2013-2017高考數(shù)學分類匯編-文科 第二章 函數(shù) 第2節(jié) 函數(shù)的基本性質——奇偶性、單調(diào)性、周期性

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1、 第二章 函數(shù) 第2節(jié) 函數(shù)的基本性質——奇偶性、單調(diào)性、周期性 題型15 函數(shù)的奇偶性 1. （2013山東文3）已知函數(shù)為奇函數(shù)，且當時，，則（ ）. A. B. C. D. 1.分析 利用奇函數(shù)的性質求解. 解析 當時，，所以. 因為為奇函數(shù)，所以.故選A. 2. (2013浙江文11） 已知函數(shù)，若，則實數(shù)____________. 2.分析 直接代入求解. 解析 因為，所以，即. 3. （2014廣東文5）下列函數(shù)為奇函數(shù)的是（ ）. A. B.

2、 C. D. 4.（2014重慶文4）下列函數(shù)為偶函數(shù)的是（ ）. 5.（2014新課標Ⅰ文5）設函數(shù),的定義域都為，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則下列結論中正確的是（ ） A.是偶函數(shù) B. 是奇函數(shù) C.是奇函數(shù) D. 是奇函數(shù) 6.（2014湖南文15）若是偶函數(shù)，則 . 7.（2015安徽文4）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又存在零點的是（ ）. A． B． C． D． 7. 解析 選項A：的定義域為，故不具備奇偶性.故A錯誤； 選項B：是偶

3、函數(shù)，但無解，即不存在零點.故B錯誤； 選項C：是奇函數(shù).故C錯誤； 選項D：是偶函數(shù)，且由，可得.故D正確. 故選D. 評注 1. 考查函數(shù)的奇偶性；2. 考查零點. 8.（2015北京文3）下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是（ ）. A. B. C. D. 8. 解析 函數(shù)為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，與為非奇 非偶函數(shù).故選B. 9.（2015福建文3）下列函數(shù)為奇函數(shù)的是（ ）. A． B． C． D． 9.解析 函數(shù)和是非奇非偶函數(shù)； 是偶函數(shù)；是奇函數(shù).故選D. 評注 考查函數(shù)的奇偶性． 10.（20

4、15廣東文3）下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是（ ）. A． B． C． D． 10. 解析 函數(shù)的定義域為，關于原點對稱. 因為，，所以函數(shù)既不是奇函數(shù)， 也不是偶函數(shù).故選D. 評注 1.考查函數(shù)的奇偶性；2. 特殊值法的應用． 11.（2015湖南文8）設函數(shù)，則是（ ）. A.奇函數(shù)，且在上是增函數(shù) B. 奇函數(shù)，且在上是減函數(shù) C.偶函數(shù)，且在上是增函數(shù) D. 偶函數(shù)，且在上是減函數(shù) 11. 解析 由已知的定義域為，關于原點對稱. 又因為，所以為奇函數(shù)

5、. ，當時，，即在上為增函數(shù). 故選A. 12.（2015陜西文9）設，則（ ）. A. 既是奇函數(shù)又是減函數(shù) B. 既是奇函數(shù)又是增函數(shù) C. 是有零點的減函數(shù) D. 是沒有零點的奇函數(shù) 12. 解析 因為，，所以， 又的定義域為，關于原點對稱，所以是奇函數(shù)； 因為是增函數(shù).因為，所以有零點.故選B. 13.（2015湖北文21）設函數(shù)，的定義域均為，且是奇函數(shù)，是 偶函數(shù)， ，其中為自然對數(shù)的底數(shù). (1)求，的解析式，并證明：當時，，； (2)設，，證明：當時，. 13. 解析 (1)由，的奇偶性及條件

6、 ① 得 ② 聯(lián)立式①式②解得，. 當時，，，故. ③ 又由基本不等式，有，即. ④ (2)由(1)得 ， ⑤ ， ⑥ 當時，等價于， ⑦ 等價于 ⑧ 設函數(shù) ，由式⑤式⑥， 有 當時， （1）若，由式③式④，得，故在上為增函數(shù)， 從而，即，故式⑦

7、成立. （2）若，由③④，得，故在上為減函數(shù)， 從而，即，故式⑧成立. 綜合式⑦式⑧，得. 14.（2016山東文9）已知函數(shù)的定義域為. 當時，； 當時，； 時， ，則（ ）. A. B. C. D. 14. D 解析 由知，當時， 的周期為，所以.又當時，，所以. 于是.故選D. 15.（2016全國丙文16）已知為偶函數(shù)，當時，，則曲線在點處的切線方程是____________. 15. 解析 當時，，又因為為偶函數(shù)，所以，，，所以曲線在點處的切線方程.

