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1、
2016-2017學(xué)年度蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)研（二）
數(shù) 學(xué) Ⅰ 試 題 2017.5
注意事項(xiàng)：
1．本試卷共4頁(yè)，包括填空題（第1題～第14題）、解答題（第15題～第20題）兩部分．本試卷滿(mǎn)分160分，考試時(shí)間120分鐘．
2．答題前，請(qǐng)您務(wù)必將自己的姓名、考試號(hào)用毫米黑色字跡的簽字筆填寫(xiě)在答題卡的指定位置．
3．答題時(shí)，必須用毫米黑色字跡的簽字筆填寫(xiě)在答題卡的指定位置，在其它位置作答一律無(wú)效．
4．如有作圖需要，可用2B鉛筆作答，并請(qǐng)加黑加粗，描寫(xiě)清楚．
5. 請(qǐng)保持答題卡卡面清潔，不要折疊、破損．一律不準(zhǔn)使用膠帶
2、紙、修正液、可擦洗的圓珠筆．
一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．不需要寫(xiě)出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案直接填在答題卡相應(yīng)位置上．
1．已知集合，，則 ▲ ．
2．已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，，且，則 ▲ ．
3．下表是一個(gè)容量為10的樣本數(shù)據(jù)分組后的頻數(shù)分布．若利用組中值近似計(jì)算本組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，則的值為 ▲ ．
數(shù)據(jù)
頻數(shù)
2
1
3
4
4．已知直線(xiàn)為雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)，則該雙曲線(xiàn)的離心率的值為 ▲ ．
輸入
輸出
5．據(jù)記載，在公元前3世紀(jì)，阿基米德已經(jīng)得出了前n個(gè)自然數(shù)平方和的一般公式．右圖是
3、一個(gè)求前n個(gè)自然數(shù)平方和的算法流程圖，若輸入的值為1，則輸出的值為 ▲ ．
6．已知是集合所表示的區(qū)域，是集合所表示的區(qū)域，向區(qū)域內(nèi)隨機(jī)的投一個(gè)點(diǎn)，則該點(diǎn)落在區(qū)域內(nèi)的概率為 ▲ ．
7．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公比，，則 ▲ ．
8．已知直四棱柱底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，側(cè)面對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)為，則該直四棱柱的側(cè)面積為 ▲ ．
9．已知是第二象限角，且，，則 ▲ ．
10．已知直線(xiàn)：，圓：，當(dāng)直線(xiàn)被圓所截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，實(shí)數(shù) ▲ ．
11．在△中，角對(duì)邊分別是，若滿(mǎn)足，則角的大小為 ▲ ．
12．在△中，，，，是△ABC所在平面內(nèi)
4、一點(diǎn)，若
，則△PBC面積的最小值為 ▲ ．
13．已知函數(shù) 若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b 的取值范圍為 ▲ ．
14．已知均為正數(shù)，且，則的最小值為 ▲ ．
二、解答題：本大題共6小題，共90分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
15．（本小題滿(mǎn)分14分）
已知向量,．
（1）當(dāng)時(shí)，求的值；
（2）若，且，求的值．
P
G
F
E
D
C
B
A
16．（本小題滿(mǎn)分14分）
如圖，在四面體ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，
E，F(xiàn)，G分別為AB，AD，AC的中點(diǎn)，，
5、．
（1）求證：AB⊥平面EDC；
（2）若P為FG上任一點(diǎn)，證明EP∥平面BCD．
17．（本小題滿(mǎn)分14分）
某科研小組研究發(fā)現(xiàn)：一棵水蜜桃樹(shù)的產(chǎn)量（單位：百千克）與肥料費(fèi)用（單位：百元）滿(mǎn)足如下關(guān)系：，且投入的肥料費(fèi)用不超過(guò)5百元．此外，還需要投入其他成本（如施肥的人工費(fèi)等）百元．已知這種水蜜桃的市場(chǎng)售價(jià)為16元/千克（即16百元/百千克），且市場(chǎng)需求始終供不應(yīng)求．記該棵水蜜桃樹(shù)獲得的利潤(rùn)為（單位：百元）．
（1）求利潤(rùn)函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出定義域；
（2）當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為多少時(shí)，該水蜜桃樹(shù)獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？
18．（本小題滿(mǎn)分16分）
6、已知函數(shù)，a，b為實(shí)數(shù)，， e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，…．
