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1、新編高考數(shù)學復習資料
學案26 平面向量的數(shù)量積及其應用
導學目標： 1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.2.了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關系.3.掌握數(shù)量積的坐標表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算.4.能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系.5.會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題.6.會用向量方法解決簡單的力學問題與其他一些實際問題．
自主梳理
1．向量的夾角
(1)已知兩個非零向量a和b，作＝a，＝b，則∠AOB＝θ叫做向量a與b的________．
(2)向量夾角θ的范圍是________________，a與b同向時，夾角
2、θ＝______；a與b反向時，夾角θ＝______.
(3)如果向量a與b的夾角是________，我們說a與b垂直，記作________．
2．向量數(shù)量積的定義
(1)向量數(shù)量積的定義：______________________，其中|a|cos〈a，b〉叫做向量a在b方向上的投影．
(2)向量數(shù)量積的性質：
①如果e是單位向量，則a·e＝e·a＝______________；
②非零向量a，b，a⊥b?________；
③a·a＝________或|a|＝________；
④cos〈a，b〉＝______________；
⑤|a·b|____|a||b|.
3
3、．向量數(shù)量積的運算律
(1)交換律：a·b＝________；
(2)分配律：(a＋b)·c＝________________；
(3)數(shù)乘向量結合律：(λa)·b＝a·(λb)＝____________＝λa·b.
4．向量數(shù)量積的坐標運算與度量公式
(1)兩個向量的數(shù)量積等于它們對應坐標乘積的和，即若a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，則a·b＝____________；
(2)設a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，則a⊥b?____________；
(3)設向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，則|a|＝________________，
cos〈a，b〉
4、＝_______________.
(4)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝________________，所以||＝_____________.
自我檢測
1．(2010·湖南改編)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，則·＝________.
2．(2010·重慶改編)已知向量a，b滿足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，則|2a－b|＝________.
3．已知a＝(1,0)，b＝(1,1)，(a＋λb)⊥b，則λ＝________.
4．平面上有三個點A(－2，y)，B，C(x，y)，若⊥，則動點C的軌跡方程為________________．
5．(20
5、09·天津)若等邊△ABC的邊長為2，平面內一點M滿足＝＋，則·＝________.
探究點一 向量的模及夾角問題
例1 已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)(2a＋b)＝61.
(1)求a與b的夾角θ；(2)求|a＋b|；
(3)若＝a，＝b，求△ABC的面積．
變式遷移1 (1)已知a，b是平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量c滿足(a－c)·(b－c)＝0，則|c|的最大值為________．
(2)已知i，j為互相垂直的單位向量，a＝i－2j，b＝i＋λj，且a與b的夾角為銳角，則實數(shù)λ的取值范圍為____
6、____．
探究點二 兩向量的平行與垂直問題
例2 已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且ka＋b的長度是a－kb的長度的倍(k>0)．
(1)求證：a＋b與a－b垂直；
(2)用k表示a·b；
(3)求a·b的最小值以及此時a與b的夾角θ.
變式遷移2 (2009·江蘇)設向量a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)，c＝(cos β，－4sin β)．
(1)若a與b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；
(2)求|b＋c|的最大值；
(3)若tan αtan β＝16，求證：a∥b.
7、
探究點三 向量與三角函數(shù)的綜合應用
例3 已知向量a＝，
b＝，且x∈.
(1)求a·b及|a＋b|；
(2)若f(x)＝a·b－|a＋b|，求f(x)的最大值和最小值．
變式遷移3 在三角形ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且2sin2＋cos 2C＝1.
(1)求角C的大?。?
(2)若向量m＝(3a，b)，向量n＝，m⊥n，(m＋n)·(－m＋n)＝－16.求a、b、c的值．
1．一些常見的錯誤結論：
(1)若|a|＝|b|，則a＝b；(2)若a2＝b2，則a＝b；(3)若a∥b，b∥c，則a∥c；(4)若a·b＝0，
8、則a＝0或b＝0；
(5)|a·b|＝|a|·|b|；(6)(a·b)c＝a(b·c)；(7)若a·b＝a·c，則b＝c.以上結論都是錯誤的，應用時要注意．
2．證明直線平行、垂直、線段相等等問題的基本方法有：
(1)要證AB＝CD，可轉化證明2＝2或||＝||.
(2)要證兩線段AB∥CD，只要證存在唯一實數(shù)λ≠0，使等式＝λ成立即可．
(3)要證兩線段AB⊥CD，只需證·＝0.
(滿分：90分)
一、填空題(每小題6分，共48分)
1．已知非零向量a，b，若|a|＝|b|＝1，且a⊥b，又知(2a＋3b)⊥(ka－4b)，則實數(shù)k的值為________．
2．已知△ABC
9、中，＝a，＝b，a·b<0，S△ABC＝，|a|＝3，|b|＝5，則∠BAC＝________.
3．(2010·湖南改編)若非零向量a，b滿足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，則a與b的夾角為________．
4．(2010·英才苑高考預測)已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，則a在b上的投影為________．
5．(2011·南京月考)設a＝(cos 2α，sin α)，b＝(1，2sin α－1)，α∈，若a·b＝，則sin α＝________.
