同步優(yōu)化探究理數(shù)北師大版練習(xí)：第十章 第九節(jié)　離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布 Word版含解析

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1、課時作業(yè) A組——基礎(chǔ)對點(diǎn)練 1．(2015·高考湖北卷)設(shè)X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，這兩個正態(tài)分布密度曲線如圖所示．下列結(jié)論中正確的是(　　) A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1) B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1) C．對任意正數(shù)t，P(X≤t)≥P(Y≤t) D．對任意正數(shù)t，P(X≥t)≥P(Y≥t) 解析：由正態(tài)分布密度曲線的性質(zhì)可知，X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)的密度曲線分別關(guān)于直線x＝μ1，x＝μ2對稱，因此結(jié)合題中所給圖像可得，μ1＜μ2，所以P(Y≥μ2)＜P(Y≥μ1)，故A錯誤．又X～N(μ1，σ)的密度曲線較Y～N(μ2，σ)的密

2、度曲線“瘦高”，所以σ1＜σ2，所以P(X≤σ2)＞P(X≤σ1)，B錯誤．對任意正數(shù)t，P(X≤t)≥P(Y≤t)，P(X≥t)≤P(Y≥t)，C正確，D錯誤． 答案：C 2．(2018·長沙模擬)一臺儀器每啟動一次都隨機(jī)地出現(xiàn)一個5位的二進(jìn)制數(shù) (例如：若a1＝a3＝a5＝1，a2＝a4＝0，則A＝10101)，其中二進(jìn)制數(shù)A的各位數(shù)中，已知a1＝1，ak(k＝2,3,4,5)出現(xiàn)0的概率為，出現(xiàn)1的概率為，記X＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5，現(xiàn)在儀器啟動一次，則E(X)＝(　　) A.　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：法一：X的所有可能取值為1,2,3,4,5，

3、P(X＝1)＝C40＝，P(X＝2)＝C31＝，P(X＝3)＝C22＝，P(X＝4)＝C13＝，P(X＝5)＝C04＝，所以E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝. 法二：由題意，X的所有可能取值為1,2,3,4,5，設(shè)Y＝X－1，則Y的所有可能取值為0,1,2,3,4，因此Y～B(4，)，所以E(Y)＝4×＝，從而E(X)＝E(Y＋1)＝E(Y)＋1＝＋1＝. 答案：B 3．已知袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上n號的有n個(n＝1,2,3,4)．現(xiàn)從袋中任取一球，X表示所取球的標(biāo)號．若η＝aX＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，則a＋b的值是(　　) A．1或

4、2 B．0或2 C．2或3 D．0或3 解析：由題意可知，X的所有可能取值為0,1,2,3,4，E(X)＝×0＋×1＋×2＋×3＋×4＝， D(X)＝×2＋×2＋×(2－)2＋×2＋×2＝. 由D(η)＝a2D(X)，得a2×＝11，即a＝±2. 又E(η)＝aE(X)＋b，所以當(dāng)a＝2時，由1＝2×＋b， 得b＝－2，此時a＋b＝0. 當(dāng)a＝－2時，由1＝－2×＋b，得b＝4，此時a＋b＝2.故選B. 答案：B 4．若隨機(jī)事件A在1次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為p(0＜p＜1)，用隨機(jī)變量ξ表示A在1次試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)，則的最大值為(　　) A．2＋2 B．2 C．2－

5、D．2－2 解析：隨機(jī)變量ξ的所有可能取值為0,1，且P(ξ＝1)＝p，P(ξ＝0)＝1－p，即ξ～B(1，p)，根據(jù)公式得E(ξ)＝p，D(ξ)＝p(1－p)，則＝2－.而2p＋≥2＝2，當(dāng)且僅當(dāng)2p＝，即p＝時取等號．因此當(dāng)p＝時，取得最大值2－2. 答案：D 5．若某科技小制作課的模型制作規(guī)則是：每位學(xué)生最多制作3次，一旦制作成功，則停止制作，否則可制作3次．設(shè)某學(xué)生一次制作成功的概率為p(p≠0)，制作次數(shù)為X，若X的數(shù)學(xué)期望E(X)＞，則p的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 解析：由已知條件可得P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝

6、(1－p)2p＋(1－p)3＝(1－p)2，則E(X)＝P(X＝1)＋2P(X＝2)＋3P(X＝3)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3＞，解得p＞或p＜，又p∈(0,1]，可得p∈，故選C. 答案：C 6．(2015·高考廣東卷)已知隨機(jī)變量X服從二項分布B(n，p)．若E(X)＝30，D(X)＝20，則p＝ . 解析：由得p＝. 答案： 7．已知X是離散型隨機(jī)變量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，且x1＜x2.若E(X)＝，D(X)＝，則x1＋x2的值為 ． 解析：由題意得X的所有可能取值為x1，x

