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1、
第79講 圓錐曲線中的定點和定值問題的解法
【知識要點】
一、 定點問題:對滿足一定條件曲線上兩點連結(jié)所得直線過定點或滿足一定條件的曲線過定點問題,
證明直線過定點,一般有兩種方法.(1)特殊探求,一般證明:即可以先考慮動直線或曲線的特殊情況,找出定點的位置,然后證明該定點在該直線或該曲線上(定點的坐標直線或曲線的方程后等式恒成立).(2)分離參數(shù)法:一般可以根據(jù)需要選定參數(shù),結(jié)合已知條件求出直線或曲線的方程,分離參數(shù)得到等式,(一般地,為關(guān)于的二元一次關(guān)系式)由上述原理可得方程組,從而求得該定點.
二、定值問題:在幾何問題中,有些幾何量與參數(shù)無關(guān),這就構(gòu)成了定值問題,定值問題的處
2、理常見的方法有:(1)特殊探究,一般證明.(2)直接求題目給定的對象的值,證明其結(jié)果是一個常數(shù).
【方法講評】
題型一
定點問題
方法一
特殊探求,一般證明:即可以先考慮動直線或曲線的特殊情況,找出定點的位置,然后證明
該定點在該直線或該曲線上(定點的坐標直線或曲線的方程后等式恒成立).
方法二
分離參數(shù)法:若等式對恒成立,則同時成立,運用這一原理,可以證明直線或曲線過定點問題.一般可以根據(jù)需要選定參數(shù),結(jié)合已知條件求出直線或曲線的方程,分離參數(shù)得到等式,(一般地,為關(guān)于的二元一次關(guān)系式)由上述原理可得方程組,從而求得該定點.
【例1】 設(shè)點和是拋物線上原點以外的兩個動點,且
3、,求證直
線過定點.
【解析一】取寫出直線的方程;再取寫出直線的方程;最后求出兩條直線的交點,得交點為.
設(shè),直線的方程為,
由題意得兩式相減得 ,即,
直線的方程為,整理得 ①
【點評】(1)證明直線過定點,一般有兩種方法.方法一:特殊探求,一般證明:即可以先考慮動直線
或曲線的特殊情況,找出定點的位置,然后證明該定點在該直線或該曲線上(定點的坐標直線或曲線的方程后等式恒成立).方法二:分離參數(shù)法:若等式對恒成立,則同時成立,運用這一原理,可以證明直線或曲線過定點問題.一般可以根據(jù)需要選定參數(shù),結(jié)合已知條件求出直線或
4、曲線的方程,分離參數(shù)得到等式,(一般地,為關(guān)于的二元一次關(guān)系式)由上述原理可得方程組,從而求得該定點.(2)解析一使用的就是方法一,解析二使用的就是方法二. 大家注意靈活選擇.
【反饋檢測1】已知橢圓的中心在坐標原點,焦點在軸上,橢圓上的點到焦點距離的最大值為,最小值為.
(Ⅰ)求橢圓的標準方程;(Ⅱ)若直線與橢圓相交于,兩點(不是左右頂點),且以為直徑的圓過橢圓的右頂點,求證:直線過定點,并求出該定點的坐標.
【反饋檢測2】在直角坐標系中,橢圓 的離心率,且過點,橢圓的長軸的兩端點為,點為橢圓上異于的動點,定直線與直線、分別交于兩點.
(1)求橢圓的方程;
5、
(2)在軸上是否存在定點經(jīng)過以為直徑的圓,若存在,求定點坐標;若不存在,說明理由.
題型二
定值問題
方法一
特殊探究,一般證明.
方法二
直接求題目給定的對象的值,證明其結(jié)果是一個常數(shù).
【例2】過拋物線:(>0)的焦點作直線交拋物線于兩點,若線段與的長分別為,則的值必等于( ).
A. B. C. D.
又由,消去得
∴,
【點評】定值問題的處理常見的方法有:(1)特殊探究,一般證明.(2)直接
6、求題目給定的對象的值,證明其結(jié)果是一個常數(shù).
【反饋檢測3】橢圓的離心率為,且過點.
(1)求橢圓的方程;
(2)若分別是橢圓的左、右頂點,動點滿足,且交橢圓于不同于的點,求證:為定值.
【反饋檢測4】如圖,為橢圓的左右焦點,是橢圓的兩個頂點,,,若點在橢圓上,則點稱為點的一個“橢點”.直線與橢圓交于兩點,兩點的“橢點”分別為,已知以為直徑的圓經(jīng)過坐標原點.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)試探討的面積是否為定值?若為定值,求出該定值;若不為定值,請說明理由.
高中數(shù)學(xué)常見題型解法歸納及反饋檢測第79講:
圓錐曲線中的定點和定值問
7、題的解法參考答案
【反饋檢測1答案】(1);(2)直線過定點,定點坐標為.
(Ⅱ)設(shè),,
聯(lián)立
得,
又,
因為以為直徑的圓過橢圓的右焦點,
,即,
,
,
.
【反饋檢測2答案】(1);(2)存在,.
【反饋檢測2詳細解析】(1),橢圓的方程為.
(2)設(shè)、的斜率分別為.即,
由知,
由知,的中點.
以為直徑的圓的方程為,
令,
,即,解得或,
存在定點經(jīng)過以為直徑的圓.
【反饋檢測3答案】(1)(2)
【反饋檢測4答案】(1);(2)的面積為定值1.
【反饋檢測4詳細解析】(1)由題可得解得,故橢圓的標準方程為.
(2)設(shè),,則,.由,即.(*)
①當直線的斜率不存在時,.
②當直線的斜率存在時,設(shè)其直線為,聯(lián)立得
,則,,同理,代入(*),整理得,此時,,∴. 綜上,的面積為定值1.
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