廣西桂林市逸仙中學(xué)高二數(shù)學(xué) 《二項式定理》課件

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1、二二 項項 式式 定定 理理(a+b)2 = a2 +2ab+b2 (a+b)3=a3 + 3a2b+3ab2 + b3 那么將那么將(a+b)4 ，(a+b)5 . . .展開后，它們展開后，它們的各項是什么呢？的各項是什么呢？引入引入C20 a2 + C21 ab+ C22 b2= C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3(a+b)2 (a+b) (a+b) 展開后其項的形式為：展開后其項的形式為：a2 ， ab ， b2這三項的系數(shù)為各項在展開式中出現(xiàn)的次數(shù)。考慮這三項的系數(shù)為各項在展開式中出現(xiàn)的次數(shù)?？紤]b恰有恰有1個取個取b的情況有的情況有C21種，則種，則ab前的系

2、數(shù)為前的系數(shù)為C21恰有恰有2個取個取b的情況有的情況有C22 種，則種，則b2前的系數(shù)為前的系數(shù)為C22每個都不取每個都不取b的情況有的情況有1種，即種，即C20 ,則則a2前的系前的系數(shù)為數(shù)為C20(a+b)2 = a2 +2ab+b2 C20 a2 + C21 ab+ C22 b2(a+b)3=a3 + 3a2b+3ab2 + b3= C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3對對(a+b)(a+b)2 2展開式的分析展開式的分析(a+b)4 (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)？問題：問題：1)(a+b)4展開后各項形式分別是什么？展開后各項形式分別是什么？2)

3、各項前的系數(shù)代表著什么？各項前的系數(shù)代表著什么？3)你能分析說明各項前的系數(shù)嗎？你能分析說明各項前的系數(shù)嗎？a4 a3b a2b2 ab3 b4各項前的系數(shù)各項前的系數(shù) 代表著這些項在展開式代表著這些項在展開式中出現(xiàn)的次數(shù)中出現(xiàn)的次數(shù)每個都不取每個都不取b的情況有的情況有1種，即種，即C40 ,則則a4前的前的系數(shù)為系數(shù)為C40恰有恰有1個取個取b的情況有的情況有C41種，則種，則a3b前的系數(shù)為前的系數(shù)為C41恰有恰有2個取個取b的情況有的情況有C42 種，則種，則a2b2前的系數(shù)為前的系數(shù)為C42恰有恰有3個取個取b的情況有的情況有C43 種，則種，則ab3前的系數(shù)為前的系數(shù)為C43恰有恰

4、有4個取個取b的情況有的情況有C44種，則種，則b4前的系數(shù)為前的系數(shù)為C44則則 (a+b)4 C40 a4 C41 a3b C42 a2b2 C43 ab3 C44 b43)你能分析說明各項前的系數(shù)嗎？你能分析說明各項前的系數(shù)嗎？a4 a3b a2b2 ab3 b4二項展開式定理二項展開式定理右邊的多項式叫做右邊的多項式叫做(a+b)n的的二項展開式二項展開式注注1）二項展開式共有）二項展開式共有n+1項項2）各項中）各項中a的指數(shù)從的指數(shù)從n起依次減小起依次減小1，到，到0為此為此各項中各項中b的指數(shù)從的指數(shù)從0起依次增加起依次增加1，到，到n為此為此Cnr an-rbr：二項展開式的：

5、二項展開式的通項通項，記作，記作Tr+1Cnr ： 二項式系數(shù)二項式系數(shù)一般地，對于一般地，對于n N*有有如如(1+x)n =1+ Cn1 x+ Cn2 x2 Cnr xr + xn011222()nnnnnnnrnrrnnnnabC aC abC abC abC b 練習(xí)：世紀(jì)金榜第103頁基礎(chǔ)梳理通項公式通項公式 將二項式展開式中第將二項式展開式中第r+1項的一般表達式項的一般表達式 叫做二項展開式中第叫做二項展開式中第r+1項的二項式系數(shù)項的二項式系數(shù) 叫做二項展開式的通項公式，叫做二項展開式的通項公式， rncrnc Tr+1= an-rbr (r=0,1 , 2 , 3 , n)

6、注注 意意 通項通項Tr+1是展開式的第是展開式的第r+1項；項；項數(shù)項數(shù)r+1與指標(biāo)與指標(biāo)r不一致（相差不一致（相差1）。）。 通項公式中項數(shù)是從小到大，由左到右的通項公式中項數(shù)是從小到大，由左到右的 順序排列相加的，通項順序排列相加的，通項Tr+1= an-rbr 是是(a+b)n 的展開式的第的展開式的第r+1項，但不是項，但不是(b+a)n的第的第r+1項項 雖然雖然(a+b)n= (b+a)n 。 rnc應(yīng)應(yīng) 用用:4111)x例例 ： 展展 開開 （ 解解:41223344411111)1()()()CCCxxxx （ 4441()Cx 類型之一：二項式定理的正用和逆用234464

