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1、
專題突破練(三) 數(shù)列中的高考熱點問題
1.(20xx·北京高考)已知等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5.
(1)求{an}的通項公式;
(2)求和:b1+b3+b5+…+b2n-1.
[解] (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.
因為a2+a4=10,所以2a1+4d=10,
解得d=2,所以an=2n-1.
(2)設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q,
因為b2b4=a5,所以b1qb1q3=9,解得q2=3,
所以b2n-1=b1q2n-2=3n-1.
從而b1+b3+b5+…+b2n-1=1+3+32+…
2、+3n-1=.
2.已知二次函數(shù)y=f(x)的圖像經(jīng)過坐標原點,其導函數(shù)為f′(x)=6x-2,數(shù)列{an}的前n項和為Sn,點(n,Sn)(n∈N+)均在函數(shù)y=f(x)的圖像上.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)bn=,試求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
[解] (1)設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx(a≠0),
則f′(x)=2ax+b.
由f′(x)=6x-2,得a=3,b=-2,
所以f(x)=3x2-2x.
又因為點(n,Sn)(n∈N+)均在函數(shù)y=f(x)的圖像上,
所以Sn=3n2-2n.
當n≥2時,an=Sn-Sn-1=3n2-2n-[3(n-
3、1)2-2(n-1)]=6n-5;
當n=1時,a1=S1=3×12-2×1=6×1-5,
所以an=6n-5(n∈N+).
(2)由(1)得bn==
=,
故Tn==
=.
3.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=1,S3=6.正項數(shù)列{bn}滿足b1·b2·b3·…·bn=2.
(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式;
(2)若λbn>an,對n∈N+均成立,求實數(shù)λ的取值范圍.
【導學號:79140187】
[解] (1)∵等差數(shù)列{an}中,a1=1,S3=6,
∴d=1,故an=n.
由
①÷②得bn=2=2=2n(n≥2),
b1=2=21
4、=2,滿足通項公式,
故bn=2n.
(2)λbn>an恒成立,即λ>恒成立,
設(shè)cn=,則=,
當n≥1時,cn+1≤cn,{cn}單調(diào)遞減,
∴(cn)max=c1=,故λ>,
∴λ的取值范圍是.
4.(20xx·山東高考)已知{xn}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,且x1+x2=3,x3-x2=2.
(1)求數(shù)列{xn}的通項公式;
(2)如圖1,在平面直角坐標系xOy中,依次連接點P1(x1,1),P2(x2,2),…,Pn+1(xn+1,n+1)得到折線P1P2…Pn+1,求由該折線與直線y=0,x=x1,x=xn+1所圍成的區(qū)域的面積Tn.
圖1
[解] (1)
5、設(shè)數(shù)列{xn}的公比為q.
由題意得所以3q2-5q-2=0.
由已知得q>0,所以q=2,x1=1.
因此數(shù)列{xn}的通項公式為xn=2n-1.
(2)過P1,P2,…,Pn+1向x軸作垂線,垂足分別為Q1,Q2,…,Qn+1.
由(1)得xn+1-xn=2n-2n-1=2n-1.
記梯形PnPn+1Qn+1Qn的面積為bn.
由題意得bn=×2n-1=(2n+1)×2n-2,
所以Tn=b1+b2+…+bn=3×2-1+5×20+7×21+…+(2n-1)×2n-3+(2n+1)×2n-2.①
又2Tn=3×20+5×21+7×22+…+(2n-1)×2n-2+(2n+1)×2n-1.②
①-②得
-Tn=3×2-1+(2+22+…+2n-1)-(2n+1)×2n-1
=+-(2n+1)×2n-1,
所以Tn=.