高考數(shù)學(xué) 第三章 第八節(jié) 應(yīng)用舉例課件 理 新人教A版

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1、第八節(jié) 應(yīng) 用 舉 例1.1.三角形中常用的面積公式三角形中常用的面積公式(1)S= ah(h(1)S= ah(h表示邊表示邊a a上的高上的高).).(2)S= bcsin(2)S= bcsin A= = . A= = .(3)S= r(a+b+c)(r(3)S= r(a+b+c)(r為三角形的內(nèi)切圓半徑為三角形的內(nèi)切圓半徑).).12121absin C21acsin B2122.2.實際問題中的有關(guān)概念實際問題中的有關(guān)概念(1)(1)仰角和俯角仰角和俯角: :在視線和水平線所成的角中，視線在水平線在視線和水平線所成的角中，視線在水平線_的角叫仰的角叫仰角，在水平線角，在水平線_的角叫俯角

2、的角叫俯角( (如圖如圖).).上方上方下方下方(2)(2)方位角方位角: :從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標方向線的水平角，如從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標方向線的水平角，如B B點的方位角點的方位角為為(如圖如圖).).(3)(3)方向角方向角: :相對于某一正方向的水平角相對于某一正方向的水平角( (如圖如圖) )(i)(i)北偏東北偏東即由指北方向順時針旋轉(zhuǎn)即由指北方向順時針旋轉(zhuǎn)到達目標方向；到達目標方向；(ii)(ii)北偏西北偏西即由指北方向逆時針旋轉(zhuǎn)即由指北方向逆時針旋轉(zhuǎn)到達目標方向；到達目標方向；(iii)(iii)南偏西等其他方向角類似南偏西等其他方向角類似. .(4)(4)坡角與坡度坡角

3、與坡度坡角坡角: :坡面與水平面所成的二面角的度坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)數(shù)( (如圖如圖，角，角為坡角為坡角) )；坡度坡度: :坡面的鉛直高度與水平長度之比坡面的鉛直高度與水平長度之比( (如圖如圖，i i為坡度為坡度).).坡度又稱為坡比坡度又稱為坡比. .判斷下面結(jié)論是否正確判斷下面結(jié)論是否正確( (請在括號中打請在括號中打“”或或“”).”).(1)(1)面積公式中面積公式中S= bcsin A= absin C= acsinS= bcsin A= absin C= acsin B B，其實質(zhì)就，其實質(zhì)就是面積公式是面積公式S= ah= bh= ch(hS= ah= bh= ch

4、(h為相應(yīng)邊上的高為相應(yīng)邊上的高) )的變形的變形.( ).( )(2)(2)俯角是鉛垂線與視線所成的角，其范圍為俯角是鉛垂線與視線所成的角，其范圍為0, 0, .( ).( )(3)(3)方位角與方向角其實質(zhì)是一樣的，均是確定觀察點與目標方位角與方向角其實質(zhì)是一樣的，均是確定觀察點與目標點之間的位置關(guān)系點之間的位置關(guān)系.( ).( )(4)(4)方位角大小的范圍是方位角大小的范圍是0,2)0,2)，方向角大小的范圍一般是，方向角大小的范圍一般是0, ).( )0, ).( )12121212121222【提示【提示】(1)(1)正確正確. .如如S= absin C= ah(h=bsinS=

5、 absin C= ah(h=bsin C) C)，h h即為即為邊邊a a上的高上的高. .(2)(2)錯誤錯誤. .俯角是視線與水平線所構(gòu)成的角俯角是視線與水平線所構(gòu)成的角. .(3)(3)正確正確. .方位角與方向角均是確定觀察點與目標點之間的位置方位角與方向角均是確定觀察點與目標點之間的位置關(guān)系的關(guān)系的. .(4)(4)正確正確. .方位角是由正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標方向線的水平方位角是由正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標方向線的水平角，故大小的范圍為角，故大小的范圍為0,2)0,2)，而方向角大小的范圍由定義可，而方向角大小的范圍由定義可知為知為0, ).0, ).答案答案: :(1) (2)(1

6、) (2) (3) (4) (3) (4)121221.1.在在ABCABC中中,A= ,AB=1,AC=2,A= ,AB=1,AC=2,則則S SABCABC的值為的值為( )( )(A) (B)1 (C) (D)(A) (B)1 (C) (D)【解析【解析】選選C.C.由已知得由已知得A= ,AB=c=1,AC=b=2,A= ,AB=c=1,AC=b=2,SSABCABC= bcsin= bcsin A= A= 2 21 1 = . = .3123233121232322.2.在在ABCABC中中,AC= ,AB= ,S,AC= ,AB= ,SABCABC= = ，則，則coscos A