6．(2010·廣東金山中學高三第二次月考)若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，則向量a與b的夾角為_____
10、___．
7．已知點A、B、C滿足||＝3，||＝4，||＝5，則·＋·＋·的值是________．
8．已知向量m＝(1,1)，向量n與向量m夾角為，且m·n＝－1，則向量n＝__________________.
二、解答題(共42分)
9．(12分)已知O為坐標原點且＝(2,5)，＝(3,1)，＝(6,3)，在線段OC上是否存在點M，使⊥，若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．
10．(14分)已知向量a＝(cos(－θ)，sin(－θ))，b＝(cos，sin)．
(1)求證：a⊥b；
(2)若存在不等于0的實數(shù)k和t，使x＝a＋(t2＋3)b，y＝－
11、ka＋tb，滿足x⊥y，試求此時的最小值．
11．(16分)(2010·濟南三模)已知a＝(1,2sin x)，b＝，函數(shù)f(x)＝a·b (x∈R)．
(1)求函數(shù)f(x)的單調遞減區(qū)間；
(2)若f(x)＝，求cos的值．
答案 自主梳理
1．(1)夾角 (2)[0，π] 0 π (3) a⊥b 2.(1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉 (2)①|a|cos〈a，e〉?、赼·b＝0 ③|a|2 ?、堋、荨堋?.(1)b·a (2)a·c＋b·c (3)λ(a·b) 4.(1)a1b1＋a2b2 (2)a1b1＋a2b2＝0 (3) (4)(x
12、2－x1，y2－y1)
自我檢測
1．16
解析 因為∠C＝90°，所以·＝0，
所以·＝(＋)·＝()2＋·＝16.
2．2
解析 |2a－b|＝
＝＝＝2.
3．－
解析 由(a＋λb)·b＝0得a·b＋λ|b|2＝0，
∴1＋2λ＝0，∴λ＝－.
4．y2＝8x(x≠0)
解析 由題意得＝，
＝，又⊥，∴·＝0，
即·＝0，化簡得y2＝8x(x≠0)．
5．－2
解析 合理建立直角坐標系，因為三角形是正三角形，故設C(0,0)，A(2，0)，B(，3)，這樣利用向量關系式，求得
M，然后求得＝，＝，所以·＝－2.
課堂活動區(qū)
例1 解 (1)
13、∵(2a－3b)(2a＋b)＝61，
∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.
又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，∴a·b＝－6.
∴cos θ＝＝＝－.
又0≤θ≤π，∴θ＝.
(2)|a＋b|＝＝
＝＝.
(3)∵與的夾角θ＝，
∴∠ABC＝π－＝.
又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3，
∴S△ABC＝||||sin∠ABC＝×4×3×＝3.
變式遷移1 (1) (2)λ<且λ≠－2
解析 (1)∵|a|＝|b|＝1，a·b＝0，
展開(a－c)·(b－c)＝0?|c|2＝c·(a＋b)
＝|c|·|a＋b|cos θ，∴|c|＝|a＋
14、b|cos θ＝cos θ，
∴|c|的最大值是.
(2)∵〈a，b〉∈(0，)，∴a·b>0且a·b不同向．
即|i|2－2λ|j|2>0，∴λ<.
當a·b同向時，由a＝λb(λ>0)得λ＝－2.
∴λ<且λ≠－2.
例2 解題導引 1.非零向量a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.
2．當向量a與b是非坐標形式時，要把a、b用已知的不共線的向量表示．但要注意運算技巧，有時把向量都用坐標表示，并不一定都能夠簡化運算，要因題而異．
解 (1)由題意得，|a|＝|b|＝1，
∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0，
∴a＋b與a－b垂直．
(2)|ka＋b|2＝k
15、2a2＋2ka·b＋b2＝k2＋2ka·b＋1，
(|a－kb|)2＝3(1＋k2)－6ka·b.
由條件知，k2＋2ka·b＋1＝3(1＋k2)－6ka·b，
從而有，a·b＝(k>0)．
(3)由(2)知a·b＝＝(k＋)≥，
當k＝時，等號成立，即k＝±1.∵k>0，∴k＝1.
此時cos θ＝＝，而θ∈[0，π]，∴θ＝.
故a·b的最小值為，此時θ＝.
變式遷移2 (1)解 因為a與b－2c垂直，所以a·(b－2c)
＝4cos αsin β－8cos αcos β＋4sin αcos β＋8sin αsin β
＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0.
16、因此tan(α＋β)＝2.
(2)解 由b＋c＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)，
得|b＋c|＝
＝≤4.
又當β＝－時，等號成立，所以|b＋c|的最大值為4.
(3)證明 由tan αtan β＝16得＝，
所以a∥b.
