新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 專(zhuān)題09 直線與圓教學(xué)案高考數(shù)學(xué)文考綱解讀與熱點(diǎn)難點(diǎn)突破 Word版含解析

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1、 【高考考綱解讀】 高考對(duì)本內(nèi)容的考查主要有:直線和圓的方程;兩直線的平行與垂直關(guān)系;點(diǎn)到直線的距離;直線與圓的位置關(guān)系;直線被圓截得的弦長(zhǎng).多為B級(jí)或C級(jí)要求. 【重點(diǎn)、難點(diǎn)剖析】 1.兩直線平行或垂直 (1)兩條直線平行:對(duì)于兩條不重合的直線l1,l2,其斜率分別為k1,k2,則有l(wèi)1∥l2?k1=k2.特別地,當(dāng)直線l1,l2的斜率都不存在且l1與l2不重合時(shí),l1∥l2. (2)兩條直線垂直:對(duì)于兩條直線l1,l2,其斜率分別為k1,k2,則有l(wèi)1⊥l2?k1·k2=-1.特別地,當(dāng)l1,l2中有一條直線的斜率不存在,另一條直線的斜率為零時(shí),l1⊥l2.

2、2.圓的方程 (1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),圓心為(a,b),半徑為r. (2)圓的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),圓心為,半徑為r=;對(duì)于二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓的充要條件是 3.直線方程的5種形式中只有一般式可以表示所有的直線.在利用直線方程的其他形式解題時(shí),一定要注意它們表示直線的局限性.比如,根據(jù)“在兩坐標(biāo)軸上的截距相等”這個(gè)條件設(shè)方程時(shí)一定不要忽略過(guò)原點(diǎn)的特殊情況.而題中給出直線方程的一般式,我們通常先把它轉(zhuǎn)化為斜截式再進(jìn)行處理. 4.處理有關(guān)圓的問(wèn)題,要特別注意圓心、半徑

3、及平面幾何知識(shí)的應(yīng)用,如弦心距、半徑、弦長(zhǎng)的一半構(gòu)成直角三角形經(jīng)常用到,利用圓的一些特殊幾何性質(zhì)解題,往往使問(wèn)題簡(jiǎn)化. 5.直線與圓中常見(jiàn)的最值問(wèn)題 (1)圓外一點(diǎn)與圓上任一點(diǎn)的距離的最值. (2)直線與圓相離,圓上任一點(diǎn)到直線的距離的最值. (3)過(guò)圓內(nèi)一定點(diǎn)的直線被圓截得弦長(zhǎng)的最值. (4)直線與圓相離,過(guò)直線上一點(diǎn)作圓的切線,切線長(zhǎng)的最小值問(wèn)題. (5)兩圓相離,兩圓上點(diǎn)的距離的最值. 【題型示例】 題型1、直線和圓的方程 【例1】 【20xx江蘇,13】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)在圓上,若則點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是 ▲ . 【答案】 【變式探究】【20xx高考

4、新課標(biāo)3文數(shù)】已知直線:與圓交于兩點(diǎn),過(guò)分別做的垂線與軸交于兩點(diǎn),若,則__________________. 【答案】4 【解析】因?yàn)椋覉A的半徑為,所以圓心到直線的距離為,則由,解得,代入直線的方程,得,所以直線的傾斜角為,由平面幾何知識(shí)知在梯形中,. 【舉一反三】 (20xx·江蘇,10)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以點(diǎn)(1,0)為圓心且與直線mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圓中,半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______. 解析 直線mx-y-2m-1=0恒過(guò)定點(diǎn)(2,-1),由題意,得半徑最大的圓的半徑r==. 故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+y2=2. 答案 (

5、x-1)2+y2=2 【變式探究】 (1)已知A,B兩點(diǎn)分別在兩條互相垂直的直線2x-y=0和x+ay=0上,且AB線段的中點(diǎn)為P,則線段AB的長(zhǎng)為(  ) A.11    B.10    C.9    D.8 (2)(20xx·重慶)已知直線ax+y-2=0與圓心為C的圓(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B兩點(diǎn),且△ABC為等邊三角形,則實(shí)數(shù)a=________. 【命題意圖】(1)本題主要考查兩直線的位置關(guān)系及兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用,意在考查考生的運(yùn)算求解能力. (2)本題主要考查圓的方程與點(diǎn)到直線的距離公式,意在考查考生的數(shù)形結(jié)合思想. 【答案】(1)B (2)4±