7、A等于等于( )( )(A) (B) (C)(A) (B) (C) (D) (D)【解析【解析】選選D.D.由已知得由已知得AC=b= ,AB=c= ,AC=b= ,AB=c= ,S SABCABC= = 得，得， bcsinbcsin A= , A= ,即即 , ,故故sin A= .sin A= .cos A= .cos A= .5222552 55552 55522212221252sin A225522 51 sin A5 3.3.如圖所示，已知兩座燈塔如圖所示，已知兩座燈塔A A和和B B與海洋觀察站與海洋觀察站C C的距離相等，的距離相等，燈塔燈塔A A在觀察站在觀察站C C的北偏

8、東的北偏東4040，燈塔，燈塔B B在觀察站在觀察站C C的南偏東的南偏東6060，則燈塔則燈塔A A在燈塔在燈塔B B的方向為的方向為( )( )(A)(A)北偏西北偏西5 5 (B) (B)北偏西北偏西1010(C)(C)北偏西北偏西1515 (D) (D)北偏西北偏西2020【解析【解析】選選B.B.由已知由已知ACBACB180180404060608080，又又ACACBCBC，AAABCABC5050，606050501010. .燈塔燈塔A A位于燈塔位于燈塔B B的北偏西的北偏西1010. .4.4.已知已知A A，B B兩地的距離為兩地的距離為10 km,B10 km,B，C

9、 C兩地的距離為兩地的距離為20 km,20 km,現(xiàn)測現(xiàn)測得得ABC=120ABC=120，則，則A A，C C兩地的距離為兩地的距離為_km._km.【解析【解析】如圖所示，如圖所示，由余弦定理可得：由余弦定理可得：ACAC2 2=100+400-2=100+400-210102020cos 120cos 120=700=700，AC=10 (km).AC=10 (km).答案答案: :1010775.5.某運動會開幕式上舉行升旗儀式，在坡度為某運動會開幕式上舉行升旗儀式，在坡度為1515的看臺上，的看臺上，同一列上的第一排和最后一排測得旗桿頂部的仰角分別為同一列上的第一排和最后一排測得旗

10、桿頂部的仰角分別為6060和和3030，第一排和最后一排的距離為，第一排和最后一排的距離為 米米( (如圖所示如圖所示) )，則，則旗桿的高度為旗桿的高度為_米米. .10 6【解析【解析】如圖所示，依題意可知如圖所示，依題意可知AEC=45AEC=45, ,ACE=180ACE=180-60-60-15-15=105=105, ,EAC=180EAC=180-45-45-105-105=30=30. .由正弦定理可知由正弦定理可知 , ,AC= AC= sinCEAsinCEA=20 (=20 (米米) )，在在RtRtABCABC中，中，AB=ACAB=ACsinACBsinACB= =3

11、0(= =30(米米).).即旗桿的高度為即旗桿的高度為3030米米. .答案答案: :3030CEACsin EACsin CEACEsin EAC3320 32考向考向1 1 與三角形面積有關(guān)的問題與三角形面積有關(guān)的問題【典例【典例1 1】(1)(2013(1)(2013中山模擬中山模擬) )已知已知O O為為ABCABC內(nèi)一點，滿足內(nèi)一點，滿足 = =0， =2=2，且，且BAC= BAC= ，則，則OBCOBC的面積為的面積為 ( )( )(A) (B) (C) (D)(A) (B) (C) (D)OAOBOC AB AC 312333223(2)(2013(2)(2013揭陽模擬揭陽

12、模擬) )在在ABCABC中，若中，若A=30A=30，b=2b=2，且，且 =0=0，則，則ABCABC的面積為的面積為( )( )(A)2 (B) (C)1 (D)2(A)2 (B) (C)1 (D)2(3)(2013(3)(2013北京模擬北京模擬) )已知已知ABCABC的三個內(nèi)角的三個內(nèi)角A A，B B，C C所對的邊所對的邊分別為分別為a,b,ca,b,c，角，角A A是銳角，且是銳角，且 b=2asin B.b=2asin B.求角求角A A的度數(shù)的度數(shù); ;若若a=7a=7，ABCABC的面積為的面積為10 ,10 ,求求ABCABC的周長的周長. .22BA BCAB 333

