新編高考數學人教A版理科含答案導學案【第二章】函數與基本初等函數I 學案8

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1、新編高考數學復習資料 學案8　對數與對數函數 導學目標： 1.理解對數的概念及其運算性質，知道用換底公式能將一般對數轉化為自然對數或常用對數，了解對數在簡化運算中的作用.2.理解對數函數的概念，理解對數函數的單調性與函數圖象通過的特殊點，知道指數函數y＝ax與對數函數y＝logax互為反函數(a>0，a≠1)，體會對數函數是一類重要的函數模型． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 自主梳理 1．對數的定義 如果________________，那么數x叫做以a為底N的對數，記作__________，其中____叫做對數的底數，______叫做真數． 2．對數的性質與運

2、算法則 (1)對數的性質(a>0且a≠1) ①＝____； ②＝____； ③＝____； ④＝____. (2)對數的重要公式 ①換底公式：logbN＝________________(a，b均大于零且不等于1)； ②＝，推廣＝________. (3)對數的運算法則 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝___________________________； ②loga＝______________________； ③logaMn＝__________(n∈R)； ④＝logaM. 3．對數函數的圖象與性質 a>1 0

3、1時，______ 當01時，______當0

4、的值為 (　　) A．0 B．1 C．2 D．4 2．(2010·遼寧)設2a＝5b＝m，且＋＝2，則m的值為 (　　) A. B．10 C．20 D．100 3．(2009·遼寧)已知函數f(x)滿足：當x≥4時，f(x)＝x；當x<4時，f(x)＝f(x＋1)．則f(2＋log23)的值為 (　　) A. B. C. D. 4．(2010·安慶模擬)定義在R上的偶函數f(x)在[0，＋∞)上遞增，f()＝0，則滿足>0的x的取值范圍是 (　　) A．(0，＋∞)

5、 B．(0，)∪(2，＋∞) C．(0，)∪(，2) D．(0，) 5．(2011·臺州期末)已知0

6、g5； ②log1.10.7與log1.20.7. (2)已知logbb>c B．a>c>b C．b>a>c D．b>c>a (2)設a，b，c均為正數，且2a＝，()b＝，()c＝log2c，則 (　　) A．a0且a≠

7、1)，如果對于任意的x∈[，2]都有|f(x)|≤1成立，試求a的取值范圍． 變式遷移3　(2010·全國Ⅰ)已知函數f(x)＝|lg x|，若00，a≠1)． (1)解關于x的不等式：loga(1－ax)>f(1)； (2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)是f(x)圖象上的兩點

8、，求證：直線AB的斜率小于0. 【答題模板】 (1)解　∵f(x)＝loga(1－ax)， ∴f(1)＝loga(1－a)．∴1－a>0.∴0loga(1－a)． ∴，即∴00，∴ax<1. ∴a>1時，f(x)的定義域為(－∞，0)；[6分] 0x1>0，∴<. ∴>1.∴<0. ∴f(x2)

9、證，當a>1時，也有y21或0

10、為減函數，即“同增異減”． 2．用對數函數的性質比較大小 (1)同底數的兩個對數值的大小比較 例如，比較logaf(x)與logag(x)的大小， 其中a>0且a≠1. ①若a>1，則logaf(x)>logag(x)?f(x)>g(x)>0. ②若0logag(x)?00且a≠1)等價于f(x)＝g(x)，但要注意驗根．對于l

11、ogaf(x)>logag(x)等價于01時， (2)形如F(logax)＝0、F(logax)>0或F(logax)<0，一般采用換元法求解． (滿分：75分) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、選擇題(每小題5分，共25分) 1．(2010·北京市豐臺區(qū)高三一調)設M＝{y|y＝()x，x∈[0，＋∞)}，N＝{y|y＝log2x，x∈(0,1]}，則集合M∪N等于 (　　) A．(－∞，0)∪[1，＋∞) B．[0，＋∞) C．(－∞，1] D．(－∞，0)∪(0,1) 2．(2010·全

12、國Ⅰ)設a＝log32，b＝ln 2，c＝5－，則 (　　) A．af(－a)，則實數a的取值范圍是(　　) A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1) 4．(2011·濟南模擬)設函數f(x)定義在實數集上，f(2－x)＝f(x)，且當x≥1時，f(x)＝ln x，則有