7、2，所以E(X)＝x1＋x2＝，D(X)＝2＋2＝，整理得， 解得或(舍去)，故x1＋x2＝3. 答案：3 8．(2018·淄博模擬)某4S店在一次促銷活動中，讓每位參與者從盒子中任取一個由0～9中任意三個數(shù)字組成的“三位遞減數(shù)”(即個位數(shù)字小于十位數(shù)字，十位數(shù)字小于百位數(shù)字)．若“三位遞減數(shù)”中的三個數(shù)字之和既能被2整除又能被5整除，則可以享受5萬元的優(yōu)惠；若“三位遞減數(shù)”中的三個數(shù)字之和僅能被2整除，則可以享受3萬元的優(yōu)惠；其他結(jié)果享受1萬元的優(yōu)惠． (1)試寫出所有個位數(shù)字為4的“三位遞減數(shù)”； (2)若小明參加了這次汽車促銷活動，求他得到的優(yōu)惠金額X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)

8、． 解析：(1)個位數(shù)字為4的“三位遞減數(shù)”有：984,974,964,954,874,864,854,764,754,654，共10個． (2)由題意，不同的“三位遞減數(shù)”共有C＝120(個)． 小明得到的優(yōu)惠金額X的取值可能為5,3,1. 當(dāng)X＝5時，三個數(shù)字之和可能為20或10， 當(dāng)三個數(shù)字之和為20時，有983,974,965,875，共4個“三位遞減數(shù)”； 當(dāng)三個數(shù)字之和為10時，有910,820,730,721,640,631,541,532，共8個“三位遞減數(shù)”， 所以P(X＝5)＝＝. 當(dāng)X＝3時，三個數(shù)字之和只能被2整除，即這三個數(shù)字只能是三個偶數(shù)或兩個奇數(shù)一

9、個偶數(shù)，但不包括能被10整除的“三位遞減數(shù)”， 故P(X＝3)＝＝＝. 故P(X＝1)＝1－P(X＝5)－P(X＝3)＝1－－＝. 所以他得到的優(yōu)惠金額X的分布列為 X 5 3 1 P 數(shù)學(xué)期望E(X)＝5×＋3×＋1×＝2.2(萬元)． 9．(2018·唐山模擬)退休年齡延遲是平均預(yù)期壽命延長和人口老齡化背景下的一種趨勢．某機(jī)構(gòu)為了解某城市市民的年齡構(gòu)成，按1%的比例從年齡在20～80歲(含20歲和80歲)之間的市民中隨機(jī)抽取600人進(jìn)行調(diào)查，并將年齡按[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]進(jìn)

10、行分組，繪制成頻率分布直方圖，如圖所示．規(guī)定年齡在[20,40)歲的人為“青年人”，[40,60)歲的人為“中年人”，[60,80]歲的人為“老年人”． (1)根據(jù)頻率分布直方圖估計該城市60歲以上(含60歲)的人數(shù)，若每一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值來代表，試估算所調(diào)查的600人的平均年齡； (2)將上述人口分布的頻率視為該城市年齡在20～80歲的人口分布的概率，從該城市年齡在20～80歲的市民中隨機(jī)抽取3人，記抽到“老年人”的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望. 解析：(1)由頻率分布直方圖可知60歲以上(含60歲)的頻率為(0.01＋0.01)×10＝0.2， 故樣本

11、中60歲以上(含60歲)的人數(shù)為600×0.2＝120，故該城市60歲以上(含60歲)的人數(shù)為120÷1%＝12 000. 所調(diào)查的600人的平均年齡為 25×0.1＋35×0.2＋45×0.3＋55×0.2＋65×0.1＋75×0.1＝48(歲)． (2)法一：由頻率分布直方圖知，“老年人”所占的頻率為，所以從該城市年齡在20～80歲的市民中隨機(jī)抽取1人，抽到“老年人”的概率為， 分析可知X的所有可能取值為0,1,2,3， P(X＝0)＝C03＝， P(X＝1)＝C12＝， P(X＝2)＝C21＝， P(X＝3)＝C30＝. 所以X的分布列為 X 0 1 2 3

12、 P E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 法二：由題意知每次抽到“老年人”的概率都是，且X～B(3，)，P(X＝k)＝ Ck3－k，k＝0,1,2,3， 所以X的分布列為 X 0 1 2 3 P 故E(X)＝3×＝. B組——能力提升練 1．(2018·南陽模擬)設(shè)隨機(jī)變量X～B(2，p)，隨機(jī)變量Y～B(3，p)，若P(X≥1)＝，則D(3Y＋1)＝(　　) A．2　　　　　　 B．3 C．6 D．7 解析：法一：由題意得P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝Cp(1－p)＋Cp2＝，所以p＝，則Y～B(3，)，故D(Y

13、)＝3××＝，所以D(3Y＋1)＝9D(Y)＝9×＝6. 法二：因?yàn)镻(X≥1)＝1－P(X＝0)＝，所以P(X＝0)＝C(1－p)2＝，所以p＝，則Y～B，故D(Y)＝3××＝，所以D(3Y＋1)＝9D(Y)＝9×＝6. 答案：C 2．已知甲、乙兩個工人在同樣的條件下生產(chǎn)某種材料，日生產(chǎn)量相等，每天出廢品的情況如表所示，則下列結(jié)論正確的是(　　) 工人 甲 乙 廢品數(shù) 0 1 2 3 0 1 2 3 概率 0.4 0.3 0.2 0.1 0.3 0.5 0.2 0 A.甲生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量比乙生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量好一些 B．乙生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量比甲生產(chǎn)的