（1）當(dāng)，時(shí)，設(shè)函數(shù)的最小值為，求的最大值；
（2）若關(guān)于x 的方程在區(qū)間上有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)解，求的取值范圍．
19．（本小題滿(mǎn)分16分）
已知橢圓的左焦點(diǎn)為，左準(zhǔn)線(xiàn)方程為．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知直線(xiàn)交橢圓于，兩點(diǎn)．
①若直線(xiàn)經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，且滿(mǎn)足，．求證：為定值；
②若A，B兩點(diǎn)滿(mǎn)足（O為
坐標(biāo)原點(diǎn)），求△AOB面積的取值范圍．
20．（本小題滿(mǎn)分16分）
已知數(shù)列滿(mǎn)足,其中,,為非零常數(shù)．
（1）若，求證：為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列是公
7、差不等于零的等差數(shù)列．
①求實(shí)數(shù)的值；
②數(shù)列的前n項(xiàng)和構(gòu)成數(shù)列，從中取不同的四項(xiàng)按從小到大排列組成四項(xiàng)子數(shù)列．試問(wèn)：是否存在首項(xiàng)為的四項(xiàng)子數(shù)列，使得該子數(shù)列中的所有項(xiàng)之和恰好為2017？若存在，求出所有滿(mǎn)足條件的四項(xiàng)子數(shù)列；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
2016-2017學(xué)年度蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)研（二）
數(shù)學(xué)Ⅱ（附加）試題 2017.5
注意事項(xiàng)：
1．本試卷只有解答題，供理工方向考生使用．本試卷第21題有4個(gè)小題供選做，每位考
8、生在4個(gè)選做題中選答2題，如多答，則按選做題中的前2題計(jì)分．第22，23題為必答題．每小題10分，共40分．考試用時(shí)30分鐘．
2．答題前，請(qǐng)您務(wù)必將自己的姓名、考試號(hào)用毫米黑色字跡的簽字筆填寫(xiě)在試卷的指定位置．
3．答題時(shí)，必須用毫米黑色字跡的簽字筆填寫(xiě)在試卷的指定位置，在其它位置作答一律無(wú)效．
4．如有作圖需要，可用2B鉛筆作答，并請(qǐng)加黑加粗，描寫(xiě)清楚．
5．請(qǐng)保持答題卡卡面清潔，不要折疊、破損．一律不準(zhǔn)使用膠帶紙、修正液、可擦洗的圓珠筆．
21．【選做題】本題包括，，，四小題，每小題10分. 請(qǐng)選定其中兩題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，若多做，則按作答的前兩題評(píng)分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出
9、必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
A．（選修4－1：幾何證明選講）
A
B
C
DO
E
O
如圖，直線(xiàn)切圓于點(diǎn)，直線(xiàn)交圓于兩點(diǎn)，于點(diǎn)，
且，求證：．
B．（選修4—2：矩陣與變換）
已知矩陣的一個(gè)特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量．
求矩陣的逆矩陣．
C．（選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）
在平面直角坐標(biāo)系中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，取相同的單位長(zhǎng)度，建立極坐標(biāo)系.已知曲線(xiàn)的參數(shù)方程為為參數(shù))，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為（）．若曲線(xiàn)與曲線(xiàn)有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值．
D.（選修4—5：不等式選講）
已知為正實(shí)數(shù)，求證：．
10、
【必做題】第22，23題，每小題10分，共20分. 請(qǐng)把答案寫(xiě)在答題卡的指定區(qū)域內(nèi)，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
22．（本小題滿(mǎn)分10分）
已知袋中裝有大小相同的2個(gè)白球、2個(gè)紅球和1個(gè)黃球．一項(xiàng)游戲規(guī)定：每個(gè)白球、紅球和黃球的分值分別是0分、1分和2分，每一局從袋中一次性取出三個(gè)球，將3個(gè)球?qū)?yīng)的分值相加后稱(chēng)為該局的得分，計(jì)算完得分后將球放回袋中．當(dāng)出現(xiàn)第局得分（）的情況就算游戲過(guò)關(guān)，同時(shí)游戲結(jié)束，若四局過(guò)后仍未過(guò)關(guān)，游戲也結(jié)束．
（1）求在一局游戲中得3分的概率；
（2）求游戲結(jié)束時(shí)局?jǐn)?shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．
23．（本小題滿(mǎn)分10分）
已知，
11、
其中．
（1）試求，，的值；
（2）試猜測(cè)關(guān)于n的表達(dá)式，并證明你的結(jié)論．