13、3【思路點撥【思路點撥】(1)(1)先確定先確定O O點的位置，可知點的位置，可知O O為為ABCABC的重心，再的重心，再利用向量關(guān)系求得利用向量關(guān)系求得ABCABC面積即可求得面積即可求得S SOBCOBC. .(2)(2)利用已知條件求邊利用已知條件求邊a,ba,b, ,角角C C，即可求得面積，即可求得面積. .(3)(3)利用正弦定理得角利用正弦定理得角A A，再利用余弦定理得，再利用余弦定理得b+cb+c，從而可求周，從而可求周長長. .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)選選B.B.由由 = =0，可知，可知O O為為ABCABC的重的重心，故心，故S SOBCOBC= S= SA

14、BCABC, ,由由 =2=2得得c cbcosbcos BAC=2, BAC=2,又又coscos BAC= , BAC= ,故故bcbc=4,=4,SSABCABC= bcsinBAC= bcsinBAC= ,= ,故故S SOBCOBC= S= SABCABC= .= .OAOBOC 13AB AC 1212134322 1333(2)(2)選選B.B.由由2 =02 =0得得2cacos B=c2cacos B=c2 2，即，即2acos B=c.2acos B=c.方法一方法一: :由正弦定理得由正弦定理得2sin Acos B=sin C=sin(A+B2sin Acos B=si

15、n C=sin(A+B),),得得2sin Acos B=sin Acos B+cos Asin B2sin Acos B=sin Acos B+cos Asin B，故故sin Acos B-cos Asin B=0,sin Acos B-cos Asin B=0,即即sin(A-B)=0,sin(A-B)=0,又又A,BA,B是是ABCABC的內(nèi)角的內(nèi)角, ,故故A-B=0,A-B=0,2BA BCAB A=B,a=b=2,A=B,a=b=2,A=30A=30,B=30,B=30,C=120,C=120. .由由S SABCABC= absin C= absin C得得S SABCABC=

16、 .= .12132 2322 方法二方法二：由余弦定理得，：由余弦定理得，2a2a =c =c，即，即a a2 2+c+c2 2-b-b2 2=c=c2 2, ,aa2 2=b=b2 2, ,即即a=b=2,A=B,a=b=2,A=B,又又A=30A=30,B=30,B=30,C=120,C=120. .SSABCABC= absin C= .= absin C= .222acb2ac12132 2322 (3)(3)由已知得由已知得 ，由正弦定理，由正弦定理 得得sin A= .sin A= .又又A A為銳角為銳角, ,故故A= .A= .由余弦定理得由余弦定理得cos A= cos A

17、= ，即即b b2 2+c+c2 2-49=bc,-49=bc,由由 bcsin A=10 bcsin A=10 ，得，得bc=40,bc=40,故故b b2 2+c+c2 2=89=89，得，得(b+c)(b+c)2 2=169,=169,又又b b0 0，c c0,b+c=13.0,b+c=13.故故ABCABC的周長為的周長為20.20.absin B32absin Asin B323222bca2bc123【互動探究【互動探究】若將本例題若將本例題(1)(1)中中“ “ =0”=0”修改為修改為“O O為為ABCABC中線中線ADAD的中點的中點”，其他條件不變，則，其他條件不變，則O

18、BCOBC的面積又該的面積又該如何求解如何求解? ?【解析【解析】由由 =2=2得得cbcos A=2,cbcos A=2,又又BAC= ,cos BAC= ,bc=4,BAC= ,cos BAC= ,bc=4,SSABCABC bcsinBAC= .bcsinBAC= .又又O O為為ABCABC中線中線ADAD的中點的中點, ,故故S SOBCOBC= S= SABCABC= .= .OAOBOC AB AC 3121231232【拓展提升【拓展提升】三角形的面積公式三角形的面積公式(1)(1)已知一邊和這邊上的高已知一邊和這邊上的高: :S= ahS= aha a= bh= bhb b=

19、 ch= chc c. .(2)(2)已知兩邊及其夾角：已知兩邊及其夾角：S= absin C= acsin B= bcsinS= absin C= acsin B= bcsin A. A.(3)(3)已知三邊：已知三邊：S= ,S= ,其中其中p= .p= .121212121212p papb (pc)abc2(4)(4)已知兩角及兩角的共同邊：已知兩角及兩角的共同邊：S= .S= .(5)(5)已知三邊和外接圓半徑已知三邊和外接圓半徑R R，則，則S= .S= .222b sin Csin Ac sin Asin Ba sin Bsin C2sin(CA)2sin(AB)2sin(BC)

