中考數(shù)學試卷分類匯編 等邊三角形

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1、等邊三角形 1、（2013涼山州）如圖，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，則以AC為邊長的正方形ACEF的周長為（　?。? 　 A．14 B．15 C．16 D．17 考點：菱形的性質；等邊三角形的判定與性質；正方形的性質． 分析：根據(jù)菱形得出AB=BC，得出等邊三角形ABC，求出AC，長，根據(jù)正方形的性質得出AF=EF=EC=AC=4，求出即可． 解答：解：∵四邊形ABCD是菱形， ∴AB=BC， ∵∠B=60°， ∴△ABC是等邊三角形， ∴AC=AB=4， ∴正方形ACEF的周長是AC+CE+EF+AF=4×4=16， 故選C． 點評：本題考查了菱形性質，

2、正方形性質，等邊三角形的性質和判定的應用，關鍵是求出AC的長．　 2、（2013?自貢）如圖，將一張邊長為3的正方形紙片按虛線裁剪后，恰好圍成一個底面是正三角形的棱柱，這個棱柱的側面積為（　?。? 　 A． B． 9 C． D． 考點： 剪紙問題；展開圖折疊成幾何體；等邊三角形的性質． 專題： 操作型． 分析： 這個棱柱的側面展開正好是一個長方形，長為3，寬為3減去兩個三角形的高，再用長方形的面積公式計算即可解答． 解答： 解：∵將一張邊長為3的正方形紙片按虛線裁剪后，恰好圍成一個底面是正三角形的棱柱， ∴這個正三角形的底面邊長為1，高為=

3、， ∴側面積為長為3，寬為3﹣的長方形，面積為9﹣3． 故選A． 點評： 此題主要考查了剪紙問題的實際應用，動手操作拼出圖形，并能正確進行計算是解答本題的關鍵． 3、（2013?雅安）如圖，正方形ABCD中，點E、F分別在BC、CD上，△AEF是等邊三角形，連接AC交EF于G，下列結論：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE．其中正確結論有（　?。﹤€． 　 A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 考點： 正方形的性質；全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質． 分析： 通過條件可以得出

4、△ABE≌△ADF而得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，由正方形的性質就可以得出EC=FC，就可以得出AC垂直平分EF，設EC=x，BE=y，由勾股定理就可以得出x與y的關系，表示出BE與EF，利用三角形的面積公式分別表示出S△CEF和2S△ABE再通過比較大小就可以得出結論 解答： 解：∵四邊形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°． ∵△AEF等邊三角形， ∴AE=EF=AF，∠EAF=60°． ∴∠BAE+∠DAF=30°． 在Rt△ABE和Rt△ADF中， ， Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）， ∴BE=DF，①正確．

5、 ∠BAE=∠DAF， ∴∠DAF+∠DAF=30°， 即∠DAF=15°②正確， ∵BC=CD， ∴BC﹣BE=CD﹣DF， 及CE=CF， ∵AE=AF， ∴AC垂直平分EF．③正確． 設EC=x，由勾股定理，得 EF=x，CG=x，AG=x， ∴AC=， ∴AB=， ∴BE=﹣x=， ∴BE+DF=x﹣x≠x，④錯誤， ∵S△CEF=， S△ABE==， ∴2S△ABE==S△CEF，⑤正確． 綜上所述，正確的有4個，故選C． 點評： 本題考查了正方形的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，勾股定理的運用，等邊三角形的性質的運用，三角形的面

6、積公式的運用，解答本題時運用勾股定理的性質解題時關鍵． 4、（2013?十堰）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=3，AD=5，∠C=60°，則下底BC的長為（　?。? 　 A． 8 B． 9 C． 10 D． 11 考點： 等腰梯形的性質；等邊三角形的判定與性質． 分析： 首先構造直角三角形，進而根據(jù)等腰梯形的性質得出∠B=60°，BF=EC，AD=EF=5，求出BF即可． 解答： 解：過點A作AF⊥BC于點F，過點D作DE⊥BC于點E， ∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=3，AD=5，∠C=60°， ∴∠B=60°，BF=EC

