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2、 1
正弦定理和余弦定理
一、選擇題 [來源:Z*xx*k.Com]
1.（20xx·湖南高考理科·Ｔ7）在△ABC中，AB=2，AC=3，·=1，則
BC=（ ）
(A) (B) (C) (D)
【解題指南】利用向量的數(shù)量積計(jì)算公式，和余弦定理組成方程解出BC的值.
2.（20xx·湖南高考文科·Ｔ8）在△A
3、BC中，AC=，BC=2，B =60°，則BC邊上的高等于（ ）
(A) (B) (C) (D)
【解析】選B.
設(shè)，BC邊上的高為h.由余弦定理得，
即 ，即
又h=c·sin60°=3×故選B.
3.（20xx·廣東高考文科·Ｔ6）在△ABC中，若=60°, ∠B=45°，BC=3，則AC=（ ）
(A)4 (B)2 (C) (D)
【解題指南】已知兩角一邊解三角形，顯然適合采用正弦定理，但在由正弦值求角時(shí)，要注意解的個(gè)數(shù)的判斷.
【解析】選B.
在△ABC中
4、,由正弦定理知
4.（20xx·湖北高考文科·Ｔ8）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若三邊的長(zhǎng)為連續(xù)的三個(gè)正整數(shù)，且A＞B＞C，3b=20acos A，則sin A∶
sin B∶sin C為（ ）
(A)4∶3∶2 (B)5∶6∶7 (C)5∶4∶3 (D)6∶5∶4
【解題指南】本題考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用,解答本題的關(guān)鍵是把邊a,c均用b表示出來,再利用余弦定理把已知化簡(jiǎn)求值.
【解析】選D.由題意知： a=b+1,c=b-1, 3b=20a=20(b+1)= 20(b+1)· ,整理得：，解之得b=5或b=,可知：a=6
5、,c=4.結(jié)合正弦定理可知答案.
二、填空題
5.（20xx·湖北高考理科·Ｔ11）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.若（a+b-c）（a+b+c）=ab，則角C=______________.
【解題指南】本題考查余弦定理,把已知條件展開整理可得結(jié)果.
【解析】 由（a+b-c）（a+b+c）=ab,可知.又,所以C=°.
【答案】°
6.（20xx·福建高考文科·Ｔ13）在△ABC中，已知∠BAC=60°，∠ABC=45°，BC=，則AC=_______．
【解題指南】本題知兩角一對(duì)邊，選用正弦定理求另一對(duì)邊．
【解析】由正弦定理，得，即[來源:學(xué),科,
6、網(wǎng)Z,X,X,K]
【答案】
7.（20xx·安徽高考理科·Ｔ15）設(shè)△ABC的內(nèi)角所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為，則下列命題正確的是（寫出所有正確命題的編號(hào)）.
①若，則； ②若，則；
③若，則； ④若，則；
⑤若，則.
【解析】①；
②；
③當(dāng)時(shí)，與矛盾；
④取滿足，卻只能；
⑤取滿足，且cos C= .
【答案】①②③
8.（20xx·陜西高考文科·Ｔ13）在△ABC中，角A,B,C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為，b，c.若，B=，c=2，則b= .
【解
7、題指南】已知兩邊及其夾角，用余弦定理可求第三邊.
【解析】由余弦定理得：，∴.
【答案】2
9.（20xx·北京高考理科·Ｔ11）在△ABC中，若a=2，b+c=7,，
則b= .
【解題指南】對(duì)角B利用余弦定理列式求解.
【解析】 .
由余弦定理得，即，解得.
【答案】4
10.（20xx·北京高考文科·Ｔ11）在△ABC中，若a=3，b=，則的大小為_________.
【解題指南】利用正弦定理求出∠B，再利用內(nèi)角和定理求出∠C.
【解析】在△ABC中，由正弦定理得，.
【答案】
三、解答題
11.（20xx·江蘇高考·Ｔ15）在△ABC
8、中，已知．
（1）求證：．
（2）若求A的值．
【解題指南】（1）注意數(shù)量積公式的應(yīng)用和正弦定理的利用（邊角轉(zhuǎn)化）．
（2）先利用求出，再利用兩角和的正切公式構(gòu)造與有關(guān)的方程.
【解析】（1）由得，
即為，
，由正弦定理得，
兩邊同除得.
（2）因所以C為銳角，所以，
由（1），且，
得，
即，
即，
所以或.
