弦定理求解，再利用正弦定理求解. .

25、【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)選選A.A.由由ACB=45ACB=45，CAB=105CAB=105, ,得得ABC=30ABC=30, ,由正弦定理得由正弦定理得 ，ABAB (m).(m).ABACsin ACBsin ABC250AC sin ACB250 21sin ABC2(2)(2)由由CAB=75CAB=75,CBA=60,CBA=60, ,得得ACB=180ACB=180-75-75-60-60=45=45. .由正弦定理得由正弦定理得 , ,即即AC= (AC= (千米千米).).答案答案: :ABACsin ACBsin CBA32AB sin CBA26sin ACB

26、226【互動(dòng)探究【互動(dòng)探究】若將本例題若將本例題(1)(1)中中A A，B B兩點(diǎn)放到河岸的同側(cè)，但兩點(diǎn)放到河岸的同側(cè)，但不能到達(dá)，在對(duì)岸的岸邊選取相距不能到達(dá)，在對(duì)岸的岸邊選取相距 kmkm的的C C，D D兩點(diǎn)，同時(shí)，兩點(diǎn)，同時(shí)，測(cè)得測(cè)得ACBACB7575，BCDBCD4545，ADCADC3030，ADBADB4545(A(A，B B，C C，D D在同一平面內(nèi)在同一平面內(nèi)) )，則兩點(diǎn)，則兩點(diǎn)A A，B B之間的之間的距離又如何求解距離又如何求解? ?3【解析【解析】如圖所示，如圖所示，在在ACDACD中，中，ADCADC3030，ACDACD120120，CADCAD3030，AC

27、ACCDCD在在BDCBDC中，中，CBDCBD180180454575756060. .3.由正弦定理可得由正弦定理可得BCBC . .在在ABCABC中，由余弦定理可得中，由余弦定理可得ABAB2 2ACAC2 2BCBC2 22AC2ACBCBCcosBCAcosBCA，ABAB2 2 5 5，ABAB (km).(km).即兩點(diǎn)即兩點(diǎn)A A，B B之間的距離為之間的距離為 km.km.3sin 7562sin 602226262( 3)()2 3cos 752255【拓展提升【拓展提升】解三角形應(yīng)用題的一般步驟解三角形應(yīng)用題的一般步驟(1)(1)讀懂題意，理解問(wèn)題的實(shí)際背景，明確已知和

28、所求，理清讀懂題意，理解問(wèn)題的實(shí)際背景，明確已知和所求，理清量與量之間的關(guān)系量與量之間的關(guān)系. .(2)(2)根據(jù)題意畫(huà)出示意圖，并將所求量放到三角形中去，將實(shí)根據(jù)題意畫(huà)出示意圖，并將所求量放到三角形中去，將實(shí)際問(wèn)題抽象成解三角形問(wèn)題際問(wèn)題抽象成解三角形問(wèn)題. .(3)(3)選擇正弦定理、余弦定理或其他相關(guān)知識(shí)求解選擇正弦定理、余弦定理或其他相關(guān)知識(shí)求解. .(4)(4)將三角形的解還原為實(shí)際問(wèn)題的解將三角形的解還原為實(shí)際問(wèn)題的解. .【變式備選【變式備選】如圖，如圖，A A，B B是海面上位于是海面上位于東西方向相距東西方向相距5(3+ )5(3+ )海里的兩個(gè)觀測(cè)海里的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，現(xiàn)位于點(diǎn)