7、，AD=EF=5， ∴cos60°===， 解得：BF=1.5， 故EC=1.5， ∴BC=1.5+1.5+5=8． 故選：A． 點評： 此題主要考查了等腰梯形的性質以及解直角三角形等知識，根據(jù)已知得出BF=EC的長是解題關鍵． 　 5、（2013?牡丹江）如圖，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于點M，CN⊥AB于點N，P為BC邊的中點，連接PM，PN，則下列結論：①PM=PN；②；③△PMN為等邊三角形；④當∠ABC=45°時，BN=PC．其中正確的個數(shù)是（　?。? 　 A． 1個 B． 2個 C． 3個 D． 4個 考點： 相似三角形的

8、判定與性質；等邊三角形的判定；直角三角形斜邊上的中線． 分析： 根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可判斷①正確； 先證明△ABM∽△ACN，再根據(jù)相似三角形的對應邊成比例可判斷②正確； 先根據(jù)直角三角形兩銳角互余的性質求出∠ABM=∠ACN=30°，再根據(jù)三角形的內角和定理求出∠BCN+∠CBM=60°，然后根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求出∠BPN+∠CPM=120°，從而得到∠MPN=60°，又由①得PM=PN，根據(jù)有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形可判斷③正確； 當∠ABC=45°時，∠BCN=45°，由P為BC邊的中點，得出BN=PB=PC，判斷

9、④正確． 解答： 解：①∵BM⊥AC于點M，CN⊥AB于點N，P為BC邊的中點， ∴PM=BC，PN=BC， ∴PM=PN，正確； ②在△ABM與△ACN中， ∵∠A=∠A，∠AMB=∠ANC=90°， ∴△ABM∽△ACN， ∴，正確； ③∵∠A=60°，BM⊥AC于點M，CN⊥AB于點N， ∴∠ABM=∠ACN=30°， 在△ABC中，∠BCN+∠CBM═180°﹣60°﹣30°×2=60°， ∵點P是BC的中點，BM⊥AC，CN⊥AB， ∴PM=PN=PB=PC， ∴∠BPN=2∠BCN，∠CPM=2∠CBM， ∴∠BPN+∠CPM=2（∠BCN+∠

10、CBM）=2×60°=120°， ∴∠MPN=60°， ∴△PMN是等邊三角形，正確； ④當∠ABC=45°時，∵CN⊥AB于點N， ∴∠BNC=90°，∠BCN=45°， ∴BN=CN， ∵P為BC邊的中點， ∴PN⊥BC，△BPN為等腰直角三角形 ∴BN=PB=PC，正確． 故選D． 點評： 本題主要考查了直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質，相似三角形、等邊三角形、等腰直角三角形的判定與性質，等腰三角形三線合一的性質，仔細分析圖形并熟練掌握性質是解題的關鍵． 6、(2013?遵義）如圖，將邊長為1cm的等邊三角形ABC沿直線l向右翻動（不

11、滑動），點B從開始到結束，所經(jīng)過路徑的長度為（　　） 　 A． cm B． （2+π）cm C． cm D． 3cm 考點： 弧長的計算；等邊三角形的性質；旋轉的性質． 分析： 通過觀察圖形，可得從開始到結束經(jīng)過兩次翻動，求出點B兩次劃過的弧長，即可得出所經(jīng)過路徑的長度． 解答： 解：∵△ABC是等邊三角形， ∴∠ACB=60°， ∴∠AC（A）=120°， 點B兩次翻動劃過的弧長相等， 則點B經(jīng)過的路徑長=2×=π． 故選C． 點評： 本題考查了弧長的計算，解答本題的關鍵是仔細觀察圖形，得到點B運動的路徑，注意熟練掌握弧長的計算公式．

