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1、
2016-2017學年度蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學情況調(diào)研（二）
數(shù) 學 Ⅰ 試 題 2017.5
注意事項：
1．本試卷共4頁，包括填空題（第1題～第14題）、解答題（第15題～第20題）兩部分．本試卷滿分160分，考試時間120分鐘．
2．答題前，請您務必將自己的姓名、考試號用毫米黑色字跡的簽字筆填寫在答題卡的指定位置．
3．答題時，必須用毫米黑色字跡的簽字筆填寫在答題卡的指定位置，在其它位置作答一律無效．
4．如有作圖需要，可用2B鉛筆作答，并請加黑加粗，描寫清楚．
5. 請保持答題卡卡面清潔，不要折疊、破損．一律不準使用膠帶
2、紙、修正液、可擦洗的圓珠筆．
一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．不需要寫出解答過程，請把答案直接填在答題卡相應位置上．
1．已知集合，，則 ▲ ．
2．已知i為虛數(shù)單位，復數(shù)，，且，則 ▲ ．
3．下表是一個容量為10的樣本數(shù)據(jù)分組后的頻數(shù)分布．若利用組中值近似計算本組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，則的值為 ▲ ．
數(shù)據(jù)
頻數(shù)
2
1
3
4
4．已知直線為雙曲線的一條漸近線，則該雙曲線的離心率的值為 ▲ ．
輸入
輸出
5．據(jù)記載，在公元前3世紀，阿基米德已經(jīng)得出了前n個自然數(shù)平方和的一般公式．右圖是
3、一個求前n個自然數(shù)平方和的算法流程圖，若輸入的值為1，則輸出的值為 ▲ ．
6．已知是集合所表示的區(qū)域，是集合所表示的區(qū)域，向區(qū)域內(nèi)隨機的投一個點，則該點落在區(qū)域內(nèi)的概率為 ▲ ．
7．已知等比數(shù)列的前n項和為，公比，，則 ▲ ．
8．已知直四棱柱底面是邊長為2的菱形，側(cè)面對角線的長為，則該直四棱柱的側(cè)面積為 ▲ ．
9．已知是第二象限角，且，，則 ▲ ．
10．已知直線：，圓：，當直線被圓所截得的弦長最短時，實數(shù) ▲ ．
11．在△中，角對邊分別是，若滿足，則角的大小為 ▲ ．
12．在△中，，，，是△ABC所在平面內(nèi)
4、一點，若
，則△PBC面積的最小值為 ▲ ．
13．已知函數(shù) 若函數(shù)有三個零點，則實數(shù)b 的取值范圍為 ▲ ．
14．已知均為正數(shù)，且，則的最小值為 ▲ ．
二、解答題：本大題共6小題，共90分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（本小題滿分14分）
已知向量,．
（1）當時，求的值；
（2）若，且，求的值．
P
G
F
E
D
C
B
A
16．（本小題滿分14分）
如圖，在四面體ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，
E，F(xiàn)，G分別為AB，AD，AC的中點，，
5、．
（1）求證：AB⊥平面EDC；
（2）若P為FG上任一點，證明EP∥平面BCD．
17．（本小題滿分14分）
某科研小組研究發(fā)現(xiàn)：一棵水蜜桃樹的產(chǎn)量（單位：百千克）與肥料費用（單位：百元）滿足如下關系：，且投入的肥料費用不超過5百元．此外，還需要投入其他成本（如施肥的人工費等）百元．已知這種水蜜桃的市場售價為16元/千克（即16百元/百千克），且市場需求始終供不應求．記該棵水蜜桃樹獲得的利潤為（單位：百元）．
（1）求利潤函數(shù)的函數(shù)關系式，并寫出定義域；
（2）當投入的肥料費用為多少時，該水蜜桃樹獲得的利潤最大？最大利潤是多少？
18．（本小題滿分16分）
6、已知函數(shù)，a，b為實數(shù)，， e為自然對數(shù)的底數(shù)，…．
（1）當，時，設函數(shù)的最小值為，求的最大值；
（2）若關于x 的方程在區(qū)間上有兩個不同實數(shù)解，求的取值范圍．
19．（本小題滿分16分）
已知橢圓的左焦點為，左準線方程為．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）已知直線交橢圓于，兩點．
①若直線經(jīng)過橢圓的左焦點，交軸于點，且滿足，．求證：為定值；
②若A，B兩點滿足（O為
坐標原點），求△AOB面積的取值范圍．
20．（本小題滿分16分）
已知數(shù)列滿足,其中,,為非零常數(shù)．
（1）若，求證：為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；
（2）若數(shù)列是公
7、差不等于零的等差數(shù)列．
①求實數(shù)的值；
②數(shù)列的前n項和構(gòu)成數(shù)列，從中取不同的四項按從小到大排列組成四項子數(shù)列．試問：是否存在首項為的四項子數(shù)列，使得該子數(shù)列中的所有項之和恰好為2017？若存在，求出所有滿足條件的四項子數(shù)列；若不存在，請說明理由．
2016-2017學年度蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學情況調(diào)研（二）
