新編高考數(shù)學(xué)人教A版理科含答案導(dǎo)學(xué)案【第二章】函數(shù)與基本初等函數(shù)I 學(xué)案8
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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 學(xué)案8 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù) 導(dǎo)學(xué)目標(biāo): 1.理解對(duì)數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì),知道用換底公式能將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù),了解對(duì)數(shù)在簡化運(yùn)算中的作用.2.理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念,理解對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)圖象通過的特殊點(diǎn),知道指數(shù)函數(shù)y=ax與對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax互為反函數(shù)(a>0,a≠1),體會(huì)對(duì)數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型. 自主梳理 1.對(duì)數(shù)的定義 如果________________,那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù),記作__________,其中____叫做對(duì)數(shù)的底數(shù),______叫做真數(shù). 2.對(duì)數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)
2、算法則 (1)對(duì)數(shù)的性質(zhì)(a>0且a≠1) ①=____; ②=____; ③=____; ④=____. (2)對(duì)數(shù)的重要公式 ①換底公式:logbN=________________(a,b均大于零且不等于1); ②=,推廣=________. (3)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則 如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么 ①loga(MN)=___________________________; ②loga=______________________; ③logaMn=__________(n∈R); ④=logaM. 3.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) a>1 0
3、1時(shí),______
當(dāng)0 4、的值為 ( )
A.0 B.1 C.2 D.4
2.(2010·遼寧)設(shè)2a=5b=m,且+=2,則m的值為 ( )
A. B.10 C.20 D.100
3.(2009·遼寧)已知函數(shù)f(x)滿足:當(dāng)x≥4時(shí),f(x)=x;當(dāng)x<4時(shí),f(x)=f(x+1).則f(2+log23)的值為 ( )
A. B. C. D.
4.(2010·安慶模擬)定義在R上的偶函數(shù)f(x)在[0,+∞)上遞增,f()=0,則滿足>0的x的取值范圍是 ( )
A.(0,+∞) 5、 B.(0,)∪(2,+∞)
C.(0,)∪(,2) D.(0,)
5.(2011·臺(tái)州期末)已知0
6、g5;
②log1.10.7與log1.20.7.
(2)已知logb 7、1),如果對(duì)于任意的x∈[,2]都有|f(x)|≤1成立,試求a的取值范圍.
變式遷移3 (2010·全國Ⅰ)已知函數(shù)f(x)=|lg x|,若00,a≠1).
(1)解關(guān)于x的不等式:loga(1-ax)>f(1);
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2)是f(x)圖象上的兩點(diǎn) 8、,求證:直線AB的斜率小于0.
【答題模板】
(1)解 ∵f(x)=loga(1-ax),
∴f(1)=loga(1-a).∴1-a>0.∴0loga(1-a).
∴,即∴0 9、證,當(dāng)a>1時(shí),也有y2 10、為減函數(shù),即“同增異減”.
2.用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小
(1)同底數(shù)的兩個(gè)對(duì)數(shù)值的大小比較
例如,比較logaf(x)與logag(x)的大小,
其中a>0且a≠1.
①若a>1,則logaf(x)>logag(x)?f(x)>g(x)>0.
②若0logag(x)?0 11、ogaf(x)>logag(x)等價(jià)于01時(shí),
(2)形如F(logax)=0、F(logax)>0或F(logax)<0,一般采用換元法求解.
(滿分:75分)
一、選擇題(每小題5分,共25分)
1.(2010·北京市豐臺(tái)區(qū)高三一調(diào))設(shè)M={y|y=()x,x∈[0,+∞)},N={y|y=log2x,x∈(0,1]},則集合M∪N等于 ( )
A.(-∞,0)∪[1,+∞) B.[0,+∞)
C.(-∞,1] D.(-∞,0)∪(0,1)
2.(2010·全 12、國Ⅰ)設(shè)a=log32,b=ln 2,c=5-,則 ( )
A.a(chǎn)f(-a),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.(-1,0)∪(0,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(-1,0)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1)
4.(2011·濟(jì)南模擬)設(shè)函數(shù)f(x)定義在實(shí)數(shù)集上,f(2-x)=f(x),且當(dāng)x≥1時(shí),f(x)=ln x,則有 13、 ( )
A.f() 14、___.
7.(2011·湖南師大附中檢測)已知函數(shù)f(x)=lg在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________.
8.已知f(3x)=4xlog23+233,則f(2)+f(4)+f(8)+…+f(28)=________.
三、解答題(共38分)
9.(12分)已知f(x)=2+log3x,x∈[1,9],求y=[f(x)]2+f(x2)的最大值及y取最大值時(shí)x的值.
10.(12分)(2011·北京東城1月檢測)已知函數(shù)f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),a>0且a≠1.
(1)求f(x)的定義域;
(2)判斷f(x)的奇 15、偶性并予以證明;
(3)若a>1時(shí),求使f(x)>0的x的解集.
11.(14分)(2011·鄭州模擬)已知函數(shù)f(x)=lg(ax-bx)(a>1>b>0).
(1)求y=f(x)的定義域;
(2)在函數(shù)y=f(x)的圖象上是否存在不同的兩點(diǎn),使得過這兩點(diǎn)的直線平行于x軸;
(3)當(dāng)a,b滿足什么條件時(shí),f(x)在(1,+∞)上恒取正值.