12、 7、（2013臺灣、23）附圖為正三角形ABC與正方形DEFG的重迭情形，其中D、E兩點分別在AB、BC上，且BD=BE．若AC=18，GF=6，則F點到AC的距離為何？（　?。? 　 A．2 B．3 C．12﹣4 D．6﹣6 考點：正方形的性質；等邊三角形的性質． 分析：過點B作BH⊥AC于H，交GF于K，根據(jù)等邊三角形的性質求出∠A=∠ABC=60°，然后判定△BDE是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質求出∠BDE=60°，然后根據(jù)同位角相等，兩直線平行求出AC∥DE，再根據(jù)正方形的對邊平行得到DE∥GF，從而求出AC∥DE∥GF，再根據(jù)等邊三角形的邊的與高的關系表示出KH，然后

13、根據(jù)平行線間的距離相等即可得解． 解答：解：如圖，過點B作BH⊥AC于H，交GF于K， ∵△ABC是等邊三角形， ∴∠A=∠ABC=60°， ∵BD=BE， ∴△BDE是等邊三角形， ∴∠BDE=60°， ∴∠A=∠BDE， ∴AC∥DE， ∵四邊形DEFG是正方形，GF=6， ∴DE∥GF， ∴AC∥DE∥GF， ∴KH=18×﹣6×﹣6=9﹣3﹣6=6﹣6， ∴F點到AC的距離為6﹣6． 故選D． 點評：本題考查了正方形的對邊平行，四條邊都相等的性質，等邊三角形的判定與性質，等邊三角形的高線等于邊長的倍，以及平行線間的距離相等的性質，綜合題，但難度不大，熟

14、記各圖形的性質是解題的關鍵．　 8、（2013菏澤）我們規(guī)定：將一個平面圖形分成面積相等的兩部分的直線叫做該平面圖形的“面線”，“面線”被這個平面圖形截得的線段叫做該圖形的“面徑”（例如圓的直徑就是它的“面徑”）．已知等邊三角形的邊長為2，則它的“面徑”長可以是　，（或介于和之間的任意兩個實數(shù)）　（寫出1個即可）． 考點：等邊三角形的性質． 專題：新定義；開放型． 分析：根據(jù)等邊三角形的性質， （1）最長的面徑是等邊三角形的高線； （2）最短的面徑平行于三角形一邊，最長的面徑為等邊三角形的高，然后根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方求出最短面徑． 解答：解：如圖， （1）

15、等邊三角形的高AD是最長的面徑， AD=×2=； （2）當EF∥BC時，EF為最短面徑， 此時，（）2=， 即=， 解得EF=． 所以，它的面徑長可以是，（或介于和之間的任意兩個實數(shù)）． 故答案為：，（或介于和之間的任意兩個實數(shù)）． 點評：本題考查了等邊三角形的性質，讀懂題意，弄明白面徑的定義，并準確判斷出等邊三角形的最短與最長的面徑是解題的關鍵．　 9、（2013?鐵嶺）如圖，在△ABC中，AB=2，BC=3.6，∠B=60°，將△ABC繞點A按順時針旋轉一定角度得到△ADE，當點B的對應點D恰好落在BC邊上時，則CD的長為　1.6?。? 考點： 旋轉的性

16、質． 分析： 由將△ABC繞點A按順時針旋轉一定角度得到△ADE，當點B的對應點D恰好落在BC邊上，可得AD=AB，又由∠B=60°，可證得△ABD是等邊三角形，繼而可得BD=AB=2，則可求得答案． 解答： 解：由旋轉的性質可得：AD=AB， ∵∠B=60°， ∴△ABD是等邊三角形， ∴BD=AB， ∵AB=2，BC=3.6， ∴CD=BC﹣BD=3.6﹣2=1.6． 故答案為：1.6． 點評： 此題考查了旋轉的性質以及等邊三角形的判定與性質．此題比較簡單，注意掌握旋轉前后圖形的對應關系，注意數(shù)形結合思想的應用． 　 10、（2013?宜昌）如圖，點E，F(xiàn)分別是