6、【感悟提升】 (1)要注意幾種直線方程的局限性.點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、斜截式要求直線不能與x軸垂直,而截距式方程不能表示過(guò)原點(diǎn)的直線,也不能表示垂直于坐標(biāo)軸的直線. (2)求解與兩條直線平行或垂直有關(guān)的問(wèn)題時(shí),主要是利用兩條直線平行或垂直的充要條件,即“斜率相等”或“互為負(fù)倒數(shù)”.若出現(xiàn)斜率不存在的情況,可考慮用數(shù)形結(jié)合的方法去研究. 提醒:判斷兩條直線的位置關(guān)系時(shí)要注意兩個(gè)易錯(cuò)點(diǎn):一是忽視直線的斜率不存在的情況,二是忽視兩直線重合的情況. (3)一些含有參數(shù)的直線方程可能出現(xiàn)當(dāng)x,y取定值時(shí)方程對(duì)任意參數(shù)恒成立的情況,這種情況就是直線恒過(guò)定點(diǎn).一般解法是把直線方程整理成關(guān)于參數(shù)的方程,根據(jù)

7、這個(gè)方程對(duì)任意參數(shù)恒成立,得到一個(gè)關(guān)于x,y的方程組,這個(gè)方程組的解就是直線恒過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo). 【變式探究】若一三角形三邊所在的直線方程分別為x+2y-5=0,y-2=0,x+y-4=0,則能夠覆蓋此三角形且面積最小的圓的方程為_(kāi)_______. 【答案】 (x-2)2+2= 【解析】 結(jié)合題意,易得三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別是(1,2),(2,2)和(3,1),作出圖形,即可判斷該三角形為鈍角三角形,而能夠覆蓋鈍角三角形的圓是以鈍角的對(duì)邊(最長(zhǎng)邊)為直徑的圓,而最長(zhǎng)邊的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)分別為(1,2),(3,1),即圓的直徑為,圓心坐標(biāo)為,故其方程為(x-2)2+2=. 【方法技巧】求圓的方程就

8、是要確定圓心坐標(biāo)和半徑,通常用待定系數(shù)法;對(duì)于解析幾何填空題利用其幾何性質(zhì)往往會(huì)起到方便、快捷作用. 【變式探究】已知過(guò)某定圓上的每一點(diǎn)均可以作兩條相互垂直的直線與橢圓+=1的公共點(diǎn)都各只有一個(gè),那么該定圓的方程為_(kāi)_______. 【答案】 x2+y2=25 題型2、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 【例2】【20xx課標(biāo)3,文20】在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線與x軸交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)C的坐標(biāo)為.當(dāng)m變化時(shí),解答下列問(wèn)題: (1)能否出現(xiàn)AC⊥BC的情況?說(shuō)明理由; (2)證明過(guò)A,B,C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為定值. 【答案】(1)不會(huì);(2)詳見(jiàn)解析 【解析】 (1)不能出

9、現(xiàn)AC⊥BC的情況,理由如下: 設(shè), ,則滿足,所以. 又C的坐標(biāo)為(0,1),故AC的斜率與BC的斜率之積為,所以不能出現(xiàn)AC⊥BC的情況. (2)BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為(),可得BC的中垂線方程為. 由(1)可得,所以AB的中垂線方程為. 聯(lián)立又,可得 所以過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)為(),半徑 故圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為,即過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為定值. 【變式探究】 【20xx高考新課標(biāo)2文數(shù)】圓的圓心到直線的距離為1,則a=( ) (A) (B) (C) (D)2 【答案】A 【解

10、析】圓的方程可化為,所以圓心坐標(biāo)為,由點(diǎn)到直線的距離公式得: ,解得,故選A. 【舉一反三】(20xx·廣東,5)平行于直線2x+y+1=0且與圓x2+y2=5相切的直線的方程是(  ) A.2x-y+=0或2x-y-=0 B.2x+y+=0或2x+y-=0 C.2x-y+5=0或2x-y-5=0 D.2x+y+5=0或2x+y-5=0 解析 設(shè)所求切線方程為2x+y+c=0,依題有=,解得c=±5,所以所求切線的直線方程為2x+y+5=0或2x+y-5=0,故選D. 答案 D 【變式探究】(20xx·新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,7)過(guò)三點(diǎn)A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圓交

11、y軸于M、N兩點(diǎn),則|MN|=(  ) A.2 B.8 C.4 D.10 答案 C 【感悟提升】 1.直線與圓的位置關(guān)系及切線方程的求解方法 (1)討論直線與圓及圓與圓的位置關(guān)系時(shí),要注意數(shù)形結(jié)合,充分利用圓的幾何性質(zhì)尋找解題途徑,減少運(yùn)算量.研究直線與圓的位置關(guān)系主要通過(guò)圓心到直線的距離和半徑的比較實(shí)現(xiàn),兩個(gè)圓的位置關(guān)系判斷依據(jù)兩個(gè)圓心距離與半徑差與和的比較. (2)直線與圓相切時(shí)利用“切線與過(guò)切點(diǎn)的半徑垂直,圓心到切線的距離等于半徑”建立切線斜率的等式,所以求切線方程時(shí)主要選擇點(diǎn)斜式. 2.弦長(zhǎng)與切線長(zhǎng)的計(jì)算方法 (1)弦長(zhǎng)的計(jì)算:直線l與圓C相交于A,B兩點(diǎn),

