新編高考數學復習 專題09 直線與圓教學案高考數學文考綱解讀與熱點難點突破 Word版含解析

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1、 【高考考綱解讀】 高考對本內容的考查主要有：直線和圓的方程；兩直線的平行與垂直關系；點到直線的距離；直線與圓的位置關系；直線被圓截得的弦長．多為B級或C級要求． 【重點、難點剖析】 1．兩直線平行或垂直 (1)兩條直線平行：對于兩條不重合的直線l1，l2，其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1∥l2?k1＝k2.特別地，當直線l1，l2的斜率都不存在且l1與l2不重合時，l1∥l2. (2)兩條直線垂直：對于兩條直線l1，l2，其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1⊥l2?k1·k2＝－1.特別地，當l1，l2中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為零時，l1⊥l2.

2、2．圓的方程 (1)圓的標準方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，圓心為(a，b)，半徑為r. (2)圓的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，圓心為，半徑為r＝；對于二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是 3．直線方程的5種形式中只有一般式可以表示所有的直線．在利用直線方程的其他形式解題時，一定要注意它們表示直線的局限性．比如，根據“在兩坐標軸上的截距相等”這個條件設方程時一定不要忽略過原點的特殊情況．而題中給出直線方程的一般式，我們通常先把它轉化為斜截式再進行處理． 4．處理有關圓的問題，要特別注意圓心、半徑

3、及平面幾何知識的應用，如弦心距、半徑、弦長的一半構成直角三角形經常用到，利用圓的一些特殊幾何性質解題，往往使問題簡化． 5．直線與圓中常見的最值問題 (1)圓外一點與圓上任一點的距離的最值． (2)直線與圓相離，圓上任一點到直線的距離的最值． (3)過圓內一定點的直線被圓截得弦長的最值． (4)直線與圓相離，過直線上一點作圓的切線，切線長的最小值問題． (5)兩圓相離，兩圓上點的距離的最值． 【題型示例】 題型1、直線和圓的方程 【例1】 【20xx江蘇，13】在平面直角坐標系中,點在圓上,若則點的橫坐標的取值范圍是 ▲ . 【答案】 【變式探究】【20xx高考

4、新課標3文數】已知直線：與圓交于兩點，過分別做的垂線與軸交于兩點，若，則__________________. 【答案】4 【解析】因為，且圓的半徑為，所以圓心到直線的距離為，則由，解得，代入直線的方程，得，所以直線的傾斜角為，由平面幾何知識知在梯形中，． 【舉一反三】 (20xx·江蘇，10)在平面直角坐標系xOy中，以點(1，0)為圓心且與直線mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圓中，半徑最大的圓的標準方程為________． 解析　直線mx－y－2m－1＝0恒過定點(2，－1)，由題意，得半徑最大的圓的半徑r＝＝. 故所求圓的標準方程為(x－1)2＋y2＝2. 答案　(

5、x－1)2＋y2＝2 【變式探究】 (1)已知A，B兩點分別在兩條互相垂直的直線2x－y＝0和x＋ay＝0上，且AB線段的中點為P，則線段AB的長為(　　) A．11　　　　B．10　　　　C．9　　　　D．8 (2)(20xx·重慶)已知直線ax＋y－2＝0與圓心為C的圓(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B兩點，且△ABC為等邊三角形，則實數a＝________. 【命題意圖】(1)本題主要考查兩直線的位置關系及兩點間距離公式的應用，意在考查考生的運算求解能力． (2)本題主要考查圓的方程與點到直線的距離公式，意在考查考生的數形結合思想． 【答案】(1)B　(2)4±