7、11.xxxx 11211111nnnkn knknnnxCxCxC 0n例 、化簡：C11111111nnnn kknknnnxCxCxC 0n解：原式=C 11nx .nx例例3、求、求(2a+b)5的展開式的的展開式的(1)第三項；第三項；(2)第第三項的二項式系數(shù)；三項的二項式系數(shù)；(3)第三項的系數(shù)。第三項的系數(shù)。(3) T3=80a 3b2 第三項的系數(shù)是第三項的系數(shù)是8025C解解: (1) T3T2+1 (2a)5-2b2 =80a 3b2 (2) =10 第三項的二項式系數(shù)是第三項的二項式系數(shù)是1025C類型之二：利用通項公式求二項展開式中的指定項特別注意：該項的二項式的系數(shù)

8、與該項的系數(shù)的不同閱讀世紀(jì)金榜第104頁疑難聚焦突破例例4、求（、求（x+a)12的展開式中的倒數(shù)第的展開式中的倒數(shù)第4項項831)xxx 例例5 5：求求（的的展展開開式式中中 的的系系數(shù)數(shù)。解解:12()13,xa的展開式有項 倒數(shù)第4項是它的第10項.912 99399 112220.TC xax a解解:8181()rrrrTC xx923,r由得r=3.33984.xC 3故 的系數(shù)為(-1)9 29( 1).rrrC x1寫出寫出(PQ)7的展開式的展開式解：解：70716252343434525667777777777()p qC pC p q C p qC p qC p qC

9、p qC pqC q7652433425677213535217pp qp qp qp qp qpqq練習(xí)：課本第練習(xí)：課本第117頁的練習(xí)頁的練習(xí)2求求(2A3B)6的展開式的第的展開式的第3項項242422 16(2 ) (3 )2160TCaba b解：解：3求求(3B2A)6的展開式的第的展開式的第3項項解：解：242422 16(3 ) (2 )4860TCbab a4寫出寫出 的展開式的第的展開式的第R+1項。項。 解：解：331()2nxx32121rnrnrrxCT5 5填空：填空：( (X X3 32 2X X) )7 7的展開式的第的展開式的第 4 4項的二項式系數(shù)是項的二

10、項式系數(shù)是 ，第第 4 4項的系數(shù)是項的系數(shù)是 35280 3433742xxCT 153732xC 6選擇題：選擇題： (x1)10的展開式的第的展開式的第6項的系數(shù)是項的系數(shù)是( ) (A) (B) (C) (D) 610C610C510C510CD55105551061xCxCT(a+b)n= an + an-1 b1 + an-rbr + + bn 0nc1ncrncnnc 將二項式展開式中第將二項式展開式中第r+1項的一般表達式項的一般表達式 Tr+1= an-rbr (r=0,1 , 2 , 3 , n) 叫做二項展開式的通項公式，叫做二項展開式的通項公式， 叫做二項展開式中第叫做

11、二項展開式中第r+1項項 的的二項式系數(shù)二項式系數(shù)。 rncrnc二項式定理的特點二項式定理的特點 1.系數(shù)規(guī)律：系數(shù)規(guī)律：2.指數(shù)規(guī)律：指數(shù)規(guī)律： 各項的次數(shù)均為各項的次數(shù)均為n；二項和的第；二項和的第 一項一項a的次數(shù)由的次數(shù)由n降到降到0， 第二項第二項 b的次數(shù)由的次數(shù)由0升到升到n.3.項數(shù)規(guī)律：項數(shù)規(guī)律：二項式的的展開式共有二項式的的展開式共有n+1個項個項4.二項式的展開的形式是關(guān)于二項式的展開的形式是關(guān)于a與與b 的齊次的齊次 多項式多項式. 、 、 、 0nc1nc2ncnnc一次項的系數(shù)。展開式中求選作：xxx5223 121作業(yè)：課本第頁習(xí)題10.4的第2、4題10333xx例3：求展開式中所有的有理項。r+1解：通項公式為T10 23103rrrCx1023010,rZrrz依題意有102,3rk kZ令31023 ,5.2rkrk則即,rZk應(yīng)為偶數(shù)。k 可取2,0,-2，即r可取2,5,8.369第 項，第 項，第 項為有理項，它們分別是258226821010103,3,3.Cx CCx