17、銳角∠A兩邊上的點，AE=AF，分別以點E，F(xiàn)為圓心，以AE的長為半徑畫弧，兩弧相交于點D，連接DE，DF． （1）請你判斷所畫四邊形的性狀，并說明理由； （2）連接EF，若AE=8厘米，∠A=60°，求線段EF的長． 考點： 菱形的判定與性質；等邊三角形的判定與性質． 分析： （1）由AE=AF=ED=DF，根據(jù)四條邊都相等的四邊形是菱形，即可證得：四邊形AEDF是菱形； （2）首先連接EF，由AE=AF，∠A=60°，可證得△EAF是等邊三角形，則可求得線段EF的長． 解答： 解：（1）菱形． 理由：∵根據(jù)題意得：AE=AF=ED=DF， ∴四邊形AEDF是菱

18、形； （2）連接EF， ∵AE=AF，∠A=60°， ∴△EAF是等邊三角形， ∴EF=AE=8厘米． 點評： 此題考查了菱形的判定與性質以及等邊三角形的判定與性質．此題比較簡單，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結合思想的應用． 11、（2013?天津）如圖，在邊長為9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，則AE的長為　7?。? 考點： 相似三角形的判定與性質；等邊三角形的性質． 分析： 先根據(jù)邊長為9，BD=3，求出CD的長度，然后根據(jù)∠ADE=60°和等邊三角形的性質，證明△ABD∽△DCE，進而根據(jù)相似三角形的對應邊成比例，求得CE的長度，

19、即可求出AE的長度． 解答： 解：∵△ABC是等邊三角形， ∴∠B=∠C=60°，AB=BC； ∴CD=BC﹣BD=9﹣3=6； ∴∠BAD+∠ADB=120° ∵∠ADE=60°， ∴∠ADB+∠EDC=120°， ∴∠DAB=∠EDC， 又∵∠B=∠C=60°， ∴△ABD∽△DCE， 則=， 即=， 解得：CE=2， 故AE=AC﹣CE=9﹣2=7． 故答案為：7． 點評： 此題主要考查了相似三角形的判定和性質以及等邊三角形的性質，根據(jù)等邊三角形的性質證得△ABD∽△DCE是解答此題的關鍵． 12、（2013聊城）如圖，在等邊△ABC中，AB=6，

20、D是BC的中點，將△ABD繞點A旋轉后得到△ACE，那么線段DE的長度為 ． 考點：旋轉的性質；等邊三角形的判定與性質． 分析：首先，利用等邊三角形的性質求得AD=3；然后根據(jù)旋轉的性質、等邊三角形的性質推知△ADE為等邊三角形，則DE=AD． 解答：解：如圖，∵在等邊△ABC中，∠B=60°，AB=6，D是BC的中點， ∴AD⊥BD，∠BAD=∠CAD=30°， ∴AD=ABcos30°=6×=3． 根據(jù)旋轉的性質知，∠EAC=∠DAB=30°，AD=AE， ∴∠DAE=∠EAC+∠BAD=60°， ∴△ADE的等邊三角形， ∴DE=AD=3，即線段DE的長

21、度為3． 故答案是：3． 點評：本題考查了旋轉的性質、等邊三角形的性質．旋轉的性質：旋轉前后的兩個圖形全等，對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角，對應點到旋轉中心的距離相等．　 13、（2013? 德州）如圖，在正方形ABCD中，邊長為2的等邊三角形AEF的頂點E、F分別在BC和CD上，下列結論： ①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+． 其中正確的序號是?、佗冖堋。ò涯阏J為正確的都填上）． 考點： 正方形的性質；全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質． 分析： 根據(jù)三角形的全等的知識可以判斷①的正誤；根據(jù)角角之間的數(shù)量關