6、【感悟提升】 (1)要注意幾種直線方程的局限性．點斜式、兩點式、斜截式要求直線不能與x軸垂直，而截距式方程不能表示過原點的直線，也不能表示垂直于坐標軸的直線． (2)求解與兩條直線平行或垂直有關的問題時，主要是利用兩條直線平行或垂直的充要條件，即“斜率相等”或“互為負倒數”．若出現斜率不存在的情況，可考慮用數形結合的方法去研究． 提醒：判斷兩條直線的位置關系時要注意兩個易錯點：一是忽視直線的斜率不存在的情況，二是忽視兩直線重合的情況． (3)一些含有參數的直線方程可能出現當x，y取定值時方程對任意參數恒成立的情況，這種情況就是直線恒過定點．一般解法是把直線方程整理成關于參數的方程，根據

7、這個方程對任意參數恒成立，得到一個關于x，y的方程組，這個方程組的解就是直線恒過定點的坐標． 【變式探究】若一三角形三邊所在的直線方程分別為x＋2y－5＝0，y－2＝0，x＋y－4＝0，則能夠覆蓋此三角形且面積最小的圓的方程為________． 【答案】　(x－2)2＋2＝ 【解析】　結合題意，易得三角形的三個頂點分別是(1,2)，(2,2)和(3,1)，作出圖形，即可判斷該三角形為鈍角三角形，而能夠覆蓋鈍角三角形的圓是以鈍角的對邊(最長邊)為直徑的圓，而最長邊的兩個端點坐標分別為(1,2)，(3,1)，即圓的直徑為，圓心坐標為，故其方程為(x－2)2＋2＝. 【方法技巧】求圓的方程就

8、是要確定圓心坐標和半徑，通常用待定系數法；對于解析幾何填空題利用其幾何性質往往會起到方便、快捷作用． 【變式探究】已知過某定圓上的每一點均可以作兩條相互垂直的直線與橢圓＋＝1的公共點都各只有一個，那么該定圓的方程為________． 【答案】　x2＋y2＝25 題型2、直線與圓、圓與圓的位置關系 【例2】【20xx課標3，文20】在直角坐標系xOy中，曲線與x軸交于A，B兩點，點C的坐標為.當m變化時，解答下列問題： （1）能否出現AC⊥BC的情況？說明理由； （2）證明過A，B，C三點的圓在y軸上截得的弦長為定值. 【答案】（1）不會；（2）詳見解析 【解析】 （1）不能出

9、現AC⊥BC的情況，理由如下： 設, ,則滿足，所以. 又C的坐標為（0，1），故AC的斜率與BC的斜率之積為，所以不能出現AC⊥BC的情況. （2）BC的中點坐標為（），可得BC的中垂線方程為. 由（1）可得，所以AB的中垂線方程為. 聯立又，可得 所以過A、B、C三點的圓的圓心坐標為（），半徑 故圓在y軸上截得的弦長為，即過A、B、C三點的圓在y軸上截得的弦長為定值. 【變式探究】 【20xx高考新課標2文數】圓的圓心到直線的距離為1，則a=（ ） （A） （B） （C） （D）2 【答案】A 【解

10、析】圓的方程可化為，所以圓心坐標為，由點到直線的距離公式得： ，解得，故選A． 【舉一反三】(20xx·廣東，5)平行于直線2x＋y＋1＝0且與圓x2＋y2＝5相切的直線的方程是(　　) A．2x－y＋＝0或2x－y－＝0 B．2x＋y＋＝0或2x＋y－＝0 C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0 D．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0 解析　設所求切線方程為2x＋y＋c＝0，依題有＝，解得c＝±5，所以所求切線的直線方程為2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0，故選D. 答案　D 【變式探究】(20xx·新課標全國Ⅱ，7)過三點A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圓交

11、y軸于M、N兩點，則|MN|＝(　　) A．2 B．8 C．4 D．10 答案　C 【感悟提升】 1．直線與圓的位置關系及切線方程的求解方法 (1)討論直線與圓及圓與圓的位置關系時，要注意數形結合，充分利用圓的幾何性質尋找解題途徑，減少運算量．研究直線與圓的位置關系主要通過圓心到直線的距離和半徑的比較實現，兩個圓的位置關系判斷依據兩個圓心距離與半徑差與和的比較． (2)直線與圓相切時利用“切線與過切點的半徑垂直，圓心到切線的距離等于半徑”建立切線斜率的等式，所以求切線方程時主要選擇點斜式． 2．弦長與切線長的計算方法 (1)弦長的計算：直線l與圓C相交于A，B兩點，