13、 (　　) A．f()0，a≠1)在[1,2]上的最大值與最小值之和為loga2＋6，則a的值為 (　　) A. B. C．2 D．4 題號 1 2 3 4 5 答案 二、填空題(每小題4分，共12分) 6．2lg 5＋lg 8＋lg 5·lg 20＋lg22＝_____

14、___. 7．(2011·湖南師大附中檢測)已知函數f(x)＝lg在區(qū)間[1,2]上是增函數，則實數a的取值范圍是____________． 8．已知f(3x)＝4xlog23＋233，則f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)＝________. 三、解答題(共38分) 9．(12分)已知f(x)＝2＋log3x，x∈[1,9]，求y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值及y取最大值時x的值． 10．(12分)(2011·北京東城1月檢測)已知函數f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a>0且a≠1. (1)求f(x)的定義域； (2)判斷f(x)的奇

15、偶性并予以證明； (3)若a>1時，求使f(x)>0的x的解集． 11．(14分)(2011·鄭州模擬)已知函數f(x)＝lg(ax－bx)(a>1>b>0)． (1)求y＝f(x)的定義域； (2)在函數y＝f(x)的圖象上是否存在不同的兩點，使得過這兩點的直線平行于x軸； (3)當a，b滿足什么條件時，f(x)在(1，＋∞)上恒取正值． 答案 自主梳理 1．ax＝N(a>0，且a≠1)　x＝logaN　a　N　2.(1)①N?、?　③N?、?　(2)①　②logad　(3)①logaM＋logaN?、趌ogaM－logaN?、踤log

16、aM　3.(1)(0，＋∞)　(2)R　(3)(1,0)　1　0　(4)y>0　y<0　(5)y<0　y>0 (6)增　(7)減　4.y＝logax　y＝x 自我檢測 1．C　2.A 3．A　[因為3<2＋log23<4，故f(2＋log23)＝f(2＋log23＋1)＝f(3＋log23)．又3＋log23>4，故f(3＋log23)＝3＋log23＝3·＝.] 4．B　[由題意可得：f(x)＝f(－x)＝f(|x|)，f(|logx|)>f()，f(x)在[0，＋∞)上遞增，于是|logx|>，解得x的取值范圍是(0，)∪(2，＋∞)．] 5．m>n 解析　∵m<0，n<0，∵

17、＝logac·logcb＝logabn. 課堂活動區(qū) 例1　解題導引　在對數運算中，先利用冪的運算把底數或真數進行變形，化成分數指數冪的形式，使冪的底數最簡，然后再運用對數運算法則化簡合并，在運算中要注意化同底和指數與對數互化． 解　(1)方法一　利用對數定義求值： 設＝x， 則(2＋)x＝2－＝＝(2＋)－1， ∴x＝－1. 方法二　利用對數的運算性質求解： ＝ ＝＝－1. (2)原式＝(lg 32－lg 49)－lg 8＋ lg 245＝(5lg 2－2lg 7)－×lg 2＋(2lg 7＋lg 5) ＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg

18、7＋lg 5 ＝lg 2＋lg 5 ＝lg (2×5)＝lg 10＝. (3)由已知得lg()2＝lg xy， ∴()2＝xy，即x2－6xy＋y2＝0. ∴()2－6()＋1＝0.∴＝3±2. ∵∴>1，∴＝3＋2， ∴l(xiāng)og(3－2)＝log(3－2)(3＋2) ＝log＝－1. 變式遷移1　解　(1)原式＝log2＋log212－log2－log22 ＝log2＝log2＝log22－＝－. (2)原式＝lg 2·(lg 2＋lg 50)＋lg 25 ＝21g 2＋lg 25＝lg 100＝2. 例2　解題導引　比較對數式的大小或證明等式問題是對數中常見題型，解

19、決此類問題的方法很多，①當底數相同時，可直接利用對數函數的單調性比較；②若底數不同，真數相同，可轉化為同底(利用換底公式)或利用對數函數圖象，數形結合解得；③若不同底，不同真數，則可利用中間量進行比較． 解　(1)①∵log3log51＝0，∴l(xiāng)og3log0.71.1>log0.71.2. ∴<， 由換底公式可得log1.10.7