例3 解題導引 與三角函數(shù)相結合考查向量的數(shù)量積的坐標運算及其應用是高考熱點題型．解答此類問題，除了要熟練掌握向量數(shù)量積的坐標運算公式，向量模、夾角的坐標運算公式外，還應掌握三角恒等變換的相關知識．
解 (1)a·b＝cos xcos －sin xsin ＝cos 2x，
|a＋b|＝
＝＝2|cos x|，∵x∈，∴cos x>
17、0，
∴|a＋b|＝2cos x.
(2)f(x)＝cos 2x－2cos x＝2cos2x－2cos x－1
＝22－.∵x∈，∴≤cos x≤1，
∴當cos x＝時，f(x)取得最小值－；
當cos x＝1時，f(x)取得最大值－1.
變式遷移3 解 (1)∵2sin2＋cos 2C＝1，
∴cos 2C＝1－2sin2＝cos(A＋B)＝－cos C.
∴2cos2C＋cos C－1＝0.
∴cos C＝或－1.
∵C∈(0，π)，∴C＝.
(2)∵m⊥n，∴3a2－＝0，即b2＝9a2. ①
又(m＋n)·(－m＋n)＝－16，
∴－8a2－b2＝－16，即
18、a2＋＝2.②
由①②可得a2＝1，b2＝9，∴a＝1，b＝3.
又c2＝a2＋b2－2abcos C＝7，∴c＝.
課后練習區(qū)
1．6
解析 由(2a＋3b)·(ka－4b)＝0得2k－12＝0，∴k＝6.
2．150°
解析 ∵S△ABC＝|a||b|sin∠BAC＝，
∴sin∠BAC＝.又a·b<0，
∴∠BAC為鈍角．∴∠BAC＝150°.
3．120°
解析 由(2a＋b)·b＝0，得2a·b＝－|b|2.
cos〈a，b〉＝＝＝－.
∵〈a，b〉∈[0°，180°]，∴〈a，b〉＝120°.
4.
解析 因為a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉，
19、
所以，a在b上的投影為|a|·cos〈a，b〉
＝＝＝＝.
5.
解析 ∵a·b＝cos 2α＋2sin2α－sin α＝，
∴1－2sin2α＋2sin2α－sin α＝，∴sin α＝.
6．120°
解析 設a與b的夾角為θ，∵c＝a＋b，c⊥a，
∴c·a＝0，即(a＋b)·a＝0.∴a2＋a·b＝0.
又|a|＝1，|b|＝2，∴1＋2cos θ＝0.
∴cos θ＝－，θ∈[0°，180°]，即θ＝120°.
7．－25
解析 如圖，
根據(jù)題意可得△ABC為直角三角形，
且∠B＝，cos A＝，cos C＝，
∴·＋·＋·
＝·＋·＝4×5co
20、s(π－C)＋5×3cos(π－A)＝－20cos C－15cos A＝－20×－15×＝－25.
8．(－1,0)或(0，－1)
解析 設n＝(x，y)，由m·n＝－1，
有x＋y＝－1.①
由m與n夾角為，
有m·n＝|m|·|n|cos ，
∴|n|＝1，則x2＋y2＝1.②
由①②解得或，
∴n＝(－1,0)或n＝(0，－1)．
9．解 設存在點M，且＝λ＝(6λ，3λ) (0≤λ≤1)，
∴＝(2－6λ，5－3λ)，＝(3－6λ，1－3λ)．……………………………………(4分)
∵⊥，
∴(2－6λ)(3－6λ)＋(5－3λ)(1－3λ)＝0，……………………
21、…………………………(8分)
即45λ2－48λ＋11＝0，
解得λ＝或λ＝.
∴M點坐標為(2,1)或.
故在線段OC上存在點M，使⊥，且點M的坐標為(2,1)或(，)．………(12分)
10．(1)證明 ∵a·b＝cos(－θ)·cos＋sin·sin
＝sin θcos θ－sin θcos θ＝0.∴a⊥b.……………………………………………………(4分)
(2)解 由x⊥y得，x·y＝0，
即[a＋(t2＋3)b]·(－ka＋tb)＝0，
∴－ka2＋(t3＋3t)b2＋[t－k(t2＋3)]a·b＝0，
∴－k|a|2＋(t3＋3t)|b|2＝0.…………………
22、……………………………………………(8分)
又|a|2＝1，|b|2＝1，
∴－k＋t3＋3t＝0，∴k＝t3＋3t.…………………………………………………………(10分)
∴＝＝t2＋t＋3
＝2＋.
故當t＝－時，有最小值.………………………………………………………(14分)
11．解 (1)f(x)＝a·b＝2cos＋2sin x
＝2cos xcos －2sin xsin ＋2sin x
＝cos x＋sin x＝2sin.…………………………………………………………(5分)
由＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.
所以f(x)的單調遞減區(qū)間是
(k∈Z)．……………………………………………………………(8分)
(2)由(1)知f(x)＝2sin.
又因為2sin＝，
所以sin＝，………………………………………………………………………(12分)
即sin＝cos＝cos＝.
所以cos＝2cos2－1＝.………………………………………………（16分）
新編高考數(shù)學理一輪資源庫 第5章學案26