2016-2017學(xué)年度蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)研（二）
數(shù)學(xué)參考答案 2017.5
一、填空題．
1． 2．1 3．19.7 4．
5．14 6. 7． 8．
9． 10．-1 11． 12．
13． 14．7
二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分．
15．解：（1）當(dāng)時(shí)，，， ……………………………4分
所以．……
12、……………………………………………………6分
（2）
， ………………………8分
若，則，即，
因?yàn)?，所以，所以?……………10分
則 ……………12分
． ……………………………14分
16．（1）因?yàn)槠矫鍭BC⊥平面ACD，，即CD⊥AC，
平面ABC 平面ACD=AC，CD平面ACD，
所以CD⊥平面ABC， ………………………………………………………………3分
又AB平面ABC，所以CD⊥AB， ………………………………………………4分
因?yàn)?，E為AB的中點(diǎn)，所以CE⊥AB， ………………
13、…………………6分
又，CD平面EDC，CE平面EDC，
所以AB⊥平面EDC． …………………………………………………………………7分
（2）連EF，EG，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，
所以EF∥BD，又平面BCD，平面BCD，
所以EF∥平面BCD， ………………………………………………………………10分
同理可證EG∥平面BCD，且EFEG=E，EF平面BCD，EG平面BCD，
所以平面EFG∥平面BCD， ………………………………………………………12分
又P為FG上任一點(diǎn)，所以EP平面EFG，所以EP∥平面BCD．……………14分
17．解：
14、（1）（）．………………4分
（2）法一：
．……………………………………8分
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào)．……………………………10分
故．………………………………………………………………12分
答：當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為300元時(shí)，種植該果樹(shù)獲得的最大利潤(rùn)是4300元．…14分
法二：，由得，．……………………………7分
故當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；…………………10分
故．………………………………………………………………12分
答：當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為300元時(shí)，種植該果樹(shù)獲得的最大利潤(rùn)是4300元．…14分
18．解：（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，
則， ………
15、………………………………………………2分
令，得，因?yàn)闀r(shí)，，
0
+
極小值
所以， ……………………………4分
令，
則，令，得，
且當(dāng)時(shí)，有最大值1，
所以的最大值為1（表格略），(分段寫(xiě)單調(diào)性即可)，此時(shí)．………6分
（2）由題意得，方程在區(qū)間上有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)解，
所以在區(qū)間上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，
即函數(shù)圖像與函數(shù)圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，…………………9分
因?yàn)?，令，得?
0
+
3e
所以當(dāng)時(shí)，，……………………………………………14分
當(dāng)時(shí)，，
所以滿(mǎn)足的關(guān)系式為 ，即的
16、取值范圍為．…………16分
19．解：（1）由題設(shè)知，，即，……………………1分
代入橢圓得到，則，，…………………2分
∴． ……………………………………………………………………3分
（2）①由題設(shè)知直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)的方程為，則．
設(shè)，直線(xiàn)代入橢圓得，整理得，
，∴． ……………5分
由，知，， ……………………………7分
∴（定值）．………9分
?、诋?dāng)直線(xiàn)分別與坐標(biāo)軸重合時(shí)，易知△AOB的面積，……………10分
當(dāng)直線(xiàn)的斜率均存在且不為零時(shí)，設(shè)，
設(shè)，將代入橢圓得到，
∴，同理， …………………12分
△AOB的面
17、積． ………………………………13分
令，，
令，則． ……………15分
綜上所述，． ………………………………………………………16分
20．解：（1）當(dāng)時(shí)，，
∴．……………………………………………………………………2分
又，不然，這與矛盾，…………………………………3分
∴為2為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，
∴，∴． …………………………………………………4分
（2）①設(shè)，
由得，
∴， …………………………5分
∴
對(duì)任意恒成立． ………………………………………………………………7分
∴即∴．…………9分
18、 綜上，． ……………………………………………………10分
?、谟散僦?
