2019年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大二輪精準提分練習(xí)第二篇 第19練

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1、 第19練　 概率與統(tǒng)計的綜合問題[中檔大題規(guī)范練] [明晰考情]　1.命題角度：離散型隨機變量的分布列及期望是高考重點，常考查獨立事件的概率，超幾何分布和二項分布的期望等；概率統(tǒng)計的交匯處是近幾年命題的熱點.2.題目難度：中檔偏上難度. 考點一　互斥事件、相互獨立事件的概率 方法技巧　求復(fù)雜事件的概率，要正確分析復(fù)雜事件的構(gòu)成，看復(fù)雜事件是能轉(zhuǎn)化為幾個彼此互斥的事件的和事件還是能轉(zhuǎn)化為幾個相互獨立事件同時發(fā)生的積事件，然后用概率公式求解. 1.為振興旅游業(yè)，某省面向國內(nèi)發(fā)行總量為2 000萬張的熊貓優(yōu)惠卡，向省外人士發(fā)行的是熊貓金卡(簡稱金卡)，向省內(nèi)人士發(fā)行的是熊貓銀卡(簡稱

2、銀卡).某旅游公司組織了一個有36名游客的旅游團到該省名勝旅游，其中是省外游客，其余是省內(nèi)游客.在省外游客中有持金卡，在省內(nèi)游客中有持銀卡. (1)在該團中隨機采訪2名游客，求恰有1人持銀卡的概率； (2)在該團中隨機采訪2名游客，求其中持金卡與持銀卡人數(shù)相等的概率. 解　(1)由題意得省外游客有27人，其中9人持金卡；省內(nèi)游客有9人，其中6人持銀卡. 設(shè)事件A為“采訪該團2名游客，恰有1人持銀卡”， 則P(A)＝＝. 所以采訪該團2名游客，恰有1人持銀卡的概率是. (2)設(shè)事件B為“采訪該團2名游客，持金卡人數(shù)與持銀卡人數(shù)相等”， 事件B1為“采訪該團2名游客，0人持金卡，0

3、人持銀卡”， 事件B2為“采訪該團2名游客，1人持金卡，1人持銀卡”. P(B)＝P(B1)＋P(B2)＝＋＝＋＝. 所以采訪該團2名游客，持金卡人數(shù)與持銀卡人數(shù)相等的概率是. 2.某險種的基本保費為a(單位：元)，繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下： 上年度出險次數(shù) 0 1 2 3 4 ≥5 保費 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 設(shè)該險種一續(xù)保人一年內(nèi)出險次數(shù)與相應(yīng)概率如下： 一年內(nèi)出險次數(shù) 0 1 2 3 4 ≥5 概率 0.30 0.15 0.20 0.

4、20 0.10 0.05 (1)求一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率； (2)若一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費，求其保費比基本保費高出60%的概率. 解　(1)設(shè)A表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費”，則事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)大于1，故P(A)＝0.20＋0.20＋0.10＋0.05＝0.55. (2)設(shè)B表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費比基本保費高出60%”，則事件B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)大于3，故P(B)＝0.10＋0.05＝0.15. 又P(AB)＝P(B)， 故P(B|A)＝＝＝＝. 因此所求概率為. 3.某居民小區(qū)有兩個相互獨立的

5、安全防范系統(tǒng)(簡稱系統(tǒng))A和B，系統(tǒng)A和系統(tǒng)B在任意時刻發(fā)生故障的概率分別為和p. (1)若在任意時刻至少有一個系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為，求p的值； (2)求系統(tǒng)A在3次相互獨立的檢測中不發(fā)生故障的次數(shù)大于發(fā)生故障的次數(shù)的概率. 解　(1)設(shè)“至少有一個系統(tǒng)不發(fā)生故障”為事件C， 那么1－P()＝1－·p＝，解得p＝. (2)設(shè)“系統(tǒng)A在3次相互獨立的檢測中不發(fā)生故障的次數(shù)大于發(fā)生故障的次數(shù)”為事件D.“系統(tǒng)A在3次相互獨立的檢測中發(fā)生k次故障”為事件Dk. 則D＝D0＋D1，且D0，D1互斥. 依題意，得P(D0)＝C03＝3＝， P(D1)＝C2＝， 所以P(D)＝P(D0

6、)＋P(D1)＝＋＝. 所以系統(tǒng)A在3次相互獨立的檢測中不發(fā)生故障的次數(shù)大于發(fā)生故障的次數(shù)的概率為. 考點二 　隨機變量的分布列、期望與方差 方法技巧　(1)求離散型隨機變量的分布列的關(guān)鍵是正確理解隨機變量取每一個值所表示的具體事件，然后綜合應(yīng)用各類求概率的公式，求出概率. (2)如果隨機變量X能夠斷定服從超幾何分布或二項分布，則其概率可直接利用公式求解. 4.某公司在迎新年晚會上舉行抽獎活動，有甲、乙兩個抽獎方案供員工選擇. 方案甲：員工最多有兩次抽獎機會，每次抽獎的中獎率均為.第一次抽獎，若未中獎，則抽獎結(jié)束.若中獎，則通過拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣，決定是否繼續(xù)進行第二次抽獎.規(guī)定

