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31回歸分析的基本思想及其初步應用
3．1.1回歸分析的基本思想及其初步應用
課前預習學案
一、 預習目標
通過截距與斜率分別是使取最小值時，求的值。
二、預習內容:
1. 對于一組具有線性相關關系的數據其回歸直線方程的截距和斜率的最小二乘法估計公式：
= ，=
2．= , =
3．樣本點的中心
三、提出問題
2、
如何使 值最小，通過觀察分析式子進行試探推到
課內探究學案
一、 學習目標
1. 了解回歸分析的基本思想和方法 , 培養(yǎng)學生觀察分析計算的能力
二、學習重難點
學習重點：回歸方程，
學習難點：、公式的推到
三、學習過程
1．使值最小時，值的推到
2．結論
3．中和的含義是什么
4. 一定通過回歸方程嗎？
四、典型例題
例1．研究某灌溉倒水的流速y與水深x之間的關系，測得一組數據如下：
水深x（m）
1.40
1.50
1.60
1.70
1.80
1.90
2.00
2.10
流速y(m/s)
1.70
1.79
3、1.88
1.95
2.03
2.10
2.16
2.21
(1) 求y與x的回歸直線方程； (2) 預測水深為1.95m時水的流速是多少？
分析：（1）y與x的回歸直線方程為
（2）當水深為1.95m時，可以預測水的流速約為2.12m/s
五、當堂練習
1.對兩個變量y和x進行回歸分析，得到一組樣本數據：則下列說法不正確的是（ ）
A.由樣本數據得到的回歸方程必過樣本中心 B.殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好
C.用相關指數來刻畫回歸效果，越小，說明模型的擬合效果越好
D．若變量y與x之間的相關系數，則變量y與x之間具有線性相關關系
2.已
4、知某地每單位面積菜地年平均使用氮肥量xkg與每單位面積蔬菜年平均產量yt之間的關系有如下數據：
年份
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
x(kg)
70
74
80
78
85
92
90
95
y(t)
5.1
6.0
6.8
7.8
9.0
10.2
10.0
12.0
年份
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
x(kg)
92
108
115
123
130
138
145
y(t)
11.5
11.0
5、11.8
12.2
12.5
12.8
13.0
若x與y之間線性相關，求蔬菜年平均產量y與使用氮肥量x之間的回歸直線方程，并估計每單位面積蔬菜的年平均產量.（已知）
課后練習與提高
1、 下表提供了某廠節(jié)能降耗技術改造后生產甲產品過程中記錄的產量x（噸）與相應的生產能耗y(噸標準煤)的幾組對照數據：
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
(1) 請畫出上表數據的散點圖；
(2) 請根據上表提供的數據，用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程；
(3) 已知該廠技改前100
6、噸甲產品的生產能耗為90噸標準煤，試根據（2）求出的線性回歸方程，預測生產100噸甲產品的生產能耗比技改前降低多少噸標準煤？
（參考數值：）
解：（1）由題設所給數據，可得散點圖如下圖
O 1 2 3 4 5 6 x(產量：噸)
y(能耗:噸標準煤)
4.5
4
3
2.5
7、
3．1.2回歸分析的基本思想及其初步應用回歸分析的基本思想及其初步應用
課前預習學案
一、預習目標
1 了解相關系數r和相關指數R2 2 了解殘差分析 3 了解隨機誤差產生的原因
二、預習內容
1 相關系數r
①
②r>0表明兩個變量 ；r<0表明兩個變量 ；r的絕對值越接近1，表明兩個變量相關性 ，r的絕對值越接近0,表示兩個變量之間 當r的絕對值大于 認為兩個變量具有很強的相關性關系。
2 隨機誤差
8、
①在線性回歸模型：中，a和b為模型的 ，e是y與之間的 ，通常e為隨機變量，稱為隨機誤差，它的均值E(e)= ，方差D(e)= 0
②線性回歸模型的完整表達式為隨機誤差e的方差越小，通過回歸直線預報真實值y的精確度
3 殘差分析
①殘差對于樣本點而言，相應于它們的隨機誤差為
= = (i=1,2,3,…,n)
其估算值為= = (i=1,2,3,…,n). 稱為相應于點的殘差。
②殘差
9、平方和：類比樣本方差估計總體方差的思想，可以用= =
（n>2）作為的估計量，其中， ，稱為殘差平方和，可以用衡量回歸方程的預報精度，越小，預報精度
③用圖形來分析殘差特性：用 來刻畫回歸的效果。
三、提出問題
1 隨機誤差產生的原因是什么？
2如何建立模型擬合效果最好？
課內探究學習
一、 學習目標
1 了解相關系數和相關指數的關系.