29、，現(xiàn)位于A A點(diǎn)北偏東點(diǎn)北偏東4545，B B點(diǎn)北偏西點(diǎn)北偏西6060的的D D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號(hào)，位點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號(hào)，位于于B B點(diǎn)南偏西點(diǎn)南偏西6060且與且與B B點(diǎn)相距點(diǎn)相距20 20 海里的海里的C C點(diǎn)的救援船立即前點(diǎn)的救援船立即前往營(yíng)救，其航行速度為往營(yíng)救，其航行速度為3030海里海里/ /小時(shí)，該救援船到達(dá)小時(shí)，該救援船到達(dá)D D點(diǎn)需要多點(diǎn)需要多長(zhǎng)時(shí)間？長(zhǎng)時(shí)間？33【解析【解析】由題意知由題意知AB=5(3+ )AB=5(3+ )海里，海里，DBA=90DBA=90-60-60=30=30, ,DAB=90DAB=90-45-45=45=45. . ADB=180

30、 ADB=180-(45-(45+30+30)=105)=105. .在在ABDABD中，由正弦定理得中，由正弦定理得 , ,DB=DB=10 (=10 (海里海里).).3DBABsin DABsin ADBAB sin DAB5(33) sin 45sin ADBsin 1053又又DBC=DBA+ABC=30DBC=DBA+ABC=30+(90+(90-60-60)=60)=60，BC=20 BC=20 海里，海里，在在DBCDBC中，由余弦定理得中，由余弦定理得CDCD2 2=BD=BD2 2+BC+BC2 2-2BD-2BDBCBCcosDBCcosDBC=300+1 200-2=3

31、00+1 200-210 10 20 20 =900 =900，CD=30CD=30海里海里. .故所需時(shí)間故所需時(shí)間t= =1(t= =1(小時(shí)小時(shí)).).故救援船到達(dá)故救援船到達(dá)D D點(diǎn)需要點(diǎn)需要1 1小時(shí)小時(shí). .331233030考向考向3 3 測(cè)量高度、角度問(wèn)題測(cè)量高度、角度問(wèn)題【典例【典例3 3】(1)(1)如圖，當(dāng)甲船位于如圖，當(dāng)甲船位于A A處時(shí)獲處時(shí)獲悉在其正東方向相距悉在其正東方向相距2020海里的海里的B B處有一艘處有一艘漁船遇險(xiǎn)等待營(yíng)救，甲船立即前往營(yíng)救，漁船遇險(xiǎn)等待營(yíng)救，甲船立即前往營(yíng)救，同時(shí)把消息告知在甲船的南偏西同時(shí)把消息告知在甲船的南偏西3030，相距，相距1

32、010海里海里C C處的乙處的乙船，乙船立即朝北偏東船，乙船立即朝北偏東角的方向沿直線前往角的方向沿直線前往B B處救援，則處救援，則sin sin 的值等于的值等于( )( )(A) (B) (C) (D)(A) (B) (C) (D)21722325 714(2)(2)某氣象儀器研究所按以下方案測(cè)試某氣象儀器研究所按以下方案測(cè)試一種一種“彈射型彈射型”氣象觀測(cè)儀器的垂直彈氣象觀測(cè)儀器的垂直彈射高度：射高度：A A，B B，C C三地位于同一水平面三地位于同一水平面上，在上，在C C處進(jìn)行該儀器的垂直彈射，觀處進(jìn)行該儀器的垂直彈射，觀測(cè)點(diǎn)測(cè)點(diǎn)A A，B B兩地相距兩地相距100100米，米，

33、BAC=60BAC=60，在，在A A地聽(tīng)到彈射聲音的地聽(tīng)到彈射聲音的時(shí)間比時(shí)間比B B地晚地晚 秒秒. .在在A A地測(cè)得該儀器至最高點(diǎn)地測(cè)得該儀器至最高點(diǎn)H H時(shí)的仰角為時(shí)的仰角為3030，求該儀器的垂直彈射高度，求該儀器的垂直彈射高度CH.(CH.(聲音在空氣中的傳播速度聲音在空氣中的傳播速度為為340340米米/ /秒秒) )217【思路點(diǎn)撥【思路點(diǎn)撥】(1)(1)先根據(jù)題意作出圖象，在先根據(jù)題意作出圖象，在ABCABC中，利用余弦中，利用余弦定理求得定理求得BCBC，然后根據(jù)正弦定理求得，然后根據(jù)正弦定理求得sinACBsinACB，則，則cosACBcosACB可可得，進(jìn)而利用得，