數(shù)學Ⅱ（附加）試題 2017.5
注意事項：
1．本試卷只有解答題，供理工方向考生使用．本試卷第21題有4個小題供選做，每位考
8、生在4個選做題中選答2題，如多答，則按選做題中的前2題計分．第22，23題為必答題．每小題10分，共40分．考試用時30分鐘．
2．答題前，請您務必將自己的姓名、考試號用毫米黑色字跡的簽字筆填寫在試卷的指定位置．
3．答題時，必須用毫米黑色字跡的簽字筆填寫在試卷的指定位置，在其它位置作答一律無效．
4．如有作圖需要，可用2B鉛筆作答，并請加黑加粗，描寫清楚．
5．請保持答題卡卡面清潔，不要折疊、破損．一律不準使用膠帶紙、修正液、可擦洗的圓珠筆．
21．【選做題】本題包括，，，四小題，每小題10分. 請選定其中兩題，并在相應的答題區(qū)域內(nèi)作答，若多做，則按作答的前兩題評分．解答時應寫出
9、必要的文字說明、證明過程或演算步驟．
A．（選修4－1：幾何證明選講）
A
B
C
DO
E
O
如圖，直線切圓于點，直線交圓于兩點，于點，
且，求證：．
B．（選修4—2：矩陣與變換）
已知矩陣的一個特征值及對應的特征向量．
求矩陣的逆矩陣．
C．（選修4—4：坐標系與參數(shù)方程）
在平面直角坐標系中，以O為極點，x軸的正半軸為極軸，取相同的單位長度，建立極坐標系.已知曲線的參數(shù)方程為為參數(shù))，曲線的極坐標方程為（）．若曲線與曲線有且僅有一個公共點，求實數(shù)的值．
D.（選修4—5：不等式選講）
已知為正實數(shù)，求證：．
10、
【必做題】第22，23題，每小題10分，共20分. 請把答案寫在答題卡的指定區(qū)域內(nèi)，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
22．（本小題滿分10分）
已知袋中裝有大小相同的2個白球、2個紅球和1個黃球．一項游戲規(guī)定：每個白球、紅球和黃球的分值分別是0分、1分和2分，每一局從袋中一次性取出三個球，將3個球?qū)姆种迪嗉雍蠓Q為該局的得分，計算完得分后將球放回袋中．當出現(xiàn)第局得分（）的情況就算游戲過關，同時游戲結(jié)束，若四局過后仍未過關，游戲也結(jié)束．
（1）求在一局游戲中得3分的概率；
（2）求游戲結(jié)束時局數(shù)的分布列和數(shù)學期望．
23．（本小題滿分10分）
已知，
11、
其中．
（1）試求，，的值；
（2）試猜測關于n的表達式，并證明你的結(jié)論．
2016-2017學年度蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學情況調(diào)研（二）
數(shù)學參考答案 2017.5
一、填空題．
1． 2．1 3．19.7 4．
5．14 6. 7． 8．
9． 10．-1 11． 12．
13． 14．7
二、解答題：本大題共6小題，共計90分．
15．解：（1）當時，，， ……………………………4分
所以．……
12、……………………………………………………6分
（2）
， ………………………8分
若，則，即，
因為，所以，所以， ……………10分
則 ……………12分
． ……………………………14分
16．（1）因為平面ABC⊥平面ACD，，即CD⊥AC，
平面ABC 平面ACD=AC，CD平面ACD，
所以CD⊥平面ABC， ………………………………………………………………3分
又AB平面ABC，所以CD⊥AB， ………………………………………………4分
因為，E為AB的中點，所以CE⊥AB， ………………
13、…………………6分
又，CD平面EDC，CE平面EDC，
所以AB⊥平面EDC． …………………………………………………………………7分
（2）連EF，EG，因為E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，
所以EF∥BD，又平面BCD，平面BCD，
所以EF∥平面BCD， ………………………………………………………………10分
同理可證EG∥平面BCD，且EFEG=E，EF平面BCD，EG平面BCD，
所以平面EFG∥平面BCD， ………………………………………………………12分
又P為FG上任一點，所以EP平面EFG，所以EP∥平面BCD．……………14分
17．解：
14、（1）（）．………………4分
（2）法一：
．……………………………………8分
當且僅當時，即時取等號．……………………………10分
故．………………………………………………………………12分
答：當投入的肥料費用為300元時，種植該果樹獲得的最大利潤是4300元．…14分
法二：，由得，．……………………………7分
故當時，，在上單調(diào)遞增；
當時，，在上單調(diào)遞減；…………………10分
故．………………………………………………………………12分
答：當投入的肥料費用為300元時，種植該果樹獲得的最大利潤是4300元．…14分
18．解：（1）當時，函數(shù)，
則， ………
15、………………………………………………2分
令，得，因為時，，
0
+
極小值
所以， ……………………………4分
令，
則，令，得，
且當時，有最大值1，
所以的最大值為1（表格略），(分段寫單調(diào)性即可)，此時．………6分