因，由內(nèi)角和為知兩角均為銳角，故應(yīng)舍去.
所以，所以A.[來源:學(xué)?？?。網(wǎng)Z。X。X。K]
12.（20xx·浙江高考理科·Ｔ18）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知cos A=，sin B=C.
（1）求tan C的值.
（
9、2）若a=，求△ABC的面積.
【解題指南】解三角形問題，主要考查正、余弦定理，三角恒等變換的方法，注意邊角之間的互化.
【解析】（1）由cos A=，可得sin A=，
由sin B= C，可得sin（A+C）= C，
即，
等號(hào)兩邊同除以,可得
，即.
（2）由,可得,
∴，解得,
而sin B=
∴S△ABC
13.（20xx·浙江高考文科·Ｔ18）在△ABC中，內(nèi)角A,B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且bsin A=acos B.
（1）求角B的大小.
（2）若b=3，sin C=2sin A，求a，c的值.
【解題指南】考查三角形中的正、余弦定理的應(yīng)用，注
10、意其中的邊角間的互化.
【解析】（1）由bsin A=acos B可得sin Bsin A=sin Acos B，
又sin A，可得，所以.
（2）由sin C=2sin A可得，
在△ABC中，c2c，解得，
所以.
14.（20xx·安徽高考文科·Ｔ16）
設(shè)△的內(nèi)角所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為且有
.
（1）求角A的大小.
（2) 若，，為的中點(diǎn)，求的長(zhǎng).
【解題指南】（1）將代入化簡(jiǎn)得到，從而求出.（2）根據(jù)余弦定理即可求出.
【解析】（1）∵,∴，
∴，[來源:Z.xx.k.Com]
（2）由余弦定理得
在Rt△ABD中，.
15.（20xx·遼寧高考理科·
11、T17）與（20xx·遼寧高考文科·T17）相同
在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，角A，B，C成等差數(shù)列.
(1)求的值.
(2)邊a，b，c成等比數(shù)列，求的值.
【解題指南】（1）結(jié)合等差數(shù)列定義和三角形內(nèi)角和定理，求得角B.
（2）利用等比數(shù)列的定義，結(jié)合正弦定理，將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，借助（1）的結(jié)論，解決問題.
【解析】（1）由已知三角形的內(nèi)角和定理，解得，
所以.
（2）由已知，據(jù)正弦定理，設(shè)，
則，代入得，
即.
16.（20xx·天津高考文科·Ｔ16）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a,b,c.已知a=2,c=,c
12、os A=.
（1）求sin C和b的值.
（2）求cos（2A+）的值.
【解題指南】（1）根據(jù)正、余弦定理求解.
（2）利用三角函數(shù)的兩角和、倍角公式化簡(jiǎn)計(jì)算.
【解析】（1）在中，由
又由.
，故解得，所以.
17.（20xx·江西高考理科·Ｔ17）在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，
（1）求證：.
（2）若，求△ABC的面積.
【解題指南】（1）選擇將已知條件邊化角，得出.
（2）由（1）中結(jié)論及，求出其他的邊和角，然后選擇合適的面積公式，求出△ABC的面積.
【解析】
（1） 由，應(yīng)用正弦定理，得
，
，
整理得
13、 ，
即 ，
由于，從而.
（2） ，因此，
由得
所以△ABC的面積
18.（20xx·江西高考文科·Ｔ16）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知3cos(B-C)-1=6cos Bcos C.
（1）求cos A.
（2）若a=3，△ABC的面積為，求b，c.
【解題指南】（1）將已知條件3cos（B-C）-1=6cos Bcos C化簡(jiǎn)，先求得，再求得.
（2）結(jié)合余弦定理，選擇合適的△ABC的面積公式，建立關(guān)于b，c的方程組，解得的值.
【解析】(1)
則.
(2) 由（1）得,由面積可得bc=6 ①，則根據(jù)余弦定理
,則=13 ②，①②兩式聯(lián)立可得b=2，c=3或b=3，c=2.
19.（20xx·新課標(biāo)全國(guó)高考理科·T17）已知分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，.
（1）求. （2）若，△ABC的面積為，求.
【解題指南】（1）選擇將已知條件邊化角，求出角A.[來源:學(xué),科,網(wǎng)]
（2）結(jié)合角A的值，選擇合適的△ABC的面積公式，建立關(guān)于的方程組，解得的值.
【解析】（1）由正弦定理得：
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