20、abc4R【變式備選【變式備選】在在ABCABC中，內(nèi)角中，內(nèi)角A A，B B，C C的對邊分別為的對邊分別為a a，b b，c.c.已知已知 . .(1)(1)求求 的值的值. .(2)(2)若若coscos B= B= ，b=2,b=2,求求ABCABC的面積的面積S.S.cos A2cos C2cacos Bbsin Csin A14【解析【解析】(1)(1)方法一方法一: :在在ABCABC中，由中，由及正弦定理可得及正弦定理可得 ，即即cos Asin B-2cos Csin B=2sin Ccos B-sin Acos Bcos Asin B-2cos Csin B=2sin Cc

21、os B-sin Acos B，則則cos Asin B+sin Acos B=2sin Ccos B+2cos Csin Bcos Asin B+sin Acos B=2sin Ccos B+2cos Csin B，sin(A+B)=2sin(C+B)sin(A+B)=2sin(C+B)，而，而A+B+C=A+B+C=，則，則sin C=2sin Asin C=2sin A，即即 =2.=2.cos A2cos C2cacos Bbcos A2cos C2sin Csin Acos Bsin Bsin Csin A方法二方法二：在：在ABCABC中，由中，由 可得，可得，bcos A-2bc

22、os C=2ccos B-acos Bbcos A-2bcos C=2ccos B-acos B，由余弦定理可得由余弦定理可得 ，整理可得整理可得c=2a.c=2a.由正弦定理可得由正弦定理可得 =2.=2.cos A2cos C2cacos Bb222222222bcaabcacb2caa222acb2csin Ccsin Aa(2)(2)由由c=2ac=2a及及cos B= ,b=2cos B= ,b=2可得可得4=c4=c2 2+a+a2 2-2accos B=4a-2accos B=4a2 2+a+a2 2-a-a2 2=4a=4a2 2, ,則則a=1a=1，c=2c=2，S= ac

23、sin B= S= acsin B= 1 12 2 = = ，即即S= .S= .141221 cos B15415412考向考向2 2 測量距離問題測量距離問題【典例【典例2 2】(1)(2013(1)(2013聊城模擬聊城模擬) )如圖如圖, ,設(shè)設(shè)A A，B B兩點在河的兩岸，一測量者在兩點在河的兩岸，一測量者在A A的同側(cè)的河岸邊選定一點的同側(cè)的河岸邊選定一點C C，測出，測出ACAC的的距離是距離是50 m50 m，ACB=45ACB=45，CAB=105CAB=105后，就可以計算出后，就可以計算出A A，B B兩點的距離為兩點的距離為( )( )(A)50 m (B)50 m (

24、C)25 m (D) m(A)50 m (B)50 m (C)25 m (D) m23225 22(2)(2011(2)(2011上海高考上海高考) )在相距在相距2 2千米的千米的A A，B B兩點處測量目標點兩點處測量目標點C C，若若CAB=75CAB=75，CBA=60CBA=60, ,則則A A，C C兩點之間的距離為兩點之間的距離為_千米千米. .【思路點撥【思路點撥】(1)(1)利用三角形的內(nèi)角和定理得利用三角形的內(nèi)角和定理得ABCABC，再利用正，再利用正弦定理可解弦定理可解. .(2)(2)利用已知角求得利用已知角求得ACBACB，再利用正弦定理求解，再利用正弦定理求解. .

25、【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)選選A.A.由由ACB=45ACB=45，CAB=105CAB=105, ,得得ABC=30ABC=30, ,由正弦定理得由正弦定理得 ，ABAB (m).(m).ABACsin ACBsin ABC250AC sin ACB250 21sin ABC2(2)(2)由由CAB=75CAB=75,CBA=60,CBA=60, ,得得ACB=180ACB=180-75-75-60-60=45=45. .由正弦定理得由正弦定理得 , ,即即AC= (AC= (千米千米).).答案答案: :ABACsin ACBsin CBA32AB sin CBA26sin ACB

26、226【互動探究【互動探究】若將本例題若將本例題(1)(1)中中A A，B B兩點放到河岸的同側(cè)，但兩點放到河岸的同側(cè)，但不能到達，在對岸的岸邊選取相距不能到達，在對岸的岸邊選取相距 kmkm的的C C，D D兩點，同時，兩點，同時，測得測得ACBACB7575，BCDBCD4545，ADCADC3030，ADBADB4545(A(A，B B，C C，D D在同一平面內(nèi)在同一平面內(nèi)) )，則兩點，則兩點A A，B B之間的之間的距離又如何求解距離又如何求解? ?3【解析【解析】如圖所示，如圖所示，在在ACDACD中，中，ADCADC3030，ACDACD120120，CADCAD3030，AC