34、進(jìn)而利用sin =sin(30sin =sin(30+ACB)+ACB)，根據(jù)正弦函數(shù)的兩角，根據(jù)正弦函數(shù)的兩角和公式解決和公式解決. .(2)(2)利用已知條件先求利用已知條件先求ACAC，再利用正切求，再利用正切求CHCH即可即可. .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)選選D.D.根據(jù)題目條件可作圖，如圖根據(jù)題目條件可作圖，如圖: :在在ABCABC中，中，AB=20,AC=10,CAB=120AB=20,AC=10,CAB=120, ,由余弦定理有由余弦定理有BCBC2 2=AB=AB2 2+AC+AC2 2-2AB-2ABACcosCABACcosCAB=20=202 2+10+102

35、 2-2-2202010cos 12010cos 120=700,=700,BC=10 ,BC=10 ,再由正弦定理得再由正弦定理得 , ,sinACBsinACB= ,= ,cosACBcosACB= .= .7ABBCsin ACBsin CABABsin CAB20 sin 12021BC710 72 77所以所以sin =sin(30sin =sin(30+ACB)+ACB)=sin 30=sin 30cosACB+cos 30cosACB+cos 30sinACBsinACB= .= .(2)(2)由題意，設(shè)由題意，設(shè)AC=x,AC=x,則則BC=x- BC=x- 340=x-40,

36、340=x-40,在在ABCABC中，由余弦定理得：中，由余弦定理得：BCBC2 2=AB=AB2 2+AC+AC2 2-2AB-2ABACACcosBAC,cosBAC,即即(x-40)(x-40)2 2=10 000+x=10 000+x2 2-100 x,-100 x,12 73215 7272714217解得解得x=420.x=420.在在ACHACH中，中，AC=420,CAH=30AC=420,CAH=30,ACH=90,ACH=90, ,所以所以CH=ACCH=ACtanCAHtanCAH=140 (=140 (米米).).故該儀器的垂直彈射高度故該儀器的垂直彈射高度CHCH為為

37、140 140 米米. .33【拓展提升【拓展提升】1.1.處理高度問(wèn)題的注意事項(xiàng)處理高度問(wèn)題的注意事項(xiàng)(1)(1)在處理有關(guān)高度問(wèn)題時(shí)，要理解仰角、俯角在處理有關(guān)高度問(wèn)題時(shí)，要理解仰角、俯角( (視線在水平線視線在水平線上方、下方的角分別稱為仰角、俯角上方、下方的角分別稱為仰角、俯角) )是一個(gè)關(guān)鍵是一個(gè)關(guān)鍵(2)(2)在實(shí)際問(wèn)題中，可能會(huì)遇到空間與平面在實(shí)際問(wèn)題中，可能會(huì)遇到空間與平面( (地面地面) )同時(shí)研究的同時(shí)研究的問(wèn)題，這時(shí)最好畫(huà)兩個(gè)圖形，一個(gè)空間圖形，一個(gè)平面圖形，問(wèn)題，這時(shí)最好畫(huà)兩個(gè)圖形，一個(gè)空間圖形，一個(gè)平面圖形，這樣處理起來(lái)既清楚又不容易搞錯(cuò)這樣處理起來(lái)既清楚又不容易搞錯(cuò)