12、則|AB|=2(其中d為弦心距). (2)切線長(zhǎng)的計(jì)算:過(guò)點(diǎn)P向圓引切線PA,則|PA|=(其中C為圓心). 3.圓上的點(diǎn)到直線的距離的求解策略 (1)轉(zhuǎn)化為兩平行線間的距離以及直線與圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)求解. (2)轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離與半徑之間的關(guān)系求解. (3)直接設(shè)點(diǎn),利用方程思想解決. 【變式探究】 (20xx·重慶,8)已知直線l:x+ay-1=0(a∈R)是圓C:x2+y2-4x-2y+1=0的對(duì)稱(chēng)軸,過(guò)點(diǎn)A(-4,a)作圓C的一條切線,切點(diǎn)為B,則|AB|=(  ) A.2 B.4 C.6 D.2 答案 C 【方法技巧】根據(jù)圓心到直線的距離與圓的半徑的大

13、小關(guān)系,判定直線與圓的位置關(guān)系. 【變式探究】(20xx·山東,9)一條光線從點(diǎn)(-2,-3)射出,經(jīng)y軸反射后與圓(x+3)2+(y-2)2=1相切,則反射光線所在直線的斜率為(  ) A.-或- B.-或- C.-或- D.-或- 解析 圓(x+3)2+(y-2)2=1的圓心為(-3,2),半徑r=1.(-2,-3)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(2,-3).如圖所示,反射光線一定過(guò)點(diǎn)(2,-3)且斜率k存在,∴反射光線所在直線方程為y+3=k(x-2),即kx-y-2k-3=0. ∵反射光線與已知圓相切, ∴=1,整理得12k2+25k+12=0,解得k=-或k=-. 答

14、案 D 題型三、有關(guān)圓的最值問(wèn)題 例3、【20xx高考江蘇卷】 如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知以為圓心的圓及其上一點(diǎn) (1)設(shè)圓與軸相切,與圓外切,且圓心在直線上,求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)設(shè)平行于的直線與圓相交于兩點(diǎn),且,求直線的方程; (3)設(shè)點(diǎn)滿足:存在圓上的兩點(diǎn)和,使得,求實(shí)數(shù)的取值范圍。 【答案】(1)(2)(3) 所以,于是圓N的半徑為,從而,解得. 因此,圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為. (2)因?yàn)橹本€l∥OA,所以直線l的斜率為. 設(shè)直線l的方程為y=2x+m,即2x-y+m=0, 則圓心M到直線l的距離 因?yàn)? 而 所以,解得m=5或m=-15.

15、 故直線l的方程為2x-y+5=0或2x-y-15=0. 【舉一反三】(20xx·廣東,20)已知過(guò)原點(diǎn)的動(dòng)直線l與圓C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的兩點(diǎn)A,B. (1)求圓C1的圓心坐標(biāo); (2)求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡C的方程; (3)是否存在實(shí)數(shù)k,使得直線L:y=k(x-4)與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)?若存在,求出k的取值范圍;若不存在,說(shuō)明理由. 【變式探究】(20xx·江西)在平面直角坐標(biāo)系中,A,B分別是x軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn),若以AB為直徑的圓C與直線2x+y-4=0相切,則圓C面積的最小值為(  ) A.         B. C.(6

16、-2)π D. 【命題意圖】結(jié)合圖形分析,把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為拋物線問(wèn)題,考查了抽象概括能力和推理論證能力,利用點(diǎn)到直線的距離求解半徑和面積,考查運(yùn)算求解能力. 【審題策略】思路一:根據(jù)動(dòng)點(diǎn)A,B的位置,設(shè)A(a,0),B(0,b),得到動(dòng)圓圓心的坐標(biāo),計(jì)算出半徑r后,根據(jù)直線與圓相切的條件列出關(guān)于a,b的方程,求目標(biāo)函數(shù)2r=的最小值,再求圓的面積的最小值. 思路二:根據(jù)題意,以線段AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn),即三角形AOB是直角三角形,根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半,由平面幾何知識(shí),知面積最小的圓的直徑即為原點(diǎn)O到直線2x+y-4=0的距離,由點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算即可. 【答案】A 【方法總結(jié)】 1.涉及直線與圓的位置關(guān)系時(shí),應(yīng)多考慮圓的幾何性質(zhì),利用幾何法進(jìn)行直接求解. 2.在求有關(guān)最值問(wèn)題時(shí),注意建立相關(guān)的目標(biāo)函數(shù)或結(jié)合圓的幾何性質(zhì)直接運(yùn)用平面幾何知識(shí)求解.

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