27、ACCDCD在在BDCBDC中，中，CBDCBD180180454575756060. .3.由正弦定理可得由正弦定理可得BCBC . .在在ABCABC中，由余弦定理可得中，由余弦定理可得ABAB2 2ACAC2 2BCBC2 22AC2ACBCBCcosBCAcosBCA，ABAB2 2 5 5，ABAB (km).(km).即兩點即兩點A A，B B之間的距離為之間的距離為 km.km.3sin 7562sin 602226262( 3)()2 3cos 752255【拓展提升【拓展提升】解三角形應(yīng)用題的一般步驟解三角形應(yīng)用題的一般步驟(1)(1)讀懂題意，理解問題的實際背景，明確已知和

28、所求，理清讀懂題意，理解問題的實際背景，明確已知和所求，理清量與量之間的關(guān)系量與量之間的關(guān)系. .(2)(2)根據(jù)題意畫出示意圖，并將所求量放到三角形中去，將實根據(jù)題意畫出示意圖，并將所求量放到三角形中去，將實際問題抽象成解三角形問題際問題抽象成解三角形問題. .(3)(3)選擇正弦定理、余弦定理或其他相關(guān)知識求解選擇正弦定理、余弦定理或其他相關(guān)知識求解. .(4)(4)將三角形的解還原為實際問題的解將三角形的解還原為實際問題的解. .【變式備選【變式備選】如圖，如圖，A A，B B是海面上位于是海面上位于東西方向相距東西方向相距5(3+ )5(3+ )海里的兩個觀測海里的兩個觀測點，現(xiàn)位于點

29、，現(xiàn)位于A A點北偏東點北偏東4545，B B點北偏西點北偏西6060的的D D點有一艘輪船發(fā)出求救信號，位點有一艘輪船發(fā)出求救信號，位于于B B點南偏西點南偏西6060且與且與B B點相距點相距20 20 海里的海里的C C點的救援船立即前點的救援船立即前往營救，其航行速度為往營救，其航行速度為3030海里海里/ /小時，該救援船到達小時，該救援船到達D D點需要多點需要多長時間？長時間？33【解析【解析】由題意知由題意知AB=5(3+ )AB=5(3+ )海里，海里，DBA=90DBA=90-60-60=30=30, ,DAB=90DAB=90-45-45=45=45. . ADB=180

30、 ADB=180-(45-(45+30+30)=105)=105. .在在ABDABD中，由正弦定理得中，由正弦定理得 , ,DB=DB=10 (=10 (海里海里).).3DBABsin DABsin ADBAB sin DAB5(33) sin 45sin ADBsin 1053又又DBC=DBA+ABC=30DBC=DBA+ABC=30+(90+(90-60-60)=60)=60，BC=20 BC=20 海里，海里，在在DBCDBC中，由余弦定理得中，由余弦定理得CDCD2 2=BD=BD2 2+BC+BC2 2-2BD-2BDBCBCcosDBCcosDBC=300+1 200-2=3

31、00+1 200-210 10 20 20 =900 =900，CD=30CD=30海里海里. .故所需時間故所需時間t= =1(t= =1(小時小時).).故救援船到達故救援船到達D D點需要點需要1 1小時小時. .331233030考向考向3 3 測量高度、角度問題測量高度、角度問題【典例【典例3 3】(1)(1)如圖，當甲船位于如圖，當甲船位于A A處時獲處時獲悉在其正東方向相距悉在其正東方向相距2020海里的海里的B B處有一艘處有一艘漁船遇險等待營救，甲船立即前往營救，漁船遇險等待營救，甲船立即前往營救，同時把消息告知在甲船的南偏西同時把消息告知在甲船的南偏西3030，相距，相距1

32、010海里海里C C處的乙處的乙船，乙船立即朝北偏東船，乙船立即朝北偏東角的方向沿直線前往角的方向沿直線前往B B處救援，則處救援，則sin sin 的值等于的值等于( )( )(A) (B) (C) (D)(A) (B) (C) (D)21722325 714(2)(2)某氣象儀器研究所按以下方案測試某氣象儀器研究所按以下方案測試一種一種“彈射型彈射型”氣象觀測儀器的垂直彈氣象觀測儀器的垂直彈射高度：射高度：A A，B B，C C三地位于同一水平面三地位于同一水平面上，在上，在C C處進行該儀器的垂直彈射，觀處進行該儀器的垂直彈射，觀測點測點A A，B B兩地相距兩地相距100100米，米，