38、. .【提醒【提醒】高度問(wèn)題一般是把它轉(zhuǎn)化成三角形的問(wèn)題，要注意三高度問(wèn)題一般是把它轉(zhuǎn)化成三角形的問(wèn)題，要注意三角形中的邊角關(guān)系的應(yīng)用，若是空間的問(wèn)題要注意空間圖形和角形中的邊角關(guān)系的應(yīng)用，若是空間的問(wèn)題要注意空間圖形和平面圖形的結(jié)合平面圖形的結(jié)合. .2.2.測(cè)量角度問(wèn)題的一般步驟測(cè)量角度問(wèn)題的一般步驟(1)(1)在弄清題意的基礎(chǔ)上，畫(huà)出表示實(shí)際問(wèn)題的圖形，并在圖在弄清題意的基礎(chǔ)上，畫(huà)出表示實(shí)際問(wèn)題的圖形，并在圖形中標(biāo)出有關(guān)的角和距離形中標(biāo)出有關(guān)的角和距離. .(2)(2)用正弦定理或余弦定理解三角形用正弦定理或余弦定理解三角形. .(3)(3)將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實(shí)際問(wèn)題的解將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化

39、為實(shí)際問(wèn)題的解同時(shí)注意把所求量放在有關(guān)三角形中，有時(shí)直接解此三角形解同時(shí)注意把所求量放在有關(guān)三角形中，有時(shí)直接解此三角形解不出來(lái)，需要先在其他三角形中求解相關(guān)量不出來(lái)，需要先在其他三角形中求解相關(guān)量. .【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】要測(cè)量底部不能到達(dá)的電視塔要測(cè)量底部不能到達(dá)的電視塔ABAB的高度，在的高度，在C C點(diǎn)點(diǎn)測(cè)得塔頂測(cè)得塔頂A A的仰角是的仰角是4545，在，在D D點(diǎn)測(cè)得塔頂點(diǎn)測(cè)得塔頂A A的仰角是的仰角是3030，并，并測(cè)得水平面上的測(cè)得水平面上的BCDBCD120120，CDCD40 m40 m，求電視塔的高度，求電視塔的高度. .【解析【解析】如圖，設(shè)電視塔如圖，設(shè)電視塔ABAB

40、的高為的高為x mx m，則在則在RtRtABCABC中，由中，由ACBACB4545得得BCBCx.x.在在RtRtABDABD中，由中，由ADBADB3030，得得BDBD x.x.在在BDCBDC中，由余弦定理，得中，由余弦定理，得BDBD2 2BCBC2 2CDCD2 22BC2BCCDCDcos 120cos 120，即即( x)( x)2 2x x2 240402 22 2x x4040cos 120cos 120，解得解得x x4040，電視塔高為電視塔高為4040米米. .33【滿分指導(dǎo)【滿分指導(dǎo)】三角形中面積公式的應(yīng)用三角形中面積公式的應(yīng)用【典例【典例】(12(12分分)(2

41、012)(2012江西高考江西高考) )在在ABCABC中，角中，角A A，B B，C C的對(duì)的對(duì)邊分別為邊分別為a,b,ca,b,c，已知，已知A= A= ，bsin( +C)-csinbsin( +C)-csin( +B)=a.( +B)=a.(1)(1)求證：求證：B-C= .B-C= .(2)(2)若若a= a= ，求，求ABCABC的面積的面積. .44422【思路點(diǎn)撥【思路點(diǎn)撥】 【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)由由bsinbsin ( +C)-csin ( +B)=a ( +C)-csin ( +B)=a，應(yīng)用正弦定理，應(yīng)用正弦定理，得得sin Bsin ( +C)-sin C

42、sin ( +B)=sin A,sin Bsin ( +C)-sin Csin ( +B)=sin A, 3 3分分sin B( sin C+ cos C)-sin C( sin B+ cos B)=sin B( sin C+ cos C)-sin C( sin B+ cos B)=整理得整理得sin Bcos C-cos Bsin C=1,sin Bcos C-cos Bsin C=1,即即sin(B-C)=1, sin(B-C)=1, 5 5分分4444222222222,2由于由于0B ,00B ,0C C , ,從而從而B(niǎo)-C= .B-C= . 6 6分分(2)B+C=-A= (2)B

