高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 考前數(shù)學(xué)思想領(lǐng)航 二 數(shù)形結(jié)合思想講學(xué)案 理

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1、 二、數(shù)形結(jié)合思想 以形助數(shù)(數(shù)題形解) 以數(shù)輔形(形題數(shù)解)   借助形的生動(dòng)性和直觀性來(lái)闡述數(shù)之間的關(guān)系,把數(shù)轉(zhuǎn)化為形,即以形作為手段,數(shù)作為目的解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想   借助于數(shù)的精確性和規(guī)范性及嚴(yán)密性來(lái)闡明形的某些屬性,即以數(shù)作為手段,形作為目的解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想   數(shù)形結(jié)合思想通過(guò)“以形助數(shù),以數(shù)輔形”,使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化,抽象問(wèn)題具體化,能夠變抽象思維為形象思維,有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì),它是數(shù)學(xué)的規(guī)律性與靈活性的有機(jī)結(jié)合 方法一 函數(shù)圖象數(shù)形溝通法 模型解法 函數(shù)圖象數(shù)形溝通法,即通過(guò)函數(shù)圖象來(lái)分析和解決函數(shù)問(wèn)題的方法,對(duì)于高中數(shù)學(xué)函數(shù)貫穿始終,因此這種

2、方法是最常用的溝通方法.破解此類(lèi)題的關(guān)鍵點(diǎn): ①分析數(shù)理特征,一般解決問(wèn)題時(shí)不能精確畫(huà)出圖象,只能通過(guò)圖象的大概性質(zhì)分析問(wèn)題,因此需要確定能否用函數(shù)圖象解決問(wèn)題. ②畫(huà)出函數(shù)圖象,畫(huà)出對(duì)應(yīng)的函數(shù)、轉(zhuǎn)化的函數(shù)或構(gòu)造函數(shù)的圖象. ③數(shù)形轉(zhuǎn)化,這個(gè)轉(zhuǎn)化實(shí)際是借助函數(shù)圖象將難以解決的數(shù)理關(guān)系明顯化. ④得出結(jié)論,通過(guò)觀察函數(shù)圖象得出相應(yīng)的結(jié)論. 典例1 設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)是最小正周期為2π的偶函數(shù),f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù).當(dāng)x∈[0,π]時(shí),0≤f(x)≤1;當(dāng)x∈(0,π)且x≠時(shí),f′(x)>0.則函數(shù)y=f(x)-sin x在[-3π,3π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(  ) A.

3、4 B.5 C.6 D.8 解析 ∵當(dāng)x∈[0,π]時(shí),0≤f(x)≤1,f(x)是最小正周期為2π的偶函數(shù), ∴當(dāng)x∈[-3π,3π]時(shí),0≤f(x)≤1. ∵當(dāng)x∈(0,π)且x≠時(shí),f′(x)>0, ∴當(dāng)x∈時(shí),f(x)為單調(diào)減函數(shù); 當(dāng)x∈時(shí),f(x)為單調(diào)增函數(shù), ∵當(dāng)x∈[0,π]時(shí),0≤f(x)≤1, 定義在R上的函數(shù)f(x)是最小正周期為2π的偶函數(shù),在同一坐標(biāo)系中作出y=sin x和y=f(x)的草圖如圖, 由圖知y=f(x)-sin x在[-3π,3π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為6,故選C. 答案 C 思維升華 由函數(shù)圖象的變換能較快畫(huà)出函數(shù)圖象,應(yīng)該

4、掌握平移(上下左右平移)、翻折(關(guān)于特殊直線翻折)、對(duì)稱(中心對(duì)稱和軸對(duì)稱)等基本轉(zhuǎn)化法與函數(shù)解析式的關(guān)系. 跟蹤演練1 已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且f(-x-1)=f(x-1),當(dāng)x∈[-1,0]時(shí),f(x)=-x3,則關(guān)于x的方程f(x)=|cos πx|在上的所有實(shí)數(shù)解之和為(  ) A.-7 B.-6 C.-3 D.-1 答案 A 解析 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為偶函數(shù),所以f(-x-1)=f(x+1)=f(x-1),所以函數(shù)f(x)的周期為2,如圖,在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y=f(x)與y=|cos πx|的圖象, 由圖知關(guān)于x的方程f(x)=|co

5、s πx|在上的實(shí)數(shù)解有7個(gè).不妨設(shè)7個(gè)解中x1

6、是否具有幾何意義. ②進(jìn)行轉(zhuǎn)化,把要解決的代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題. ③得出結(jié)論,將幾何問(wèn)題得出的結(jié)論回歸到代數(shù)問(wèn)題中,進(jìn)而得出結(jié)論. 典例2 如果實(shí)數(shù)x,y滿足(x-2)2+y2=3,則的最大值為(  ) A. B. C. D. 解析 方程(x-2)2+y2=3的幾何意義為坐標(biāo)平面上的一個(gè)圓,圓心為M(2,0),半徑為r=(如圖),而=則表示圓M上的點(diǎn)A(x,y)與坐標(biāo)原點(diǎn)O(0,0)的連線的斜率. 所以該問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)A在以M(2,0)為圓心,以為半徑的圓上移動(dòng),求直線OA的斜率的最大值. 由圖可知當(dāng)∠OAM在第一象限,且直線OA與圓M相切時(shí),OA的斜率最大, 此時(shí)