33、BAC=60BAC=60，在，在A A地聽到彈射聲音的地聽到彈射聲音的時間比時間比B B地晚地晚 秒秒. .在在A A地測得該儀器至最高點地測得該儀器至最高點H H時的仰角為時的仰角為3030，求該儀器的垂直彈射高度，求該儀器的垂直彈射高度CH.(CH.(聲音在空氣中的傳播速度聲音在空氣中的傳播速度為為340340米米/ /秒秒) )217【思路點撥【思路點撥】(1)(1)先根據(jù)題意作出圖象，在先根據(jù)題意作出圖象，在ABCABC中，利用余弦中，利用余弦定理求得定理求得BCBC，然后根據(jù)正弦定理求得，然后根據(jù)正弦定理求得sinACBsinACB，則，則cosACBcosACB可可得，進而利用得，

34、進而利用sin =sin(30sin =sin(30+ACB)+ACB)，根據(jù)正弦函數(shù)的兩角，根據(jù)正弦函數(shù)的兩角和公式解決和公式解決. .(2)(2)利用已知條件先求利用已知條件先求ACAC，再利用正切求，再利用正切求CHCH即可即可. .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)選選D.D.根據(jù)題目條件可作圖，如圖根據(jù)題目條件可作圖，如圖: :在在ABCABC中，中，AB=20,AC=10,CAB=120AB=20,AC=10,CAB=120, ,由余弦定理有由余弦定理有BCBC2 2=AB=AB2 2+AC+AC2 2-2AB-2ABACcosCABACcosCAB=20=202 2+10+102

35、 2-2-2202010cos 12010cos 120=700,=700,BC=10 ,BC=10 ,再由正弦定理得再由正弦定理得 , ,sinACBsinACB= ,= ,cosACBcosACB= .= .7ABBCsin ACBsin CABABsin CAB20 sin 12021BC710 72 77所以所以sin =sin(30sin =sin(30+ACB)+ACB)=sin 30=sin 30cosACB+cos 30cosACB+cos 30sinACBsinACB= .= .(2)(2)由題意，設(shè)由題意，設(shè)AC=x,AC=x,則則BC=x- BC=x- 340=x-40,

36、340=x-40,在在ABCABC中，由余弦定理得：中，由余弦定理得：BCBC2 2=AB=AB2 2+AC+AC2 2-2AB-2ABACACcosBAC,cosBAC,即即(x-40)(x-40)2 2=10 000+x=10 000+x2 2-100 x,-100 x,12 73215 7272714217解得解得x=420.x=420.在在ACHACH中，中，AC=420,CAH=30AC=420,CAH=30,ACH=90,ACH=90, ,所以所以CH=ACCH=ACtanCAHtanCAH=140 (=140 (米米).).故該儀器的垂直彈射高度故該儀器的垂直彈射高度CHCH為為

37、140 140 米米. .33【拓展提升【拓展提升】1.1.處理高度問題的注意事項處理高度問題的注意事項(1)(1)在處理有關(guān)高度問題時，要理解仰角、俯角在處理有關(guān)高度問題時，要理解仰角、俯角( (視線在水平線視線在水平線上方、下方的角分別稱為仰角、俯角上方、下方的角分別稱為仰角、俯角) )是一個關(guān)鍵是一個關(guān)鍵(2)(2)在實際問題中，可能會遇到空間與平面在實際問題中，可能會遇到空間與平面( (地面地面) )同時研究的同時研究的問題，這時最好畫兩個圖形，一個空間圖形，一個平面圖形，問題，這時最好畫兩個圖形，一個空間圖形，一個平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易搞錯這樣處理起來既清楚又不容易搞錯

38、. .【提醒【提醒】高度問題一般是把它轉(zhuǎn)化成三角形的問題，要注意三高度問題一般是把它轉(zhuǎn)化成三角形的問題，要注意三角形中的邊角關(guān)系的應(yīng)用，若是空間的問題要注意空間圖形和角形中的邊角關(guān)系的應(yīng)用，若是空間的問題要注意空間圖形和平面圖形的結(jié)合平面圖形的結(jié)合. .2.2.測量角度問題的一般步驟測量角度問題的一般步驟(1)(1)在弄清題意的基礎(chǔ)上，畫出表示實際問題的圖形，并在圖在弄清題意的基礎(chǔ)上，畫出表示實際問題的圖形，并在圖形中標出有關(guān)的角和距離形中標出有關(guān)的角和距離. .(2)(2)用正弦定理或余弦定理解三角形用正弦定理或余弦定理解三角形. .(3)(3)將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實際問題的解將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化