2 理解隨機誤差產生的原因.3
3 會進行簡單的殘差分析
二、學習重難點
學習重點 1 相關系數r 2相關指數R2 3 隨機誤差
學習難
10、點 殘差分析的應用
三、學習過程
1 相關系數r=
2 r的性質：
3 隨機誤差的定義：
4相關指數R2=
5 R2的性質：
6 殘差分析的步驟：
11、
四、典型例題
例 隨著我國經濟的快速發(fā)展，城鄉(xiāng)居民的審核水平不斷提高，為研究某市家庭平均收入與月平均生活支出的關系，該市統(tǒng)計部門隨機調查10個家庭，得數據如下：
家庭編號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x收入(千元)
0.8
1.1
1.3
1.5
1.5
1.8
2.0
2.2
2.4
2.8
y支出千元
0.7
1.0
1.2
1.0
1.3
1.5
1.3
1
12、.7
2.0
2.5
(1) 判斷家庭平均收入與月平均生活支出是否相關？
(2) 若二者線性相關，求回歸直線方程。
思路點撥：利用散點圖觀察收入x和支出y是否線性相關，若呈現(xiàn)線性相關關系，可利用公式來求出回歸系數，然后獲得回歸直線方程。
解：作散點圖
O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 x平均收入/千元
y 月支/千元
3
2.5
2
1.5
1
0.5
觀察發(fā)現(xiàn)各個數
13、據對應的點都在一條直線附近，所以二者呈現(xiàn)線性相關關系。
(2)
所以回歸方程
五、當堂練習
1 山東魯潔棉業(yè)公式的可按人員在7塊并排形狀大小相同的試驗田上對某棉花新品種進行施化肥量x對產量y影響的試驗，得到如下表所示的一組數據（單位：kg）
施化肥量x
15
20
25
30
35
40
45
產量y
330
345
365
405
445
450
455
（1） 畫出散點圖；
（2） 判斷是否具有相關關系
思路點撥 （1）散點圖如圖所示
O 10 20 30 40 5
14、0 施化肥量 x
y 棉花產量
500
450
400
350
300
（2）由散點圖可知，各組數據對應點大致都在一條直線附近，所以施化肥量x與產量y具有線性相關關系.
六、課后練習與提高
1 在對兩個變量x、y進行線性回歸分析時有下列步驟：
①對所求出的回歸方程作出解釋；②收集數據;③求線性回歸方程；④求相關系數；⑤根據所搜集的數據繪制散點圖。如果根據可靠性要求能夠作出變量x、y具有線性相關結論，則在下列操作順序中正確的是（ ）
A ①②⑤③④ B ③②④⑤① C ②④③①⑤ D ②⑤④③①
2 三點（3,10），（7，20）,(11,24)的線性回歸方程為（ ）
A B C D
3 對有線性相關關系的兩個變量建立的回歸直線方程中，回歸系數b （ ）
A.可以大于0 B 大于0 C 能等于0 D只能小于0
4 廢品率和每噸生鐵成本y（元）之間的回歸直線方程為，表明（ ）
A 廢品率每增加，生鐵成本增加258元； B廢品率每增加，生鐵成本增加2元；
C廢品率每增加，生鐵成本每噸增加2元；D廢品率不變，生鐵成本增加256元；
人教版 高中數學 選修23 導學案3.1回歸分析的基本思想及其初步應用