20、.20.7. (2)∵y＝logx為減函數， 且logba>c. 而y＝2x是增函數，∴2b>2a>2c. 變式遷移2　(1)A　[a＝log3π>1，b＝log23，則b>c.] (2)A　[∵a，b，c均為正， ∴l(xiāng)oga＝2a>1，logb＝()b∈(0,1)， log2c＝()c∈(0,1)． ∴0

21、為最值問題．由于本題底數a為參數，需對a分類討論． 解　∵f(x)＝logax， 則y＝|f(x)|的圖象如右圖． 由圖示，可使x∈[，2]時恒有|f(x)|≤1， 只需|f()|≤1，即－1≤loga≤1， 即logaa－1≤loga≤logaa， 亦當a>1時，得a－1≤≤a，即a≥3； 當01，∴l(xiāng)g a<0，lg b>0.由f(a)＝f(b)，

22、∴－lg a＝lg b ，ab＝1. ∴b＝，∴a＋2b＝a＋， 又01＋＝3，即a＋2b>3.] 課后練習區(qū) 1．C　[∵x≥0，∴y＝()x∈(0,1]，∴M＝(0,1]． 當01，＝log2e>1，log23>log2e. ∴>>1，∴0log3＝，∴a>. b＝ln 2>ln ＝，∴b>. c＝5－＝<，∴c0時，f(a)＝l

23、og2a，f(－a)＝， f(a)>f(－a)，即log2a>＝log2， ∴a>，解得a>1. ②當a<0時，f(a)＝，f(－a)＝log2(－a)， f(a)>f(－a)，即>log2(－a)＝， ∴－a<，解得－11.] 4．C　[由f(2－x)＝f(x)知f(x)的圖象關于直線x＝＝1對稱，又當x≥1時，f(x)＝ln x，所以離對稱軸x＝1距離大的x的函數值大， ∵|2－1|>|－1|>|－1|， ∴f()0時，函數ax，logax的單調性相同，因此函數f(x)＝ax＋logax是(0

24、，＋∞)上的單調函數，f(x)在[1,2]上的最大值與最小值之和為f(1)＋f(2)＝a2＋a＋loga2，由題意得a2＋a＋loga2＝6＋loga2.即a2＋a－6＝0，解得a＝2或a＝－3(舍去)．] 6．3 7．(1,2) 解析　因為f(x)＝lg在區(qū)間[1,2]上是增函數，所以g(x)＝a＋在區(qū)間[1,2]上是增函數，且g(1)>0，于是a－2<0，且2a－2>0，即1

25、解　∵f(x)＝2＋log3x， ∴y＝[f(x)]2＋f(x2)＝(2＋log3x)2＋2＋log3x2＝logx＋6log3x＋6＝(log3x＋3)2－3.……(4分) ∵函數f(x)的定義域為[1,9]， ∴要使函數y＝[f(x)]2＋f(x2)有意義，必須∴1≤x≤3，∴0≤log3x≤1，(8分) ∴6≤(log3x＋3)2－3≤13. 當log3x＝1，即x＝3時，ymax＝13. ∴當x＝3時，函數y＝[f(x)]2＋f(x2)取最大值13.………………………………………(12分) 10．解　(1)f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，則解得－1

26、1. 故所求函數f(x)的定義域為{x|－11時，f(x)在定義域{x|－10?>1. 解得00的x的解集是{x|0

27、>0，得()x>1，且a>1>b>0，得>1，所以x>0，即f(x)的定義域為(0，＋∞)．…………………………………………………………………………………………(4分) (2)任取x1>x2>0，a>1>b>0，則>>0，，所以>>0， 即>．故f(x1)>f(x2)． 所以f(x)在(0，＋∞)上為增函數．………………………………………………………(8分) 假設函數y＝f(x)的圖象上存在不同的兩點A(x1，y1)、B(x2，y2)，使直線平行于x軸，則x1≠x2，y1＝y2，這與f(x)是增函數矛盾． 故函數y＝f(x)的圖象上不存在不同的兩點使過兩點的直線平行于x軸．…………(10分) (3)因為f(x)是增函數，所以當x∈(1，＋∞)時，f(x)>f(1)．這樣只需f(1)＝lg(a－b)≥0，即當a≥b＋1時，f(x)在(1，＋∞)上恒取正值．……………………………………………(14分)