《新版與名師對話高三數學文一輪復習課時跟蹤訓練:第三章 導數及其應用 課時跟蹤訓練15 Word版含解析》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《新版與名師對話高三數學文一輪復習課時跟蹤訓練:第三章 導數及其應用 課時跟蹤訓練15 Word版含解析(10頁珍藏版)》請在裝配圖網上搜索。
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課時跟蹤訓練(十五)
[基礎鞏固]
一、選擇題
1.已知函數f(x)=x2+2cosx,若f′(x)是f(x)的導函數,則函數f′(x)的圖象大致是( )
[解析] 設g(x)=f′(x)=2x-2sinx,g′(x)=2-2cosx≥0,所以函數f′(x)在R上單調遞增.
[答案] A
2.若冪函數f(x)的圖象過點,則函數g(x)=exf(x)的單調遞減
3、區(qū)間為( )
A.(-∞,0) B.(-∞,-2)
C.(-2,-1) D.(-2,0)
[解析] 設冪函數f(x)=xα,因為圖象過點,所以=α,α=2,所以f(x)=x2,故g(x)=exx2,令g′(x)=exx2+2exx=ex(x2+2x)<0,得-2
4、3,2)上是單調函數
[解析] 由圖可知,當-30)的單調遞增區(qū)間為( )
A. B.
C. D.(-∞,a)
[解析] 由f′(x)=-a>0,得00,f′(x)=1+.要使函數f(x)
5、=x+alnx不是單調函數,則需方程1+=0在x>0上有解,所以a<0.
[答案] C
6.(20xx·湖北襄陽模擬)函數f(x)的定義域為R.f(-1)=2,對任意x∈R,f′(x)>2,則f(x)>2x+4的解集為( )
A.(-1,1) B.(-1,+∞)
C.(-∞,-1) D.(-∞,+∞)
[解析] 由f(x)>2x+4,得f(x)-2x-4>0.設F(x)=f(x)-2x-4,則F′(x)=f′(x)-2.因為f′(x)>2,所以F′(x)>0在R上恒成立,所以F(x)在R上單調遞增,而F(-1)=f(-1)-2×(-1)-4=2+2-4=0,故不等式f(x)-2x-
6、4>0等價于F(x)>F(-1),所以x>-1,選B.
[答案] B
二、填空題
7.函數f(x)=x2-ax-3在(1,+∞)上是增函數,則實數a的取值范圍是________.
[解析] f′(x)=2x-a,
∵f(x)在(1,+∞)上是增函數,
∴2x-a≥0在(1,+∞)上恒成立.
即a≤2x,∴a≤2.
[答案] (-∞,2]
8.已知函數f(x)(x∈R)滿足f(1)=1,且f(x)的導數f′(x)<,則不等式f(x2)<+的解集為________.
[解析] 設F(x)=f(x)-x,
∴F′(x)=f′(x)-,∵f′(x)<,
∴F′(x)=f′(x)
7、-<0,
即函數F(x)在R上單調遞減.
∵f(x2)<+,∴f(x2)-1,
即x∈(-∞,-1)∪(1,+∞).
[答案] (-∞,-1)∪(1,+∞)
9.已知函數f(x)=ax-x3,若對區(qū)間(0,1)上的任意x1,x2,且x1x2-x1成立,則實數a的取值范圍是________.
[解析] 問題等價于函數g(x)=f(x)-x在區(qū)間(0,1)上為增函數,即g′(x)=a-1-3x2≥0,即a≥1+3x2在(0,1)上恒成立,即a≥4,所以實數a的取值范圍
8、是[4,+∞).
[答案] [4,+∞)
三、解答題
10.已知函數f(x)=+-lnx-,其中a∈R,且曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線垂直于直線y=x.
(1)求a的值;
(2)求函數f(x)的單調區(qū)間.
[解] (1)對f(x)求導得f′(x)=--,由f(x)在點(1,f(1))處的切線垂直于直線y=x知f′(1)=--a=-2,解得a=.
(2)由(1)知f(x)=+-lnx-,則f′(x)=.
令f′(x)=0,解得x=-1或x=5.
因為x=-1不在f(x)的定義域(0,+∞)內,故舍去.
當x∈(0,5)時,f′(x)<0,
故f(x)在(0,
9、5)內為減函數;
當x∈(5,+∞)時,f′(x)>0,
故f(x)在(5,+∞)內為增函數.
綜上,f(x)的單調增區(qū)間為(5,+∞),單調減區(qū)間為(0,5).
[能力提升]
11.已知函數f(x)=xsinx,x∈R,則f,f(1),f的大小關系為( )
A.f>f(1)>f
B.f(1)>f>f
C.f>f(1)>f
D.f>f>f(1)
[解析] 由f(-x)=(-x)sin(-x)=xsinx=f(x),知f(x)是偶函數.
f′(x)=sinx+xcosx,當00,所以f(x)在(0,)上為增函數.又0<<1<<,所以f
10、因為f=f,
所以f>f(1)>f.故選A.