8、 16.（2017全國2文14）已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當時，,則 . 16.解析 因為是定義在上的奇函數(shù)，所以. 題型16 函數(shù)的單調(diào)性 1.（2014北京文2）下列函數(shù)中，定義域是且為增函數(shù)的是（ ）. A. B. C. D. 1. 解析 在上為減函數(shù)；是定義域為的增函數(shù)；的定義域為；在上不單調(diào)，故選B. 2.（2014陜西文7）下列函數(shù)中，滿足“”的單調(diào)遞增函數(shù)是（ ）. A. B. C. D. 3.（2014湖南文4）下列

9、函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（ ）. A. B. C. D. 4.（2014新課標Ⅱ文11）若函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）. A. B. C. D. 5.（2014天津文12）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是________. 6.（2015福建文15）若函數(shù)滿足，且在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的最小值等于_______． 6.解析 由，得函數(shù)關于對稱，故，則. 由復合函數(shù)單調(diào)性得在上單調(diào)遞增，故，所以實數(shù)的最小值等于1． 評注 考查函數(shù)的圖像與性質． 7.（2016北京文4）下

10、列函數(shù)中，在區(qū)間上為減函數(shù)的是（ ）. A. B. C. D. 7. D 解析 選項A錯誤：因為在區(qū)間上為增函數(shù)； 選項B錯誤：在上不單調(diào)，如； 選項C錯誤：函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)； 選項D正確：指數(shù)函數(shù)在R上為減函數(shù). 故選D. 8.（2016浙江文7）已知函數(shù)滿足：且，下列選項正確的是（ ）. A.若，則 B.若，則 C.若，則 D.若，則 8. B 解析 若，由條件知，則，所以.故選項B正確，其他3個選項可選特殊的函數(shù)逐一進行排除.故選B. 9.（2016

11、北京文16）已知函數(shù)的最小正周期為. （1）求的值； （2）求的單調(diào)遞增區(qū)間. 9. 解析 （1）因為， 所以的最小正周期.依題意，解得. （2）由（1）知，.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為. 由，得. 所以的單調(diào)遞增區(qū)間為. 10.（2016全國丙文21）設函數(shù). （1）討論的單調(diào)性； （2）證明當時，； （3）設，證明當時，. 10.解析 (1)，當時，；當時， ，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. （2）由（1）知，在處取得最大值，最大值為. 所以時，.故當時，，，即. (3)由題設，設，則，令，， 解得.當時，， 單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減.由（2）知，，故

12、， 又，故當時，.所以當時， . 11.（2017全國2文8）函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）. A. B. C. D. 11.解析 若使函數(shù)有意義，則，解得或，結合二次函數(shù)的單調(diào)性、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和復合函數(shù)同增異減的原則可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為. 故選D. 題型17 函數(shù)的周期性 1.（2016江蘇11）設是定義在上且周期為的函數(shù)，在區(qū)間上，其中，若，則的值是 . 1. 11， 解析 由題意得，. 由，可得，則. 2.（2016北京文16）已知函數(shù)的最小正周期為. （1）求

13、的值； （2）求的單調(diào)遞增區(qū)間. 2. 解析 （1）因為， 所以的最小正周期.依題意，解得. （2）由（1）知，.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為. 由，得. 所以的單調(diào)遞增區(qū)間為. 題型18 函數(shù)性質的綜合 1.(2013重慶文9) 已知函數(shù)，，則（ ）. A. B. C. D. 1.分析 運用奇函數(shù)性質，整體換元求解. 解析 因為與（即）互為倒數(shù)，所以與互為相反數(shù). 不妨令，則， 而， 故，故選C. 2. (2013天津文7）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)， 且在區(qū)間上單調(diào)遞增. 若實數(shù)

