《高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 考前數(shù)學(xué)思想領(lǐng)航 二 數(shù)形結(jié)合思想講學(xué)案 理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 考前數(shù)學(xué)思想領(lǐng)航 二 數(shù)形結(jié)合思想講學(xué)案 理（6頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
二、數(shù)形結(jié)合思想
以形助數(shù)(數(shù)題形解)
以數(shù)輔形(形題數(shù)解)
借助形的生動性和直觀性來闡述數(shù)之間的關(guān)系，把數(shù)轉(zhuǎn)化為形，即以形作為手段，數(shù)作為目的解決數(shù)學(xué)問題的數(shù)學(xué)思想
借助于數(shù)的精確性和規(guī)范性及嚴(yán)密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的解決問題的數(shù)學(xué)思想
數(shù)形結(jié)合思想通過“以形助數(shù)，以數(shù)輔形”，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，它是數(shù)學(xué)的規(guī)律性與靈活性的有機結(jié)合
方法一 函數(shù)圖象數(shù)形溝通法
模型解法
函數(shù)圖象數(shù)形溝通法，即通過函數(shù)圖象來分析和解決函數(shù)問題的方法，對于高中數(shù)學(xué)函數(shù)貫穿始終，因此這種
2、方法是最常用的溝通方法．破解此類題的關(guān)鍵點：
①分析數(shù)理特征，一般解決問題時不能精確畫出圖象，只能通過圖象的大概性質(zhì)分析問題，因此需要確定能否用函數(shù)圖象解決問題．
②畫出函數(shù)圖象，畫出對應(yīng)的函數(shù)、轉(zhuǎn)化的函數(shù)或構(gòu)造函數(shù)的圖象．
③數(shù)形轉(zhuǎn)化，這個轉(zhuǎn)化實際是借助函數(shù)圖象將難以解決的數(shù)理關(guān)系明顯化．
④得出結(jié)論，通過觀察函數(shù)圖象得出相應(yīng)的結(jié)論．
典例1 設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)是最小正周期為2π的偶函數(shù)，f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)．當(dāng)x∈[0，π]時，0≤f(x)≤1；當(dāng)x∈(0，π)且x≠時，f′(x)>0.則函數(shù)y＝f(x)－sin x在[－3π，3π]上的零點個數(shù)為( )
A．
3、4 B．5
C．6 D．8
解析 ∵當(dāng)x∈[0，π]時，0≤f(x)≤1，f(x)是最小正周期為2π的偶函數(shù)，
∴當(dāng)x∈[－3π，3π]時，0≤f(x)≤1.
∵當(dāng)x∈(0，π)且x≠時，f′(x)>0，
∴當(dāng)x∈時，f(x)為單調(diào)減函數(shù)；
當(dāng)x∈時，f(x)為單調(diào)增函數(shù)，
∵當(dāng)x∈[0，π]時，0≤f(x)≤1，
定義在R上的函數(shù)f(x)是最小正周期為2π的偶函數(shù)，在同一坐標(biāo)系中作出y＝sin x和y＝f(x)的草圖如圖，
由圖知y＝f(x)－sin x在[－3π，3π]上的零點個數(shù)為6，故選C.
答案 C
思維升華 由函數(shù)圖象的變換能較快畫出函數(shù)圖象，應(yīng)該
4、掌握平移(上下左右平移)、翻折(關(guān)于特殊直線翻折)、對稱(中心對稱和軸對稱)等基本轉(zhuǎn)化法與函數(shù)解析式的關(guān)系．
跟蹤演練1 已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(－x－1)＝f(x－1)，當(dāng)x∈[－1,0]時，f(x)＝－x3，則關(guān)于x的方程f(x)＝|cos πx|在上的所有實數(shù)解之和為( )
A．－7 B．－6
C．－3 D．－1
答案 A
解析 因為函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，所以f(－x－1)＝f(x＋1)＝f(x－1)，所以函數(shù)f(x)的周期為2，如圖，在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y＝f(x)與y＝|cos πx|的圖象，
由圖知關(guān)于x的方程f(x)＝|co
5、s πx|在上的實數(shù)解有7個．不妨設(shè)7個解中x1
6、是否具有幾何意義．
②進行轉(zhuǎn)化，把要解決的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題．
③得出結(jié)論，將幾何問題得出的結(jié)論回歸到代數(shù)問題中，進而得出結(jié)論．
典例2 如果實數(shù)x，y滿足(x－2)2＋y2＝3，則的最大值為( )
A. B. C. D.
解析 方程(x－2)2＋y2＝3的幾何意義為坐標(biāo)平面上的一個圓，圓心為M(2,0)，半徑為r＝(如圖)，而＝則表示圓M上的點A(x，y)與坐標(biāo)原點O(0，0)的連線的斜率．
所以該問題可轉(zhuǎn)化為動點A在以M(2,0)為圓心，以為半徑的圓上移動，求直線OA的斜率的最大值．
由圖可知當(dāng)∠OAM在第一象限，且直線OA與圓M相切時，OA的斜率最大，
此時
7、OM＝2，AM＝，OA⊥AM，則OA＝＝1，tan∠AOM＝＝，故的最大值為，故選D.