[答案] A
12.(20xx·湖北華北師大附中模擬)若f(x)=ex+ae-x為偶函數,則f(x-1)<的解集為( )
A.(2,+∞) B.(0,2)
C.(-∞,2) D.(-∞,0)∪(2,+∞)
[解析] 由f(x)=ex+ae-x為偶函數,得f(x)-f(-x)=(1-a)(ex-e-x)=0恒成立,所以a=1,即f(x)=ex+e-x,則f′(x)=ex-e-x.當x∈(-∞,0)時,f′(x)<0;x∈(0,+∞)時,f′(x)>0,即f(x)在(-∞,0)上單調遞減,在(0,+∞)上單調遞增,且圖象關于y軸對稱.由f
11、(x-1)<=f(1)得|x-1|<1,解得00).
設g(x)=2x2+(a-6)x+a(x>0),
因為函數f(x)在(0,3)上不是單調函數,
等價于函數g(x)=2x2+(a-6)x+a(x>0)在(0,3)上不會恒大于零或恒小于零.
又g(0)=a,g(3)=4a,所以
解得0
12、(0,2).
[答案] (0,2)
14.(20xx·山東卷)若函數exf(x)(e=2.71828…是自然對數的底數)在f(x)的定義域上單調遞增,則稱函數f(x)具有M性質.下列函數中所有具有M性質的函數的序號為________.
①f(x)=2-x;②f(x)=3-x;③f(x)=x3;④f(x)=x2+2.
[解析] ①因為f(x)=2-x的定義域為R,又exf(x)=ex·2-x=x在R上單調遞增,故f(x)=2-x具有M性質.
②因為f(x)=3-x的定義域為R,又exf(x)=ex·3-x=x在R上單調遞減,故f(x)=3-x不具有M性質.
③因為f(x)=x3的定義
13、域為R,又exf(x)=ex·x3,構造函數g(x)=ex·x3,則g′(x)=ex·x3+ex·3x2=x2ex(x+3),當x>-3時,g′(x)>0,當x<-3時,g′(x)<0,所以exf(x)=ex·x3在(-∞,-3)上單調遞減,在(-3,+∞)上單調遞增,故f(x)=x3不具有M性質.
④因為f(x)=x2+2的定義域為R,又exf(x)=ex(x2+2),構造函數h(x)=ex(x2+2),則h′(x)=ex(x2+2)+ex·2x=ex[(x+1)2+1]>0,所以exf(x)=ex(x2+2)在R上單調遞增,故f(x)=x2+2具有M性質.故填①④.
[答案] ①④
14、15.(20xx·全國卷Ⅱ改編)已知函數f(x)=lnx+a(1-x).
(1)討論f(x)的單調性;
(2)若f(x)在(2,+∞)上為單調函數,求實數a的取值范圍.
[解] (1)f(x)的定義域為(0,+∞),f′(x)=-a.若a≤0,則f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上單調遞增;若a>0,則當x∈時,f′(x)>0;當x∈時,f′(x)<0,所以f(x)在上單調遞增,在上單調遞減.
∴綜上當a≤0時f(x)在(0,+∞)單調遞增.
當a>0時f(x)在單調遞增,在單調遞減.
(2)由(1)知,當a≤0時,f(x)在(0,+∞)上單調遞增,符合要求;當a>0時,f(x
15、)在上單調遞減,則2≥,即a≥.∴實數a的取值范圍是(-∞,0]∪.
16.(20xx·全國卷Ⅰ)已知函數f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2.討論f(x)的單調性.
[解] f′(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).
(ⅰ)設a≥0,則當x∈(-∞,1)時,f′(x)<0;當x∈(1,+∞)時,f′(x)>0,所以f(x)在(-∞,1)上單調遞減,在(1,+∞)上單調遞增.
(ⅱ)設a<0,由f′(x)=0得x=1或x=ln(-2a).
①若a=-,則f′(x)=(x-1)(ex-e),所以f(x)在(-∞,+∞)單調遞增.
②若a>-,則ln(-
16、2a)<1,故當x∈(-∞,ln(-2a))∪(1,+∞)時,f′(x)>0;當x∈(ln(-2a),1)時,f′(x)<0,所以f(x)在(-∞,ln(-2a)),(1,+∞)上單調遞增,在(ln(-2a),1)上單調遞減.
③若a<-,則ln(-2a)>1,故當x∈(-∞,1)∪(ln(-2a),+∞)時,f′(x)>0;當x∈(1,ln(-2a))時,f′(x)<0,所以f(x)在(-∞,1),(ln(-2a),+∞)上單調遞增,在(1,ln(-2a))上單調遞減.
[延伸拓展]
已知函數f(x)=-2x2+lnx(a>0).若函數f(x)在[1,2]上為單調函數,則a的取值范圍是________.
[解析] f′(x)=-4x+,若函數f(x)在[1,2]上為單調函數,即f′(x)=-4x+≥0或f′(x)=-4x+≤0在[1,2]上恒成立即≥4x-或≤4x-在[1,2]上恒成立.令h(x)=4x-,則h(x)在[1,2]上單調遞增,所以≥h(2)或≤h(1),即≥或≤3,又a>0,所以0