22、系，以及三角形內角和為180°判斷②的正誤；根據(jù)線段垂直平分線的知識可以判斷③的正確，利用解三角形求正方形的面積等知識可以判斷④的正誤． 解答： 解：∵四邊形ABCD是正方形， ∴AB=AD， ∵△AEF是等邊三角形， ∴AE=AF， ∵在Rt△ABE和Rt△ADF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）， ∴BE=DF， ∵BC=DC， ∴BC﹣BE=CD﹣DF， ∴CE=CF， ∴①說法正確； ∵CE=CF， ∴△ECF是等腰直角三角形， ∴∠CEF=45°， ∵∠AEF=60°， ∴∠AEB=75°， ∴②說法正確； 如圖，連接AC，交EF于

23、G點， ∴AC⊥EF，且AC平分EF， ∵∠CAD≠∠DAF， ∴DF≠FG， ∴BE+DF≠EF， ∴③說法錯誤； ∵EF=2， ∴CE=CF=， 設正方形的邊長為a， 在Rt△ADF中， a2+（a﹣）2=4， 解得a=， 則a2=2+， S正方形ABCD=2+， ④說法正確， 故答案為①②④． 點評： 本題主要考查正方形的性質的知識點，解答本題的關鍵是熟練掌握全等三角形的證明以及輔助線的正確作法，此題難度不大，但是有一點麻煩． 14、（2013?黃岡）已知△ABC為等邊三角形，BD為中線，延長BC至E，使CE=CD=1，連接DE，則DE=　?。?/p>

24、 考點： 等邊三角形的性質；等腰三角形的判定與性質．3481324 分析： 根據(jù)等腰三角形和三角形外角性質求出BD=DE，求出BC，在Rt△△BDC中，由勾股定理求出BD即可． 解答： 解：∵△ABC為等邊三角形， ∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC， ∵BD為中線， ∴∠DBC=∠ABC=30°， ∵CD=CE， ∴∠E=∠CDE， ∵∠E+∠CDE=∠ACB， ∴∠E=30°=∠DBC， ∴BD=DE， ∵BD是AC中線，CD=1， ∴AD=DC=1， ∵△ABC是等邊三角形， ∴BC=AC=1+1=2，BD⊥AC， 在Rt△△BDC中，

25、由勾股定理得：BD==， 即DE=BD=， 故答案為：． 點評： 本題考查了等邊三角形性質，勾股定理，等腰三角形性質，三角形的外角性質等知識點的應用，關鍵是求出DE=BD和求出BD的長． 15、（2013?黔西南州）如圖，已知△ABC是等邊三角形，點B、C、D、E在同一直線上，且CG=CD，DF=DE，則∠E=　15　度． 考點： 等邊三角形的性質；三角形的外角性質；等腰三角形的性質． 分析： 根據(jù)等邊三角形三個角相等，可知∠ACB=60°，根據(jù)等腰三角形底角相等即可得出∠E的度數(shù)． 解答： 解：∵△ABC是等邊三角形， ∴∠ACB=60°，∠ACD=120

26、°， ∵CG=CD， ∴∠CDG=30°，∠FDE=150°， ∵DF=DE， ∴∠E=15°． 故答案為：15． 點評： 本題考查了等邊三角形的性質，互補兩角和為180°以及等腰三角形的性質，難度適中． 16、(2013年廣東湛江)如圖，所有正三角形的一邊平行于軸，一頂點在軸上．從內到外，它們的邊長依次為，頂點依次用表示，其中與軸、底邊與、與、均相距一個單位，則頂點的坐標是 ，的坐標是 ． 解析：考查正三角形的相關知識及找規(guī)律的能力。由圖知，的縱坐標為： ，，而的橫坐標為：，由題意知，的縱坐標為，，容易發(fā)現(xiàn)、、、、、這些點在第四象限，