設(shè)存在這樣滿(mǎn)足條件的四元子列，觀(guān)察到2017為奇數(shù)，這四項(xiàng)或者三個(gè)奇數(shù)一個(gè)偶數(shù)、或者一個(gè)奇數(shù)三個(gè)偶數(shù)．
若三個(gè)奇數(shù)一個(gè)偶數(shù)，設(shè)是滿(mǎn)足條件的四項(xiàng)，
則，
∴，這與1007為奇數(shù)矛盾，不合題意舍去． ……11分
若一個(gè)奇數(shù)三個(gè)偶數(shù)，設(shè)是滿(mǎn)足條件的四項(xiàng)，
則，∴． ……………………………12分
由504為偶數(shù)知，中一個(gè)偶數(shù)兩個(gè)奇數(shù)或者三個(gè)偶數(shù)．
1）若中一個(gè)偶數(shù)兩個(gè)奇數(shù)，不妨設(shè)
則，這與251為奇數(shù)矛盾． ………………………13分
2）若均為偶數(shù)，不妨設(shè)，
則，繼續(xù)奇偶分析知中兩奇數(shù)一個(gè)偶數(shù)，
19、
不妨設(shè)，，，則． …14分
因?yàn)榫鶠榕紨?shù)，所以為奇數(shù)，不妨設(shè)，
當(dāng)時(shí)，，，檢驗(yàn)得，，，
當(dāng)時(shí)，，，檢驗(yàn)得，，，
當(dāng)時(shí)，，，檢驗(yàn)得，，，
即或者或者滿(mǎn)足條件，
綜上所述，，，為全部滿(mǎn)足條件的四元子列．…………………………………………………………………………………………16分
（第Ⅱ卷 理科附加卷）
21．【選做題】本題包括，，，四小題，每小題10分.
A．（選修4－1 幾何證明選講）.
解：連結(jié)OD，設(shè)圓的半徑為R，，則，． …………2分
在Rt△ODE中，∵，∴，即， ①
又∵直線(xiàn)DE切圓O于點(diǎn)D，則，即，②
20、 ………6分
∴，代入①，，， ……………………………8分
∴，
∴． ……………………………………………………………………10分
B．（選修4—2：矩陣與變換）
解：由題知，……………………4分
∴，.…………………………………………………………6分
， …………………………………………………8分
∴． ………………………………………………………………10分
C．（選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）
解：，
∴曲線(xiàn)的普通方程為． ……………………………………4分
，
∴曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為， ……………………………………6分
曲線(xiàn)圓心到直線(xiàn)的距離為， ……
21、…………………8分
∴，∴或．………………………………10分（少一解，扣一分）
D．（選修4—5：不等式選講）
解法一：基本不等式
∵，，，
∴， ………………………………………6分
∴， ………………………………………………………10分
解法二：柯西不等式，
∴， …………………………………………………………10分
【必做題】第22，23題，每小題10分，計(jì)20分.
22．解：（1）設(shè)在一局游戲中得3分為事件，
則．… …………………………………………………………2分
答：在一局游戲中得3分的概率為．………………………………
22、………………3分
（2）的所有可能取值為．
在一局游戲中得2分的概率為，…………………………………5分
；
；
；
．
1
2
3
4
所以
………………………………………………………………………………………………8分
∴．…………………………………10分
23．解：(1)；………………………………………1分
； ………………………………………2分
． ………………………………………3分
（2）猜測(cè)：． …………………………………………………………………4分
而，，
所以． …………………………………………………………………5分
用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論成立．
①當(dāng)時(shí)，，所以結(jié)論成立．
②假設(shè)當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立，即．
當(dāng)時(shí)，
（*）
由歸納假設(shè)知（*）式等于．
所以當(dāng)時(shí)，結(jié)論也成立．
綜合①②，成立． ………………………………………………………10分
蘇錫常鎮(zhèn)高三二模數(shù)學(xué)試題word版含附加含答案