答案 自主梳理
1.a(chǎn)x=N(a>0,且a≠1) x=logaN a N 2.(1)①N ②0?、跱?、? (2)① ②logad (3)①logaM+logaN?、趌ogaM-logaN ③nlog 16、aM 3.(1)(0,+∞) (2)R (3)(1,0) 1 0 (4)y>0 y<0 (5)y<0 y>0 (6)增 (7)減 4.y=logax y=x
自我檢測
1.C 2.A
3.A [因?yàn)?<2+log23<4,故f(2+log23)=f(2+log23+1)=f(3+log23).又3+log23>4,故f(3+log23)=3+log23=3·=.]
4.B [由題意可得:f(x)=f(-x)=f(|x|),f(|logx|)>f(),f(x)在[0,+∞)上遞增,于是|logx|>,解得x的取值范圍是(0,)∪(2,+∞).]
5.m>n
解析 ∵m<0,n<0,∵ 17、=logac·logcb=logab 18、7+lg 5
=lg 2+lg 5
=lg (2×5)=lg 10=.
(3)由已知得lg()2=lg xy,
∴()2=xy,即x2-6xy+y2=0.
∴()2-6()+1=0.∴=3±2.
∵∴>1,∴=3+2,
∴l(xiāng)og(3-2)=log(3-2)(3+2)
=log=-1.
變式遷移1 解 (1)原式=log2+log212-log2-log22
=log2=log2=log22-=-.
(2)原式=lg 2·(lg 2+lg 50)+lg 25
=21g 2+lg 25=lg 100=2.
例2 解題導(dǎo)引 比較對(duì)數(shù)式的大小或證明等式問題是對(duì)數(shù)中常見題型,解 19、決此類問題的方法很多,①當(dāng)?shù)讛?shù)相同時(shí),可直接利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較;②若底數(shù)不同,真數(shù)相同,可轉(zhuǎn)化為同底(利用換底公式)或利用對(duì)數(shù)函數(shù)圖象,數(shù)形結(jié)合解得;③若不同底,不同真數(shù),則可利用中間量進(jìn)行比較.
解 (1)①∵log3 20、.20.7.
(2)∵y=logx為減函數(shù),
且logb 21、為最值問題.由于本題底數(shù)a為參數(shù),需對(duì)a分類討論.
解 ∵f(x)=logax,
則y=|f(x)|的圖象如右圖.
由圖示,可使x∈[,2]時(shí)恒有|f(x)|≤1,
只需|f()|≤1,即-1≤loga≤1,
即logaa-1≤loga≤logaa,
亦當(dāng)a>1時(shí),得a-1≤≤a,即a≥3;
當(dāng)01,∴l(xiāng)g a<0,lg b>0.由f(a)=f(b),
22、∴-lg a=lg b ,ab=1.
∴b=,∴a+2b=a+,
又01+=3,即a+2b>3.]
課后練習(xí)區(qū)
1.C [∵x≥0,∴y=()x∈(0,1],∴M=(0,1].
當(dāng)0 23、og2a,f(-a)=,
f(a)>f(-a),即log2a>=log2,
∴a>,解得a>1.
②當(dāng)a<0時(shí),f(a)=,f(-a)=log2(-a),
f(a)>f(-a),即>log2(-a)=,
∴-a<,解得-11.]
4.C [由f(2-x)=f(x)知f(x)的圖象關(guān)于直線x==1對(duì)稱,又當(dāng)x≥1時(shí),f(x)=ln x,所以離對(duì)稱軸x=1距離大的x的函數(shù)值大,
∵|2-1|>|-1|>|-1|,
∴f() 24、,+∞)上的單調(diào)函數(shù),f(x)在[1,2]上的最大值與最小值之和為f(1)+f(2)=a2+a+loga2,由題意得a2+a+loga2=6+loga2.即a2+a-6=0,解得a=2或a=-3(舍去).]
6.3
7.(1,2)
解析 因?yàn)閒(x)=lg在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù),所以g(x)=a+在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù),且g(1)>0,于是a-2<0,且2a-2>0,即1
25、解 ∵f(x)=2+log3x,
∴y=[f(x)]2+f(x2)=(2+log3x)2+2+log3x2=logx+6log3x+6=(log3x+3)2-3.……(4分)
∵函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇1,9],
∴要使函數(shù)y=[f(x)]2+f(x2)有意義,必須∴1≤x≤3,∴0≤log3x≤1,(8分)
∴6≤(log3x+3)2-3≤13.
當(dāng)log3x=1,即x=3時(shí),ymax=13.
∴當(dāng)x=3時(shí),函數(shù)y=[f(x)]2+f(x2)取最大值13.………………………………………(12分)
10.解 (1)f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),則解得-1 26、1.
故所求函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|-1 27、>0,得()x>1,且a>1>b>0,得>1,所以x>0,即f(x)的定義域?yàn)?0,+∞).…………………………………………………………………………………………(4分)
(2)任取x1>x2>0,a>1>b>0,則>>0,,所以>>0,
即>.故f(x1)>f(x2).
所以f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù).………………………………………………………(8分)
假設(shè)函數(shù)y=f(x)的圖象上存在不同的兩點(diǎn)A(x1,y1)、B(x2,y2),使直線平行于x軸,則x1≠x2,y1=y(tǒng)2,這與f(x)是增函數(shù)矛盾.
故函數(shù)y=f(x)的圖象上不存在不同的兩點(diǎn)使過兩點(diǎn)的直線平行于x軸.…………(10分)
(3)因?yàn)閒(x)是增函數(shù),所以當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f(x)>f(1).這樣只需f(1)=lg(a-b)≥0,即當(dāng)a≥b+1時(shí),f(x)在(1,+∞)上恒取正值.……………………………………………(14分)
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