27、橫縱坐標互為相反數(shù)， 、、、、、的下標2、5、7、、92、有規(guī)律：，是第31個正三角形（從里往外）的右端點， 17、（2013福省福州19）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（﹣2，0），等邊三角形AOC經(jīng)過平移或軸對稱或旋轉都可以得到△OBD． （1）△AOC沿x軸向右平移得到△OBD，則平移的距離是 個單位長度；△AOC與△BOD關于直線對稱，則對稱軸是 ；△AOC繞原點O順時針旋轉得到△DOB，則旋轉角度可以是 度； （2）連結AD，交OC于點E，求∠AEO的度數(shù)． 考點：旋轉的性質；等邊三角形的性質；軸對稱的性質；平移

28、的性質． 專題：計算題． 分析：（1）由點A的坐標為（﹣2，0），根據(jù)平移的性質得到△AOC沿x軸向右平移2個單位得到△OBD，則△AOC與△BOD關于y軸對稱；根據(jù)等邊三角形的性質得∠AOC=∠BOD=60°，則∠AOD=120°，根據(jù)旋轉的定義得△AOC繞原點O順時針旋轉120°得到△DOB； （2）根據(jù)旋轉的性質得到OA=OD，而∠AOC=∠BOD=60°，得到∠DOC=60°，所以OE為等腰△AOD的頂角的平分線，根據(jù)等腰三角形的性質得到OE垂直平分AD，則∠AEO=90°． 解答：解：（1）∵點A的坐標為（﹣2，0）， ∴△AOC沿x軸向右平移2個單位得到△OBD； ∴△

29、AOC與△BOD關于y軸對稱； ∵△AOC為等邊三角形， ∴∠AOC=∠BOD=60°， ∴∠AOD=120°， ∴△AOC繞原點O順時針旋轉120°得到△DOB． （2）如圖，∵等邊△AOC繞原點O順時針旋轉120°得到△DOB， ∴OA=OD， ∵∠AOC=∠BOD=60°， ∴∠DOC=60°， 即OE為等腰△AOD的頂角的平分線， ∴OE垂直平分AD， ∴∠AEO=90°． 故答案為2；y軸；120． 點評：本題考查了旋轉的性質：旋轉前后兩圖形全等；對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角．也考查了等邊三角形的性質、軸對稱的性質

30、以及平移的性質．　 18、（2013?湖州）如圖，已知P是⊙O外一點，PO交圓O于點C，OC=CP=2，弦AB⊥OC，劣弧AB的度數(shù)為120°，連接PB． （1）求BC的長； （2）求證：PB是⊙O的切線． 考點： 切線的判定；等邊三角形的判定與性質；垂徑定理． 分析： （1）首先連接OB，由弦AB⊥OC，劣弧AB的度數(shù)為120°，易證得△OBC是等邊三角形，則可求得BC的長； （2）由OC=CP=2，△OBC是等邊三角形，可求得BC=CP，即可得∠P=∠CBP，又由等邊三角形的性質，∠OBC=60°，∠CBP=30°，則可證得OB⊥BP，繼而證得PB是⊙O的切線．

31、解答： （1）解：連接OB， ∵弦AB⊥OC，劣弧AB的度數(shù)為120°， ∴弧BC與弧AC的度數(shù)為：60°， ∴∠BOC=60°， ∵OB=OC， ∴△OBC是等邊三角形， ∴BC=OC=2； （2）證明：∵OC=CP，BC=OC， ∴BC=CP， ∴∠CBP=∠CPB， ∵△OBC是等邊三角形， ∴∠OBC=∠OCB=60°， ∴∠CBP=30°， ∴∠OBP=∠CBP+∠OBC=90°， ∴OB⊥BP， ∵點B在⊙O上， ∴PB是⊙O的切線． 點評： 此題考查了切線的判定、等邊三角形的判定與性質以及等腰三角形的性質．此題難度適中，注意掌握輔助線