14、滿足， 則的取值范圍是( ). A. B. C. D. 2.分析 根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性得出關于的不等式求解. 解析 因為所以原不等式可化為 又因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以即因為是偶函數(shù)，所以 又在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以所以 綜上可知故選C. 3. (2013天津文8)設函數(shù). 若實數(shù)滿足 ， 則( ). A. B. C. D. 3.分析 首先確定的范圍，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解. 解析 因為所以是增函數(shù).因為的定義域是所以所以是上的增函數(shù). 因為所以 因為所以所以故選A. 4. (2013湖南文

15、4） 已知是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且， ，則等于（ ）. A. B. C. D. 4.分析 根據(jù)奇、偶函數(shù)的性質，將和轉化為列方程組求解. 解析 是奇函數(shù)，所以.又是偶函數(shù)，所以. 因為，所以. ? 又，所以. ? 由??，得.故選B. 5. (2013福建文13）已知函數(shù) . 5.分析 分步求函數(shù)值，先內(nèi)后外. 解析 因為，所以，所以. 6．(20

16、13福建文16）設，是的兩個非空子集，如果存在一個從到的函數(shù)滿足：（i）（ii）對任意當時，恒有 那么稱這兩個集合“保序同構”，現(xiàn)給出以下對集合： ① ② ③ 其中，“保序同構”的集合對的序號是_______.（寫出“保序同構”的集合對的序號）. 6.分析 舉例說明有符合條件的函數(shù)即可. 解析 ①取，符合題意. ②取，符合題意. ③取，符合題意.答案：①②③. 7. （2014浙江文7）已知函數(shù)，且，則（ ）. A. B. C. D. 8.（2014大綱文12）奇函數(shù)的定義域為R，若為偶函數(shù)，

17、且，則（ ）. A． B． C．0 D．1 9.（2014山東文9）對于函數(shù)，若存在常數(shù)，使得取定義域內(nèi)的每一個值，都有，則稱為準偶函數(shù)，下列函數(shù)中是準偶函數(shù)的是（ ）. A. B. C. D. 10. （2014安徽文14）若函數(shù)是周期為的奇函數(shù)，且在上的解析式為，則 . 10. 解析 依題意得， ， 因此，. 11.（2014新課標Ⅱ文15）已知偶函數(shù)的圖像關于直線對稱，，則 . 12.（2014四川文13）設是定義在上的周期為

18、的函數(shù)，當時，，則____________. 13.（2014浙江文15）設函數(shù)，若，則_________. 14. （2014安徽文15）若直線與曲線滿足下列兩個條件： （1）直線在點處與曲線相切； （2）曲線在附近位于直線的兩側，則稱直線在點處“切過”曲線. 下列命題正確的是 . （寫出所有正確命題的編號） ① 直線在點處“切過”曲線：； ② 直線在點處“切過”曲線：； ③ 直線在點處“切過”曲線：； ④ 直線在點處“切過”曲線：； ⑤ 直線在點處“切過”曲線：. 14. 解析 ①直線在處與曲線相切，且曲線位于直線的兩

19、側，①對；②直線不是曲線在處的切線，②錯；③中，，因此曲線在處的切線為，設，則，即是增函數(shù)，又，從而當時，，當時，，即曲線在附近位于直線的兩側，③正確；④中，，因此曲線在處的切線為，設，則，即在上是減函數(shù)，且，同③得④正確；⑤中，，因此曲線在處的切線為，設，則，當時，，當時，，因此當時，，因此曲線在附近位于直線的一側，故⑤錯誤.因此答案為①③④. 評注 本題考查導數(shù)的幾何意義及導數(shù)在函數(shù)中的應用，解題時結合圖像可簡化運算和推理的過程 15.（2014四川文15）以表示值域為的函數(shù)組成的集合，表示具有如下性質的函數(shù)組成的集合：對于函數(shù)，存在一個正數(shù)，使得函數(shù)的值域包含于區(qū)間.例如，當，時，

20、，.現(xiàn)有如下命題： ①設函數(shù)的定義域為，則“”的充要條件是“，，”； ②若函數(shù)，則有最大值和最小值； ③若函數(shù)，的定義域相同，且，，則； ④若函數(shù)有最大值，則. 其中的真命題有____________（寫出所有真命題的序號）. 16.（2016天津文6）已知是定義在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，若實數(shù)滿足，則的取值范圍是（ ）. A. B. C. D. 16. C 解析 由題意得.故選C. 17.（2016上海文18）設是定義域為的三個函數(shù)，對于下列命題：①若，，均為增函數(shù)，則中均為增函數(shù)；②若，，均是以為周期的函數(shù)，則均是以為周