43、+C=-A= ，由，由(1)(1)知知B-C= ,B-C= ,因此因此B= ,C= , B= ,C= , 8 8分分 2sin ,2sin ,1010分分所以所以ABCABC的面積的面積S=S= .= . 1212分分34342342588asin B5asin Ca2,Ab2sin ,c4sin A8sin A由，得815bcsin A2sin sin 28812cos sin 882【失分警示【失分警示】( (下文下文見(jiàn)規(guī)范解答過(guò)程見(jiàn)規(guī)范解答過(guò)程) )1.(20131.(2013汕頭模擬汕頭模擬) )在在ABCABC中，中，A=60A=60,AC=8,AC=8,面積面積S=4 S=4 ，則

44、則BC=( )BC=( )(A) (B)2 (C)2 (D)3(A) (B)2 (C)2 (D)33131313【解析【解析】選選C.C.因?yàn)橐驗(yàn)锳=60A=60,AC=b=8,AC=b=8,面積面積S=4 = bcsinS=4 = bcsin A, A,bcbc=16,b=8,c=2.=16,b=8,c=2.aa2 2=b=b2 2+c+c2 2-2bccos A=52,-2bccos A=52,a=2 .a=2 .312132.(20132.(2013深圳模擬深圳模擬) )小明的爸爸開(kāi)汽車(chē)以小明的爸爸開(kāi)汽車(chē)以80 km/h80 km/h的速度沿的速度沿著正北方向的公路行駛，小明坐在車(chē)?yán)锵蛲?/p>

45、觀察，在點(diǎn)著正北方向的公路行駛，小明坐在車(chē)?yán)锵蛲庥^察，在點(diǎn)A A處處望見(jiàn)電視塔望見(jiàn)電視塔P P在北偏東在北偏東3030方向上，方向上，1515分鐘后到點(diǎn)分鐘后到點(diǎn)B B處望見(jiàn)電處望見(jiàn)電視塔在北偏東視塔在北偏東7575方向上，則汽車(chē)在點(diǎn)方向上，則汽車(chē)在點(diǎn)B B時(shí)與電視塔時(shí)與電視塔P P的距離的距離是是_ km._ km.【解析【解析】如圖所示，如圖所示，BAP=30BAP=30,CBP=75,CBP=75, ,BPA=45BPA=45, ,由已知得由已知得AB=80AB=80 =20(km), =20(km),由正弦定理得由正弦定理得 ，故故BP= BP= =10 (km).=10 (km).答

46、案答案: :101014ABBPsin BPAsin 30120AB sin 302sin BPA22223.(20133.(2013珠海模擬珠海模擬) )如圖，一艘船上午如圖，一艘船上午9 9：3030在在A A處測(cè)得燈塔處測(cè)得燈塔S S在它的北偏東在它的北偏東3030方向上，方向上，之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午10:0010:00到達(dá)到達(dá)B B處，且與燈塔處，且與燈塔S S相距相距8 n mile.8 n mile.此船此船的航速是的航速是32 n mile/h32 n mile/h，則燈塔，則燈塔S S對(duì)于點(diǎn)對(duì)于點(diǎn)B B的的方向角是方向角是_._.

47、2【解析【解析】由已知可得由已知可得, ,AB=32 n mile/hAB=32 n mile/h h=16 n mile h=16 n mile，BS=8 n mile,BAS=30BS=8 n mile,BAS=30, ,由正弦定理得由正弦定理得 , ,sinASB= .sinASB= .又又0 0ASBASB180180，得，得ASB=45ASB=45或或135135, ,若若ASB=45ASB=45，則，則ABS=105ABS=105，12ABBSsin ASBsin 30116AB sin 3022BS28 22此時(shí)，此時(shí)，S S在點(diǎn)在點(diǎn)B B的北偏東的北偏東7575方向上；方向上；