32、的作法，注意數(shù)形結合思想的應用． 19、（2013?萊蕪）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC為一邊向外作等邊三角形ACD，點E為AB的中點，連結DE． （1）證明DE∥CB； （2）探索AC與AB滿足怎樣的數(shù)量關系時，四邊形DCBE是平行四邊形． 考點： 平行四邊形的判定；全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質． 分析： （1）首先連接CE，根據(jù)直角三角形的性質可得CE=AB=AE，再根據(jù)等邊三角形的性質可得AD=CD，然后證明△ADE≌△CDE，進而得到∠ADE=∠CDE=30°，再有∠DCB=150°可證明DE∥CB； （2）當AC=或AB=2AC時，四

33、邊形DCBE是平行四邊形．若四邊形DCBE是平行四邊形，則DC∥BE，∠DCB+∠B=180°進而得到∠B=30°，再根據(jù)三角函數(shù)可推出AC=或AB=2AC． 解答： （1）證明：連結CE． ∵點E為Rt△ACB的斜邊AB的中點， ∴CE=AB=AE． ∵△ACD是等邊三角形， ∴AD=CD． 在△ADE與△CDE中，， ∴△ADE≌△CDE（SSS）， ∴∠ADE=∠CDE=30°． ∵∠DCB=150°， ∴∠EDC+∠DCB=180°． ∴DE∥CB． （2）解：∵∠DCB=150°，若四邊形DCBE是平行四邊形，則DC∥BE，∠DCB+∠B=180°．

34、∴∠B=30°． 在Rt△ACB中，sinB=，sin30°=，AC=或AB=2AC． ∴當AC=或AB=2AC時，四邊形DCBE是平行四邊形． 點評： 此題主要考查了平行線的判定、全等三角形的判定與性質，以及平行四邊形的判定，關鍵是掌握直角三角形的性質，以及等邊三角形的性質． 20、（2013?衢州）【提出問題】 （1）如圖1，在等邊△ABC中，點M是BC上的任意一點（不含端點B、C），連結AM，以AM為邊作等邊△AMN，連結CN．求證：∠ABC=∠ACN． 【類比探究】 （2）如圖2，在等邊△ABC中，點M是BC延長線上的任意一點（不含端點C），其它條件不變，（1）中結

35、論∠ABC=∠ACN還成立嗎？請說明理由． 【拓展延伸】 （3）如圖3，在等腰△ABC中，BA=BC，點M是BC上的任意一點（不含端點B、C），連結AM，以AM為邊作等腰△AMN，使頂角∠AMN=∠ABC．連結CN．試探究∠ABC與∠ACN的數(shù)量關系，并說明理由． 考點： 相似三角形的判定與性質；全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質． 分析： （1）利用SAS可證明△BAM≌△CAN，繼而得出結論； （2）也可以通過證明△BAM≌△CAN，得出結論，和（1）的思路完全一樣． （3）首先得出∠BAC=∠MAN，從而判定△ABC∽△AMN，得到=，根據(jù)∠BAM=∠BAC

36、﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，得到∠BAM=∠CAN，從而判定△BAM∽△CAN，得出結論． 解答： （1）證明：∵△ABC、△AMN是等邊三角形， ∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°， ∴∠BAM=∠CAN， ∵在△BAM和△CAN中， ∴△BAM≌△CAN（SAS）， ∴∠ABC=∠ACN． （2）解：結論∠ABC=∠ACN仍成立． 理由如下：∵△ABC、△AMN是等邊三角形， ∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°， ∴∠BAM=∠CAN， ∵在△BAM和△CAN中， ∴△BAM≌△CAN（SAS）， ∴∠ABC=∠ACN． （3）解：∠ABC=∠ACN． 理由如下：∵BA=BC，MA=MN，頂角∠ABC=∠AMN， ∴底角∠BAC=∠MAN， ∴△ABC∽△AMN， ∴=， 又∵∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC， ∴∠BAM=∠CAN， ∴△BAM∽△CAN， ∴∠ABC=∠ACN． 點評： 本題考查了相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質，解答本題的關鍵是仔細觀察圖形，找到全等（相似）的條件，利用全等（相似）的性質證明結論． 24 學習是一件快樂的事情，大家下載后可以自行修改