39、為實際問題的解同時注意把所求量放在有關(guān)三角形中，有時直接解此三角形解同時注意把所求量放在有關(guān)三角形中，有時直接解此三角形解不出來，需要先在其他三角形中求解相關(guān)量不出來，需要先在其他三角形中求解相關(guān)量. .【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】要測量底部不能到達的電視塔要測量底部不能到達的電視塔ABAB的高度，在的高度，在C C點點測得塔頂測得塔頂A A的仰角是的仰角是4545，在，在D D點測得塔頂點測得塔頂A A的仰角是的仰角是3030，并，并測得水平面上的測得水平面上的BCDBCD120120，CDCD40 m40 m，求電視塔的高度，求電視塔的高度. .【解析【解析】如圖，設(shè)電視塔如圖，設(shè)電視塔ABAB

40、的高為的高為x mx m，則在則在RtRtABCABC中，由中，由ACBACB4545得得BCBCx.x.在在RtRtABDABD中，由中，由ADBADB3030，得得BDBD x.x.在在BDCBDC中，由余弦定理，得中，由余弦定理，得BDBD2 2BCBC2 2CDCD2 22BC2BCCDCDcos 120cos 120，即即( x)( x)2 2x x2 240402 22 2x x4040cos 120cos 120，解得解得x x4040，電視塔高為電視塔高為4040米米. .33【滿分指導(dǎo)【滿分指導(dǎo)】三角形中面積公式的應(yīng)用三角形中面積公式的應(yīng)用【典例【典例】(12(12分分)(2

41、012)(2012江西高考江西高考) )在在ABCABC中，角中，角A A，B B，C C的對的對邊分別為邊分別為a,b,ca,b,c，已知，已知A= A= ，bsin( +C)-csinbsin( +C)-csin( +B)=a.( +B)=a.(1)(1)求證：求證：B-C= .B-C= .(2)(2)若若a= a= ，求，求ABCABC的面積的面積. .44422【思路點撥【思路點撥】 【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)由由bsinbsin ( +C)-csin ( +B)=a ( +C)-csin ( +B)=a，應(yīng)用正弦定理，應(yīng)用正弦定理，得得sin Bsin ( +C)-sin C

42、sin ( +B)=sin A,sin Bsin ( +C)-sin Csin ( +B)=sin A, 3 3分分sin B( sin C+ cos C)-sin C( sin B+ cos B)=sin B( sin C+ cos C)-sin C( sin B+ cos B)=整理得整理得sin Bcos C-cos Bsin C=1,sin Bcos C-cos Bsin C=1,即即sin(B-C)=1, sin(B-C)=1, 5 5分分4444222222222,2由于由于0B ,00B ,0C C , ,從而從而B-C= .B-C= . 6 6分分(2)B+C=-A= (2)B

43、+C=-A= ，由，由(1)(1)知知B-C= ,B-C= ,因此因此B= ,C= , B= ,C= , 8 8分分 2sin ,2sin ,1010分分所以所以ABCABC的面積的面積S=S= .= . 1212分分34342342588asin B5asin Ca2,Ab2sin ,c4sin A8sin A由，得815bcsin A2sin sin 28812cos sin 882【失分警示【失分警示】( (下文下文見規(guī)范解答過程見規(guī)范解答過程) )1.(20131.(2013汕頭模擬汕頭模擬) )在在ABCABC中，中，A=60A=60,AC=8,AC=8,面積面積S=4 S=4 ，則

44、則BC=( )BC=( )(A) (B)2 (C)2 (D)3(A) (B)2 (C)2 (D)33131313【解析【解析】選選C.C.因為因為A=60A=60,AC=b=8,AC=b=8,面積面積S=4 = bcsinS=4 = bcsin A, A,bcbc=16,b=8,c=2.=16,b=8,c=2.aa2 2=b=b2 2+c+c2 2-2bccos A=52,-2bccos A=52,a=2 .a=2 .312132.(20132.(2013深圳模擬深圳模擬) )小明的爸爸開汽車以小明的爸爸開汽車以80 km/h80 km/h的速度沿的速度沿著正北方向的公路行駛，小明坐在車里向外

45、觀察，在點著正北方向的公路行駛，小明坐在車里向外觀察，在點A A處處望見電視塔望見電視塔P P在北偏東在北偏東3030方向上，方向上，1515分鐘后到點分鐘后到點B B處望見電處望見電視塔在北偏東視塔在北偏東7575方向上，則汽車在點方向上，則汽車在點B B時與電視塔時與電視塔P P的距離的距離是是_ km._ km.【解析【解析】如圖所示，如圖所示，BAP=30BAP=30,CBP=75,CBP=75, ,BPA=45BPA=45, ,由已知得由已知得AB=80AB=80 =20(km), =20(km),由正弦定理得由正弦定理得 ，故故BP= BP= =10 (km).=10 (km).答

46、案答案: :101014ABBPsin BPAsin 30120AB sin 302sin BPA22223.(20133.(2013珠海模擬珠海模擬) )如圖，一艘船上午如圖，一艘船上午9 9：3030在在A A處測得燈塔處測得燈塔S S在它的北偏東在它的北偏東3030方向上，方向上，之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午10:0010:00到達到達B B處，且與燈塔處，且與燈塔S S相距相距8 n mile.8 n mile.此船此船的航速是的航速是32 n mile/h32 n mile/h，則燈塔，則燈塔S S對于點對于點B B的的方向角是方向角是_._.

