高考數(shù)學二輪復習 第二部分專項二 專題一 4 第4講　專題強化訓練 Word版含解析

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1、1(2018高考全國卷)已知函數(shù) f(x)13x3a(x2x1)(1)若 a3，求 f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：f(x)只有一個零點解：(1)當 a3 時，f(x)13x33x23x3，f(x)x26x3.令 f(x)0 解得 x323或 x32 3.當 x(，32 3)(32 3，)時，f(x)0；當 x(32 3，32 3)時，f(x)0，所以 f(x)0 等價于x3x2x13a0.設 g(x)x3x2x13a，則 g(x)x2（x22x3）（x2x1）20，僅當 x0 時 g(x)0，所以 g(x)在(，)單調(diào)遞增故 g(x)至多有一個零點，從而 f(x)至多有一個零點又 f(3a1

2、)6a22a136a162160，故 f(x)有一個零點綜上，f(x)只有一個零點2(2018唐山模擬)已知 f(x)12x2a2ln x，a0.(1)若 f(x)0，求 a 的取值范圍；(2)若 f(x1)f(x2)，且 x1x2，證明：x1x22a.解：(1)由題意知，f(x)xa2x（xa） （xa）x.當 x(0，a)時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增當 xa 時，f(x)取得最小值 f(a)12a2a2ln a.令12a2a2ln a0，解得 0a e.故 a 的取值范圍是(0， e (2)證明：由(1)知，f(x)在(0，a)上單調(diào)遞減，在(a，)上單調(diào)遞增，設 0 x1aa.要證

3、x1x22a 即 x22ax1，則只需證 f(x2)f(2ax1)因 f(x1)f(x2)，則只需證 f(x1)f(2ax1)設 g(x)f(x)f(2ax)，0 xa.則 g(x)f(x)f(2ax)xa2x2axa22ax2a（ax）2x（2ax）g(a)0.又由題意得 0 x10，即 f(x1)f(2ax1)因此 x1x22a.3(2018石家莊質(zhì)量檢測(二)已知函數(shù) f(x)xaxln x(aR)(1)討論函數(shù) f(x)的單調(diào)性；(2)若函數(shù) f(x)xaxln x 存在極大值，且極大值點為 1，證明：f(x)exx2.解：(1)由題意 x0，f(x)1aaln x.當 a0 時，f(

4、x)x，函數(shù) f(x)在(0，)上單調(diào)遞增；當 a0 時，函數(shù) f(x)1aaln x 單調(diào)遞增，f(x)1aaln x0 xe11a0，故當 x(0，e11a)時，f(x)0，所以函數(shù) f(x)在(0，e11a)上單調(diào)遞減，在(e11a，)上單調(diào)遞增；當 a0，故當 x(0，e11a)時，f(x)0，當 x(e11a，)時，f(x)0，所以函數(shù) f(x)在(0，e11a)上單調(diào)遞增，在(e11a，)上單調(diào)遞減(2)證明：由(1)可知若函數(shù) f(x)xaxln x 存在極大值，且極大值點為 1，則 a0，則 h(x)ex2xln x.令 g(x)h(x)，則 g(x)ex21x0，所以函數(shù) h

5、(x)ex2xln x 在(0，)上單調(diào)遞增，又 h1e e1e2e10，故 h(x)ex2xln x 在1e，1上存在唯一零點 x0，即ex02x0ln x00.所以當 x(0，x0)時，h(x)0，所以函數(shù) h(x)在(0，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，)上單調(diào)遞增，故 h(x)h(x0)ex0 x20 x0 x0ln x0，所以只需證 h(x0)ex0 x20 x0 x0ln x00 即可，由ex02x0ln x00，得 ex02x0ln x0，所以 h(x0)(x01)(x0ln x0)，又 x010，所以只要 x0ln x00 即可，當 x0ln x00 時，ln x0 x0 x0ex

6、0ex0 x00，所以ex0 x0 x0ln x00 時，ln x0 x0 x0ex0ex0 x00，所以ex0 x0 x0ln x00 與ex02x0ln x00 矛盾；當 x0ln x00 時，ln x0 x0 x0ex0ex0 x00，得ex02x0ln x00，故 x0ln x00 成立，得 h(x0)(x01)(x0ln x0)0，所以 h(x)0，即 f(x)exx2.4(2018鄭州質(zhì)量檢測(二)已知函數(shù) f(x)exx2.(1)求曲線 yf(x)在 x1 處的切線方程；(2)求證：當 x0 時，ex（2e）x1xln x1.解：(1)由題意得，f(x)ex2x，則 f(1)e2

7、，f(1)e1，所以曲線 yf(x)在 x1 處的切線方程為 y(e2)x1.(2)證明：f(x)ex2x，令 h(x)ex2x，則 h(x)ex2，易知 f(x)在(0，ln 2)上單調(diào)遞減，在(ln 2，)上單調(diào)遞增，所以 f(x)f(ln 2)22ln 20，所以 f(x)在(0，)上單調(diào)遞增又曲線 yf(x)過點(1，e1)，且曲線 yf(x)在 x1 處的切線方程為 y(e2)x1，所以可猜測：當 x0，x1 時，f(x)的圖象恒在切線 y(e2)x1 的上方下證：當 x0 時，f(x)(e2)x1.設 g(x)f(x)(e2)x1exx2(e2)x1，x0，則 g(x)ex2x(e2)，令(x)g(x)，則(x)ex2，易知 g(x)在(0，ln 2)上單調(diào)遞減，在(ln 2，)上單調(diào)遞增，又 g(0)3e0，g(1)0，0ln 21，所以 g(ln 2)0；當 x(x0，1)時，g(x)0.又 xln x1，所以ex（2e）x1xln x1，當且僅當 x1 時等號成立