答案 D
思維升華 解決此類問題需熟悉幾何結(jié)構(gòu)的代數(shù)形式，一般從構(gòu)成幾何圖形的基本因素進行分析，主要有
(1)比值——可考慮直線的斜率．
(2)二元一次式——可考慮直線的截距．
(3)根式分式——可考慮點到直線的距離．
(4)根式——可考慮兩點間的距離．
跟蹤演練2 設(shè)點P(x，y)滿足：則－的取值范圍是( )
A. B.C. D．[－1,1]
答案 B
解析 作出不等式組所表示的可行域，如圖陰影部分所示(包括邊界)，其中A(2,1)，B(1,2)，令t＝，f(t)＝t－，根據(jù)t的
8、幾何意義可知，t為可行域內(nèi)的點與坐標(biāo)原點連線的斜率，連接OA，OB，顯然OA的斜率最小，OB的斜率2最大，即≤t≤2.由于函數(shù)f(t)＝t－在上單調(diào)遞增，故－≤f(t)≤，即－的取值范圍是.
方法三 圓錐曲線數(shù)形溝通法
模型解法
圓錐曲線數(shù)形溝通法是根據(jù)圓錐曲線中許多對應(yīng)的長度、數(shù)式等都具有一定的幾何意義，挖掘題目中隱含的幾何意義，采用數(shù)形結(jié)合思想，快速解決某些相應(yīng)的問題．破解此類題的關(guān)鍵點：
①畫出圖形，畫出滿足題設(shè)條件的圓錐曲線的圖形，以及相應(yīng)的線段、直線等．
②數(shù)形求解，通過數(shù)形結(jié)合，利用圓錐曲線的定義、性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、圓與圓錐曲線的位置關(guān)系等進行分析與求解．
9、
③得出結(jié)論，結(jié)合題目條件進行分析，得出所要求解的結(jié)論．
典例3 已知點P在拋物線y2＝4x上，那么點P到點Q(2，－1)的距離與點P到拋物線焦點的距離之和取得最小值時，點P的坐標(biāo)為( )
A. B.
C．(1,2) D．(1，－2)
解析 點P到拋物線焦點的距離等于點P到拋物線準(zhǔn)線的距離，如圖所示，設(shè)焦點為F，過點P作準(zhǔn)線的垂線，垂足為S，則|PF|＋|PQ|＝|PS|＋|PQ|，故當(dāng)S，P，Q三點共線時取得最小值，此時P，Q的縱坐標(biāo)都是－1，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為x0，代入y2＝4x得x0＝，故點P的坐標(biāo)為，故選A.
答案 A
思維升華 破解圓錐曲線問題的關(guān)鍵是畫出相應(yīng)的圖
10、形，注意數(shù)和形的相互滲透，并從相關(guān)的圖形中挖掘?qū)?yīng)的信息進行研究．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化有兩種，一種是通過數(shù)形結(jié)合建立相應(yīng)的關(guān)系式，另一種是通過代數(shù)形式轉(zhuǎn)化為二元二次方程組的解的問題進行討論．
跟蹤演練3 已知拋物線的方程為x2＝8y，F(xiàn)是其焦點，點A(－2,4)，在此拋物線上求一點P，使△APF的周長最小，此時點P的坐標(biāo)為________．
答案
解析 因為(－2)2<8×4，
所以點A(－2,4)在拋物線x2＝8y的內(nèi)部，如圖所示，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為l，
過點P作PQ⊥l于點Q，過點A作AB⊥l于點B，連接AQ，由拋物線的定義可知，△APF的周長為|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PQ|＋|PA|＋|AF|≥|AQ|＋|AF|≥|AB|＋|AF|，當(dāng)且僅當(dāng)P，B，A三點共線時，△APF的周長取得最小值，即|AB|＋|AF|.
因為A(－2,4)，所以不妨設(shè)△APF的周長最小時，點P的坐標(biāo)為(－2，y0)，代入x2＝8y，得y0＝，
故使△APF的周長最小的點P的坐標(biāo)為.
高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 考前數(shù)學(xué)思想領(lǐng)航 二 數(shù)形結(jié)合思想講學(xué)案 理