48、若若ASB=135ASB=135，則，則ABS=15ABS=15, ,此時(shí)，此時(shí)，S S在點(diǎn)在點(diǎn)B B的南偏東的南偏東1515方向上方向上. .答案答案: :北偏東北偏東7575或南偏東或南偏東15151.1.在在ABCABC中，中，AB= AB= ，點(diǎn)，點(diǎn)D D是是BCBC的中點(diǎn)，且的中點(diǎn)，且AD=1AD=1，BAD=30BAD=30，則則ABCABC的面積為的面積為( )( )(A) (B) (C) (D)(A) (B) (C) (D)【解析【解析】選選C.C.如圖所示，在如圖所示，在ABDABD中，中，BDBD2 2=AB=AB2 2+AD+AD2 2- -2AB2ABADcos 30A

49、Dcos 30=3+1-2=3+1-2 1 1 =1. =1.故故BD=1.BD=1.31222323332方法一：由于方法一：由于D D是是BCBC的中點(diǎn)，故的中點(diǎn)，故S SABCABC=2S=2SBADBAD=2=2 ABABADADsinBADsinBAD= .= .方法二：由方法二：由BD=1BD=1，得，得BC=2,BC=2,又又 ，得，得sin B= .sin B= .SSABCABC= = BABABCBCsin B= .sin B= .方法三方法三: :由于由于BD=1BD=1，AD=1,AD=1,故故B=BAD=30B=BAD=30, ,而而B(niǎo)C=2BD=2,BC=2BD=2

50、,故故S SABCABC= = BABABCsin B= .BCsin B= .1211323 1222 BDADsin 30sin BAD sin 301BD21211332222 1211332222 2.2.攀巖運(yùn)動(dòng)是一項(xiàng)刺激而危險(xiǎn)的運(yùn)動(dòng)攀巖運(yùn)動(dòng)是一項(xiàng)刺激而危險(xiǎn)的運(yùn)動(dòng), ,在某在某次攀巖運(yùn)動(dòng)中，為確保運(yùn)動(dòng)員的安全次攀巖運(yùn)動(dòng)中，為確保運(yùn)動(dòng)員的安全, ,地面地面救援者應(yīng)時(shí)刻注意運(yùn)動(dòng)員離地面的距離救援者應(yīng)時(shí)刻注意運(yùn)動(dòng)員離地面的距離, ,以以備發(fā)生危險(xiǎn)時(shí)進(jìn)行及時(shí)救援備發(fā)生危險(xiǎn)時(shí)進(jìn)行及時(shí)救援. .為了方便測(cè)量為了方便測(cè)量和計(jì)算和計(jì)算, ,如圖，如圖，A,CA,C分別為兩名攀巖者所在分別為兩名攀巖者

51、所在位置位置,B,B為山的拐角處為山的拐角處, ,且斜坡且斜坡ABAB的坡角為的坡角為,D,D為山腳為山腳, ,某人在某人在E E處測(cè)得處測(cè)得A,B,CA,B,C的仰角分別為的仰角分別為,ED,ED=a,=a,(1)(1)求求B B，D D間的距離及間的距離及C C，D D間的距離間的距離. .(2)(2)求證求證: :在在A A處，攀巖者距地面的距離處，攀巖者距地面的距離h= .h= .asin sin cos sin()【解析【解析】(1)(1)根據(jù)題意得根據(jù)題意得CED=,BED=,AEDCED=,BED=,AED=,=,在直角在直角三角形三角形CEDCED中中,tan = ,CD=atan,tan = ,CD=atan , ,在直角三角形在直角三角形BEDBED中中,tan = ,BD=atan,tan = ,BD=atan . .(2)(2)易得易得AE= ,AE= ,在在ABEABE中中,AEB=-,ABE=+,AEB=-,ABE=+, ,EAB=-(+EAB=-(+),),由正弦定理得由正弦定理得 , ,代入整理得代入整理得:h= .:h= .CDDEBDDEha,BEsin cos BEAEsin EABsin ABEasin sin cos sin ()