12、則|AB|＝2(其中d為弦心距)． (2)切線長的計算：過點P向圓引切線PA，則|PA|＝(其中C為圓心)． 3．圓上的點到直線的距離的求解策略 (1)轉化為兩平行線間的距離以及直線與圓的交點個數求解． (2)轉化為圓心到直線的距離與半徑之間的關系求解． (3)直接設點，利用方程思想解決． 【變式探究】 (20xx·重慶，8)已知直線l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圓C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的對稱軸，過點A(－4，a)作圓C的一條切線，切點為B，則|AB|＝(　　) A．2 B．4 C．6 D．2 答案　C 【方法技巧】根據圓心到直線的距離與圓的半徑的大

13、小關系，判定直線與圓的位置關系． 【變式探究】(20xx·山東，9)一條光線從點(－2，－3)射出，經y軸反射后與圓(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，則反射光線所在直線的斜率為(　　) A．－或－ B．－或－ C．－或－ D．－或－ 解析　圓(x＋3)2＋(y－2)2＝1的圓心為(－3，2)，半徑r＝1.(－2，－3)關于y軸的對稱點為(2，－3)．如圖所示，反射光線一定過點(2，－3)且斜率k存在，∴反射光線所在直線方程為y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0. ∵反射光線與已知圓相切， ∴＝1，整理得12k2＋25k＋12＝0，解得k＝－或k＝－. 答

14、案　D 題型三、有關圓的最值問題 例3、【20xx高考江蘇卷】 如圖，在平面直角坐標系中，已知以為圓心的圓及其上一點 （1）設圓與軸相切，與圓外切，且圓心在直線上，求圓的標準方程； （2）設平行于的直線與圓相交于兩點，且,求直線的方程； （3）設點滿足：存在圓上的兩點和,使得,求實數的取值范圍。 【答案】（1）（2）（3） 所以，于是圓N的半徑為，從而，解得. 因此，圓N的標準方程為. （2）因為直線l∥OA，所以直線l的斜率為. 設直線l的方程為y=2x+m，即2x-y+m=0， 則圓心M到直線l的距離 因為 而 所以，解得m=5或m=-15.

15、 故直線l的方程為2x-y+5=0或2x-y-15=0. 【舉一反三】(20xx·廣東，20)已知過原點的動直線l與圓C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的兩點A，B. (1)求圓C1的圓心坐標； (2)求線段AB的中點M的軌跡C的方程； (3)是否存在實數k，使得直線L：y＝k(x－4)與曲線C只有一個交點？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由． 【變式探究】(20xx·江西)在平面直角坐標系中，A，B分別是x軸和y軸上的動點，若以AB為直徑的圓C與直線2x＋y－4＝0相切，則圓C面積的最小值為(　　) A.　　　　　　　 　B. C．(6

16、－2)π D. 【命題意圖】結合圖形分析，把問題轉化為拋物線問題，考查了抽象概括能力和推理論證能力，利用點到直線的距離求解半徑和面積，考查運算求解能力． 【審題策略】思路一：根據動點A，B的位置，設A(a,0)，B(0，b)，得到動圓圓心的坐標，計算出半徑r后，根據直線與圓相切的條件列出關于a，b的方程，求目標函數2r＝的最小值，再求圓的面積的最小值． 思路二：根據題意，以線段AB為直徑的圓過原點，即三角形AOB是直角三角形，根據直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，由平面幾何知識，知面積最小的圓的直徑即為原點O到直線2x＋y－4＝0的距離，由點到直線的距離公式計算即可． 【答案】A 【方法總結】 1.涉及直線與圓的位置關系時，應多考慮圓的幾何性質，利用幾何法進行直接求解． 2．在求有關最值問題時，注意建立相關的目標函數或結合圓的幾何性質直接運用平面幾何知識求解．