21、期的函數(shù)，下列判斷正確的是（ ）. A.①和②均為真命題 B.①和②均為假命題 C.①為真命題，②為假命題 D.①為假命題，②為真命題 17.解析 ①不成立，可舉反例. 增函數(shù)加增函數(shù)必為增函數(shù)，增函數(shù)加減函數(shù)未必單調(diào)遞減，這跟速度有關，因此可以舉分段一次函數(shù)的形式，從速度快慢上控制. 如：，， .故①錯誤. ②由題意，， ，前兩式求和后與第三式作差得， 同理可得，，故②正確.故選D. 評注 按照②的邏輯，得到有一步是將增函數(shù)減去增函數(shù)，初想其未必就一定是增函數(shù). 18.（2016四川文14）若函數(shù)是定義在上的周期為的

22、奇函數(shù)，當時，，則 . 18. 解析 因為函數(shù)是定義在上的周期為的奇函數(shù)，所以，，所以. 19.（2016浙江文12）設函數(shù).已知，且，，則實數(shù)_____，______. 19. ； 解析 解法一：， ， 所以 ，解得 . 解法二： ，所以， 由， 所以，將帶入，解得或（舍去）.即，所以. 20.（2016上海文23）已知，函數(shù). （1）當時，解不等式； （2）若關于的方程的解集中恰有一個元素，求的值； （3）設，若對任意，函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值的差不超過，求的取值范圍. 20.解析 （1）由，得，解得. （2）有且僅有一解，等價于有且僅有一

23、解，等價于有且僅有一解. 當時，，符合題意；當時，，. 綜上所述，或. （3）當時，，，所以在上單調(diào)遞減.因此在上單調(diào)遞減，故只需滿足， 即，所以， 即，設，則，. 當時， ； 當時，，又函數(shù)在單調(diào)遞減， 所以.故.故的取值范圍為. 評注 第（3）問還可從二次函數(shù)的角度考查，由整理得對任意成立.因為，函數(shù)的對稱軸，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.所以當時，有最小值，由，得.故的取值范圍為. 21.（2017全國1文9）已知函數(shù)，則（ ）. A.在上單調(diào)遞增 B.在上單調(diào)遞減 C.的圖像關于直線對稱 D.的圖像關于點對稱 21.解析

24、由題意知，，所以的圖像關于直線 對稱，選項C正確，選項D錯誤，又，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，選項A，B錯誤.故選C. 22.（2017北京文5）已知函數(shù)，則（ ）. A.是偶函數(shù)，且在上是增函數(shù) B.是奇函數(shù)，且在上是增函數(shù) C.是偶函數(shù)，且在上是減函數(shù) D.是奇函數(shù)，且在上是減函數(shù) 22.解析 解法一：的定義域為，關于原點對稱，由，可得為奇函數(shù)．由在上是增函數(shù)， 在上是減函數(shù)，易知在上是增函數(shù)．故選B． 解法二：作為選擇題，也可以代特殊值進去，由，可猜是奇函數(shù)，的定義域為，由，，可猜是增函數(shù).故選B． 解法三：由，可得為奇函數(shù)．由，所以在上為增函數(shù).故選B． 解

25、法四：令，且，則 . 因為，所以，所以. 又因為，所以，所以.所以在上為增函數(shù)，因為在上為奇函數(shù)，且，所以在上為增函數(shù).故選B． 23.（2017天津文6）已知奇函數(shù)在上是增函數(shù).若，，，則的大小關系為（ ）. A. B. C. D. 23.解析 因為在上是奇函數(shù)，所以，又因為在上是增函數(shù)，且，所以，即.故選C． 24.（2017山東文14）已知是定義在上的偶函數(shù)，且.若當時，，則 . 24.解析 因為，所以，又因為是偶函數(shù)，所以. 25.（2017江蘇11）已知函數(shù)， 其中是自然對數(shù)的底數(shù)．若，則實數(shù)的取值范圍是 ． 25.解析 易知的定義域為， 因為，所以是奇函數(shù)． 又，且不恒成立，所以在上單調(diào)遞增． 因為，所以，于是，即，解得．故填．