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1、
第79講 圓錐曲線中的定點和定值問題的解法
【知識要點】
一、 定點問題：對滿足一定條件曲線上兩點連結(jié)所得直線過定點或滿足一定條件的曲線過定點問題，
證明直線過定點，一般有兩種方法.（1）特殊探求，一般證明：即可以先考慮動直線或曲線的特殊情況，找出定點的位置，然后證明該定點在該直線或該曲線上（定點的坐標(biāo)直線或曲線的方程后等式恒成立）.（2）分離參數(shù)法：一般可以根據(jù)需要選定參數(shù)，結(jié)合已知條件求出直線或曲線的方程，分離參數(shù)得到等式，（一般地，為關(guān)于的二元一次關(guān)系式）由上述原理可得方程組，從而求得該定點.
二、定值問題：在幾何問題中，有些幾何量與參數(shù)無關(guān)，這就構(gòu)成了定值問題，定值問題的處
2、理常見的方法有：（1）特殊探究，一般證明.（2）直接求題目給定的對象的值，證明其結(jié)果是一個常數(shù).
【方法講評】
題型一
定點問題
方法一
特殊探求，一般證明：即可以先考慮動直線或曲線的特殊情況，找出定點的位置，然后證明
該定點在該直線或該曲線上（定點的坐標(biāo)直線或曲線的方程后等式恒成立）.
方法二
分離參數(shù)法：若等式對恒成立，則同時成立，運用這一原理，可以證明直線或曲線過定點問題.一般可以根據(jù)需要選定參數(shù)，結(jié)合已知條件求出直線或曲線的方程，分離參數(shù)得到等式，（一般地，為關(guān)于的二元一次關(guān)系式）由上述原理可得方程組，從而求得該定點.
【例1】 設(shè)點和是拋物線上原點以外的兩個動點，且
3、，求證直
線過定點.
【解析一】取寫出直線的方程；再取寫出直線的方程；最后求出兩條直線的交點，得交點為.
設(shè)，直線的方程為，
由題意得兩式相減得 ，即，
直線的方程為，整理得 ①
【點評】（1）證明直線過定點，一般有兩種方法.方法一：特殊探求，一般證明：即可以先考慮動直線
或曲線的特殊情況，找出定點的位置，然后證明該定點在該直線或該曲線上（定點的坐標(biāo)直線或曲線的方程后等式恒成立）.方法二：分離參數(shù)法：若等式對恒成立，則同時成立，運用這一原理，可以證明直線或曲線過定點問題.一般可以根據(jù)需要選定參數(shù)，結(jié)合已知條件求出直線或
4、曲線的方程，分離參數(shù)得到等式，（一般地，為關(guān)于的二元一次關(guān)系式）由上述原理可得方程組，從而求得該定點.（2）解析一使用的就是方法一，解析二使用的就是方法二. 大家注意靈活選擇.
【反饋檢測1】已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點，焦點在軸上，橢圓上的點到焦點距離的最大值為，最小值為．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準方程；（Ⅱ）若直線與橢圓相交于，兩點（不是左右頂點），且以為直徑的圓過橢圓的右頂點，求證：直線過定點，并求出該定點的坐標(biāo)．
【反饋檢測2】在直角坐標(biāo)系中,橢圓 的離心率,且過點,橢圓的長軸的兩端點為,點為橢圓上異于的動點,定直線與直線、分別交于兩點.
（1）求橢圓的方程；
5、
（2）在軸上是否存在定點經(jīng)過以為直徑的圓,若存在,求定點坐標(biāo)；若不存在,說明理由.
題型二
定值問題
方法一
特殊探究，一般證明.
方法二
直接求題目給定的對象的值，證明其結(jié)果是一個常數(shù).
【例2】過拋物線：（＞0）的焦點作直線交拋物線于兩點，若線段與的長分別為，則的值必等于（ ）．
A． B． C． D．
又由，消去得
∴，
【點評】定值問題的處理常見的方法有：（1）特殊探究，一般證明.（2）直接
6、求題目給定的對象的值，證明其結(jié)果是一個常數(shù).
【反饋檢測3】橢圓的離心率為，且過點．
（1）求橢圓的方程；
（2）若分別是橢圓的左、右頂點，動點滿足，且交橢圓于不同于的點，求證：為定值．
【反饋檢測4】如圖，為橢圓的左右焦點，是橢圓的兩個頂點，，，若點在橢圓上，則點稱為點的一個“橢點”.直線與橢圓交于兩點，兩點的“橢點”分別為，已知以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點.
（1）求橢圓的標(biāo)準方程；
（2）試探討的面積是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，請說明理由.
高中數(shù)學(xué)常見題型解法歸納及反饋檢測第79講：
圓錐曲線中的定點和定值問
7、題的解法參考答案
【反饋檢測1答案】（1）；（2）直線過定點，定點坐標(biāo)為．
（Ⅱ）設(shè)，，
聯(lián)立
得，
又，
因為以為直徑的圓過橢圓的右焦點，
，即，
，
，
．
【反饋檢測2答案】(1)；(2)存在，.
【反饋檢測2詳細解析】（1）,橢圓的方程為.
（2）設(shè)、的斜率分別為.即,
由知,
由知,的中點.
以為直徑的圓的方程為,
令,
,即,解得或,
存在定點經(jīng)過以為直徑的圓.
【反饋檢測3答案】（1）（2）
【反饋檢測4答案】（1）；（2）的面積為定值1.
【反饋檢測4詳細解析】（1）由題可得解得，故橢圓的標(biāo)準方程為.
（2）設(shè)，，則，.由，即.（*）
①當(dāng)直線的斜率不存在時，.
②當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)其直線為，聯(lián)立得
，則，，同理，代入（*），整理得，此時，，∴. 綜上，的面積為定值1.
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2018年高考數(shù)學(xué) 常見題型解法歸納反饋訓(xùn)練 第79講 圓錐曲線中的定點和定值問題的解法