47、2【解析【解析】由已知可得由已知可得, ,AB=32 n mile/hAB=32 n mile/h h=16 n mile h=16 n mile，BS=8 n mile,BAS=30BS=8 n mile,BAS=30, ,由正弦定理得由正弦定理得 , ,sinASB= .sinASB= .又又0 0ASBASB180180，得，得ASB=45ASB=45或或135135, ,若若ASB=45ASB=45，則，則ABS=105ABS=105，12ABBSsin ASBsin 30116AB sin 3022BS28 22此時，此時，S S在點在點B B的北偏東的北偏東7575方向上；方向上；

48、若若ASB=135ASB=135，則，則ABS=15ABS=15, ,此時，此時，S S在點在點B B的南偏東的南偏東1515方向上方向上. .答案答案: :北偏東北偏東7575或南偏東或南偏東15151.1.在在ABCABC中，中，AB= AB= ，點，點D D是是BCBC的中點，且的中點，且AD=1AD=1，BAD=30BAD=30，則則ABCABC的面積為的面積為( )( )(A) (B) (C) (D)(A) (B) (C) (D)【解析【解析】選選C.C.如圖所示，在如圖所示，在ABDABD中，中，BDBD2 2=AB=AB2 2+AD+AD2 2- -2AB2ABADcos 30A

49、Dcos 30=3+1-2=3+1-2 1 1 =1. =1.故故BD=1.BD=1.31222323332方法一：由于方法一：由于D D是是BCBC的中點，故的中點，故S SABCABC=2S=2SBADBAD=2=2 ABABADADsinBADsinBAD= .= .方法二：由方法二：由BD=1BD=1，得，得BC=2,BC=2,又又 ，得，得sin B= .sin B= .SSABCABC= = BABABCBCsin B= .sin B= .方法三方法三: :由于由于BD=1BD=1，AD=1,AD=1,故故B=BAD=30B=BAD=30, ,而而BC=2BD=2,BC=2BD=2

50、,故故S SABCABC= = BABABCsin B= .BCsin B= .1211323 1222 BDADsin 30sin BAD sin 301BD21211332222 1211332222 2.2.攀巖運動是一項刺激而危險的運動攀巖運動是一項刺激而危險的運動, ,在某在某次攀巖運動中，為確保運動員的安全次攀巖運動中，為確保運動員的安全, ,地面地面救援者應(yīng)時刻注意運動員離地面的距離救援者應(yīng)時刻注意運動員離地面的距離, ,以以備發(fā)生危險時進行及時救援備發(fā)生危險時進行及時救援. .為了方便測量為了方便測量和計算和計算, ,如圖，如圖，A,CA,C分別為兩名攀巖者所在分別為兩名攀巖者

51、所在位置位置,B,B為山的拐角處為山的拐角處, ,且斜坡且斜坡ABAB的坡角為的坡角為,D,D為山腳為山腳, ,某人在某人在E E處測得處測得A,B,CA,B,C的仰角分別為的仰角分別為,ED,ED=a,=a,(1)(1)求求B B，D D間的距離及間的距離及C C，D D間的距離間的距離. .(2)(2)求證求證: :在在A A處，攀巖者距地面的距離處，攀巖者距地面的距離h= .h= .asin sin cos sin()【解析【解析】(1)(1)根據(jù)題意得根據(jù)題意得CED=,BED=,AEDCED=,BED=,AED=,=,在直角在直角三角形三角形CEDCED中中,tan = ,CD=atan,tan = ,CD=atan , ,在直角三角形在直角三角形BEDBED中中,tan = ,BD=atan,tan = ,BD=atan . .(2)(2)易得易得AE= ,AE= ,在在ABEABE中中,AEB=-,ABE=+,AEB=-,ABE=+, ,EAB=-(+EAB=-(+),),由正弦定理得由正弦定理得 , ,代入整理得代入整理得:h= .:h= .CDDEBDDEha,BEsin cos BEAEsin EABsin ABEasin sin cos sin ()