14、產(chǎn)品質(zhì)量好一些 C．兩人生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量一樣好 D．無法判斷誰生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量好一些 解析：根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列可知甲生產(chǎn)的產(chǎn)品出廢品的平均值為0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1，乙生產(chǎn)的產(chǎn)品出廢品的平均值為0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＋3×0＝0.9，結(jié)合實(shí)際可知乙生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量比甲生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量好一些，故選B. 答案：B 3．已知隨機(jī)變量ξ的所有可能取值分別為1,2,3,4,5.若數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝4.2，則ξ取值為5的概率至少為(　　) A．0.1 B．0.15 C．0.2 D．0.25 解析：設(shè)ξ的取值為1,2,3,4,5的概率分別為p1，p

15、2，p3，p4，p5，pi∈[0,1]，i＝1,2,3,4,5，則p1＋p2＋p3＋p4＋p5＝1，則p1＋2p2＋3p3＋4(1－p1－p2－p3－p5)＋5p5＝4.2?p5＝0.2＋3p1＋2p2＋p3≥0.2，當(dāng)p1＝p2＝p3＝0時等號成立． 答案：C 4．(2018·西安模擬)前不久，社科院發(fā)布了2015年度“全國城市居民幸福排行榜”，北京市成為本年度最“幸福城”，隨后，某師大附中學(xué)生會組織部分同學(xué)，用“10分制”隨機(jī)調(diào)查“陽光”社區(qū)人們的幸福度，現(xiàn)從調(diào)查人群中隨機(jī)抽取16名，如圖所示的莖葉圖記錄了他們的幸福度分?jǐn)?shù)(以小數(shù)點(diǎn)前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點(diǎn)后一位數(shù)字為葉). (1

16、)指出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)； (2)若幸福度不低于9.5分，則稱該人的幸福度為“極幸福”．求從這16人中隨機(jī)選取3人，至多有1人是“極幸?！钡母怕剩? (3)以這16人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個社區(qū)的總體數(shù)據(jù)，若從該社區(qū)(人數(shù)很多)任選3人，記ξ表示抽到“極幸?！钡娜藬?shù)，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望． 解析：(1)眾數(shù)：8.6；中位數(shù)：8.75. (2)設(shè)Ai(i＝0,1,2,3)表示所取3人中有i個人是“極幸?！保炼嘤?人是“極幸?！庇洖槭录嗀，則P(A)＝P(A0)＋P(A1)＝＋＝. (3)法一：ξ的所有可能取值為0,1,2,3. P(ξ＝0)＝3＝；P(ξ＝1)＝C××2＝； P(

17、ξ＝2)＝C2×＝；P(ξ＝3)＝3＝. ξ的分布列為： ξ 0 1 2 3 P 所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝0.75. 法二：ξ的所有可能取值為0,1,2,3. 則ξ～B， P(ξ＝k)＝Ck3－k，k＝0,1,2,3. 所以E(ξ)＝3×＝0.75. 5．(2016·高考山東卷)甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個成語．在一輪活動中，如果兩人都猜對，則“星隊”得3分；如果只有一人猜對，則“星隊”得1分；如果兩人都沒猜對，則“星隊”得0分．已知甲每輪猜對的概率是，乙每輪猜對的概率是；每輪活動中甲、乙猜對與否互不影響

18、，各輪結(jié)果亦互不影響．假設(shè)“星隊”參加兩輪活動，求： (1)“星隊”至少猜對3個成語的概率； (2)“星隊”兩輪得分之和X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)． 解析：(1)記事件A：“甲第一輪猜對”， 記事件B：“乙第一輪猜對”， 記事件C：“甲第二輪猜對”， 記事件D：“乙第二輪猜對”， 記事件E：“‘星隊’至少猜對3個成語”． 由題意，E＝ABCD＋BCD＋ACD＋ABD＋ABC， 由事件的獨(dú)立性與互斥性， P(E)＝P(ABCD)＋P(BCD)＋P(ACD)＋P(ABD)＋P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)P(D)＋P()P(B)P(C)P(D)＋P(A)P()P(C)P

19、(D)＋P(A)P(B)P()P(D)＋P(A)P(B)P(C)P()＝×××＋2×＝， 所以“星隊”至少猜對3個成語的概率為. (2)由題意，隨機(jī)變量 X可能的取值為0,1,2,3,4,6. 由事件的獨(dú)立性與互斥性，得 P(X＝0)＝×××＝，P(X＝1)＝2×＝＝， P(X＝2)＝×××＋×××＋×××＋×××＝， P(X＝3)＝×××＋×××＝＝， P(X＝4)＝2× ＝＝， P(X＝6)＝×××＝＝. 可得隨機(jī)變量X的分布列為 X 0 1 2 3 4 6 P 所以數(shù)學(xué)期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋6×＝.