7、OM=2,AM=,OA⊥AM,則OA==1,tan∠AOM==,故的最大值為,故選D. 答案 D 思維升華 解決此類(lèi)問(wèn)題需熟悉幾何結(jié)構(gòu)的代數(shù)形式,一般從構(gòu)成幾何圖形的基本因素進(jìn)行分析,主要有 (1)比值——可考慮直線的斜率. (2)二元一次式——可考慮直線的截距. (3)根式分式——可考慮點(diǎn)到直線的距離. (4)根式——可考慮兩點(diǎn)間的距離. 跟蹤演練2 設(shè)點(diǎn)P(x,y)滿足:則-的取值范圍是(  ) A. B.C. D.[-1,1] 答案 B 解析 作出不等式組所表示的可行域,如圖陰影部分所示(包括邊界),其中A(2,1),B(1,2),令t=,f(t)=t-,根據(jù)t的

8、幾何意義可知,t為可行域內(nèi)的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率,連接OA,OB,顯然OA的斜率最小,OB的斜率2最大,即≤t≤2.由于函數(shù)f(t)=t-在上單調(diào)遞增,故-≤f(t)≤,即-的取值范圍是. 方法三 圓錐曲線數(shù)形溝通法 模型解法 圓錐曲線數(shù)形溝通法是根據(jù)圓錐曲線中許多對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度、數(shù)式等都具有一定的幾何意義,挖掘題目中隱含的幾何意義,采用數(shù)形結(jié)合思想,快速解決某些相應(yīng)的問(wèn)題.破解此類(lèi)題的關(guān)鍵點(diǎn): ①畫(huà)出圖形,畫(huà)出滿足題設(shè)條件的圓錐曲線的圖形,以及相應(yīng)的線段、直線等. ②數(shù)形求解,通過(guò)數(shù)形結(jié)合,利用圓錐曲線的定義、性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、圓與圓錐曲線的位置關(guān)系等進(jìn)行分析與求解.

9、 ③得出結(jié)論,結(jié)合題目條件進(jìn)行分析,得出所要求解的結(jié)論. 典例3 已知點(diǎn)P在拋物線y2=4x上,那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q(2,-1)的距離與點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)的距離之和取得最小值時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(  ) A. B. C.(1,2) D.(1,-2) 解析 點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)P到拋物線準(zhǔn)線的距離,如圖所示,設(shè)焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)P作準(zhǔn)線的垂線,垂足為S,則|PF|+|PQ|=|PS|+|PQ|,故當(dāng)S,P,Q三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值,此時(shí)P,Q的縱坐標(biāo)都是-1,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x0,代入y2=4x得x0=,故點(diǎn)P的坐標(biāo)為,故選A. 答案 A 思維升華 破解圓錐曲線問(wèn)題的關(guān)鍵是畫(huà)出相應(yīng)的圖

10、形,注意數(shù)和形的相互滲透,并從相關(guān)的圖形中挖掘?qū)?yīng)的信息進(jìn)行研究.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化有兩種,一種是通過(guò)數(shù)形結(jié)合建立相應(yīng)的關(guān)系式,另一種是通過(guò)代數(shù)形式轉(zhuǎn)化為二元二次方程組的解的問(wèn)題進(jìn)行討論. 跟蹤演練3 已知拋物線的方程為x2=8y,F(xiàn)是其焦點(diǎn),點(diǎn)A(-2,4),在此拋物線上求一點(diǎn)P,使△APF的周長(zhǎng)最小,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_______. 答案  解析 因?yàn)?-2)2<8×4, 所以點(diǎn)A(-2,4)在拋物線x2=8y的內(nèi)部,如圖所示,設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為l, 過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥l于點(diǎn)Q,過(guò)點(diǎn)A作AB⊥l于點(diǎn)B,連接AQ,由拋物線的定義可知,△APF的周長(zhǎng)為|PF|+|PA|+|AF|=|PQ|+|PA|+|AF|≥|AQ|+|AF|≥|AB|+|AF|,當(dāng)且僅當(dāng)P,B,A三點(diǎn)共線時(shí),△APF的周長(zhǎng)取得最小值,即|AB|+|AF|. 因?yàn)锳(-2,4),所以不妨設(shè)△APF的周長(zhǎng)最小時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-2,y0),代入x2=8y,得y0=, 故使△APF的周長(zhǎng)最小的點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

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