（2）由題意得，方程在區(qū)間上有兩個不同實數(shù)解，
所以在區(qū)間上有兩個不同的實數(shù)解，
即函數(shù)圖像與函數(shù)圖像有兩個不同的交點，…………………9分
因為，令，得，
0
+
3e
所以當時，，……………………………………………14分
當時，，
所以滿足的關系式為 ，即的
16、取值范圍為．…………16分
19．解：（1）由題設知，，即，……………………1分
代入橢圓得到，則，，…………………2分
∴． ……………………………………………………………………3分
（2）①由題設知直線的斜率存在，設直線的方程為，則．
設，直線代入橢圓得，整理得，
，∴． ……………5分
由，知，， ……………………………7分
∴（定值）．………9分
?、诋斨本€分別與坐標軸重合時，易知△AOB的面積，……………10分
當直線的斜率均存在且不為零時，設，
設，將代入橢圓得到，
∴，同理， …………………12分
△AOB的面
17、積． ………………………………13分
令，，
令，則． ……………15分
綜上所述，． ………………………………………………………16分
20．解：（1）當時，，
∴．……………………………………………………………………2分
又，不然，這與矛盾，…………………………………3分
∴為2為首項，3為公比的等比數(shù)列，
∴，∴． …………………………………………………4分
（2）①設，
由得，
∴， …………………………5分
∴
對任意恒成立． ………………………………………………………………7分
∴即∴．…………9分
18、 綜上，． ……………………………………………………10分
②由①知．
設存在這樣滿足條件的四元子列，觀察到2017為奇數(shù)，這四項或者三個奇數(shù)一個偶數(shù)、或者一個奇數(shù)三個偶數(shù)．
若三個奇數(shù)一個偶數(shù)，設是滿足條件的四項，
則，
∴，這與1007為奇數(shù)矛盾，不合題意舍去． ……11分
若一個奇數(shù)三個偶數(shù)，設是滿足條件的四項，
則，∴． ……………………………12分
由504為偶數(shù)知，中一個偶數(shù)兩個奇數(shù)或者三個偶數(shù)．
1）若中一個偶數(shù)兩個奇數(shù)，不妨設
則，這與251為奇數(shù)矛盾． ………………………13分
2）若均為偶數(shù)，不妨設，
則，繼續(xù)奇偶分析知中兩奇數(shù)一個偶數(shù)，
19、
不妨設，，，則． …14分
因為均為偶數(shù)，所以為奇數(shù)，不妨設，
當時，，，檢驗得，，，
當時，，，檢驗得，，，
當時，，，檢驗得，，，
即或者或者滿足條件，
綜上所述，，，為全部滿足條件的四元子列．…………………………………………………………………………………………16分
（第Ⅱ卷 理科附加卷）
21．【選做題】本題包括，，，四小題，每小題10分.
A．（選修4－1 幾何證明選講）.
解：連結(jié)OD，設圓的半徑為R，，則，． …………2分
在Rt△ODE中，∵，∴，即， ①
又∵直線DE切圓O于點D，則，即，②
20、 ………6分
∴，代入①，，， ……………………………8分
∴，
∴． ……………………………………………………………………10分
B．（選修4—2：矩陣與變換）
解：由題知，……………………4分
∴，.…………………………………………………………6分
， …………………………………………………8分
∴． ………………………………………………………………10分
C．（選修4—4：坐標系與參數(shù)方程）
解：，
∴曲線的普通方程為． ……………………………………4分
，
∴曲線的直角坐標方程為， ……………………………………6分
曲線圓心到直線的距離為， ……
21、…………………8分
∴，∴或．………………………………10分（少一解，扣一分）
D．（選修4—5：不等式選講）
解法一：基本不等式
∵，，，
∴， ………………………………………6分
∴， ………………………………………………………10分
解法二：柯西不等式，
∴， …………………………………………………………10分
【必做題】第22，23題，每小題10分，計20分.
22．解：（1）設在一局游戲中得3分為事件，
則．… …………………………………………………………2分
答：在一局游戲中得3分的概率為．………………………………
22、………………3分
（2）的所有可能取值為．
在一局游戲中得2分的概率為，…………………………………5分
；
；
；
．
1
2
3
4
所以
………………………………………………………………………………………………8分
∴．…………………………………10分
23．解：(1)；………………………………………1分
； ………………………………………2分
． ………………………………………3分
（2）猜測：． …………………………………………………………………4分
而，，
所以． …………………………………………………………………5分
用數(shù)學歸納法證明結(jié)論成立．
①當時，，所以結(jié)論成立．
②假設當時，結(jié)論成立，即．
當時，
（*）
由歸納假設知（*）式等于．
所以當時，結(jié)論也成立．
綜合①②，成立． ………………………………………………………10分
蘇錫常鎮(zhèn)高三二模數(shù)學試題word版含附加含答案