7、：若拋出硬幣，反面朝上，員工則獲得500元獎金，不進行第二次抽獎；若正面朝上，員工則須進行第二次抽獎且在第二次抽獎中，若中獎，則獲得獎金1 000元；若未中獎，則所獲得的獎金為0元. 方案乙：員工連續(xù)三次抽獎，每次中獎率均為，每次中獎均可獲得獎金400元. (1)求某員工選擇方案甲進行抽獎所獲獎金X(元)的分布列； (2)試比較某員工選擇方案乙與選擇方案甲進行抽獎，哪個方案更劃算？ 解　(1)由題意得，X的所有可能取值為0，500，1 000， 則P(X＝0)＝＋××＝， P(X＝500)＝×＝， P(X＝1 000)＝××＝， 所以某員工選擇方案甲進行抽獎所獲獎金X(元)的分

8、布列為 X 0 500 1 000 P (2)由(1)可知，選擇方案甲進行抽獎所獲獎金X的期望E(X)＝500×＋1 000×＝520， 若選擇方案乙進行抽獎，中獎次數(shù)ξ～B， 則E(ξ)＝3×＝，抽獎所獲獎金Y的期望E(Y)＝E(400ξ)＝400E(ξ)＝480，故選擇方案甲較劃算. 5.中國鐵路客戶服務(wù)中心為方便旅客購買車票，推出三種購票方式：窗口購票、電話購票、網(wǎng)上購票，旅客任選一種購票方式.若甲、乙、丙3名旅客都準備購買火車票，并且這3名旅客選擇購票的方式是相互獨立的. (1)求這三名旅客中至少有兩人選擇網(wǎng)上購票的概率； (2)記這三名旅客購票方

9、式的種數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望. 解　(1)記“三名旅客中恰有兩人選擇網(wǎng)上購票”為事件A，“三名旅客都選擇網(wǎng)上購票”為事件B，且A，B互斥. 則P(A)＝C×2×＝，P(B)＝3＝. 因此，三名旅客中至少有兩人選擇網(wǎng)上購票的概率 P＝P(A)＋P(B)＝. (2)由題意知，ξ的所有可能取值為1，2，3， 則P(ξ＝1)＝C×3＝； P(ξ＝2)＝C×C×2×＝； P(ξ＝3)＝＝. 所以隨機變量ξ的分布列為 ξ 1 2 3 P 故ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝. 6.在心理學(xué)研究中，常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響，

10、具體方法如下：將參加試驗的志愿者隨機分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評價兩種心理暗示的作用.現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示. (1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率； (2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列與期望E(X). 解　(1)記接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件為M， 則P(M)＝＝. (2)由題意知，X可取的值為0，1，2，3，4，則

11、P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝. 因此X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P E(X)＝0＋1×＋2×＋3×＋4×＝2. 考點三 　概率與統(tǒng)計的綜合問題 方法技巧　對于將統(tǒng)計圖表和隨機變量相結(jié)合的綜合問題，首先要正確處理圖表數(shù)據(jù)，明確隨機變量的意義，然后判斷隨機變量分布的類型，求出分布列. 7.(2018·桂林模擬)甲、乙兩名運動員互不影響地進行四次射擊訓(xùn)練，根據(jù)以往的數(shù)據(jù)統(tǒng)計，他們射擊成績均不低于8環(huán)(成績環(huán)數(shù)以整數(shù)計)，且甲、乙射擊成績(環(huán)數(shù))的分布列如下： 甲

12、 環(huán)數(shù) 8 9 10 概率 p 乙 環(huán)數(shù) 8 9 10 概率 q (1)求p，q的值； (2)若甲、乙兩射手各射擊兩次，求四次射擊中恰有三次命中9環(huán)的概率； (3)若兩個射手各射擊1次，記兩人所得環(huán)數(shù)的差的絕對值為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望. 解　(1)由題意得p＝，q＝. (2)記事件C：甲命中一次9環(huán)，乙命中兩次9環(huán)，事件D：甲命中兩次9環(huán)，乙命中一次9環(huán)，則四次射擊中恰有三次命中9環(huán)為事件C＋D， ∴P(C＋D)＝C×××C2＋C2×C××＝. (3)ξ的取值分別為0，1，2， P(ξ＝0)＝×＋×＋×＝， P(ξ＝

13、1)＝×＋×＋×＋×＝， P(ξ＝2)＝×＋×＝， ∴ξ的分布列如下表： ξ 0 1 2 P ∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝. 8.(2018·全國Ⅰ)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品.檢驗時，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗，再根據(jù)檢驗結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗.設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0＜p＜1)，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨立. (1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p)，求f(p)的最大值點p0； (2)現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了20件，結(jié)果恰有2件

14、不合格品，以(1)中確定的p0作為p的值.已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為2元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用. ①若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗，這一箱產(chǎn)品的檢驗費用與賠償費用的和記為X，求E(X)； ②以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗？ 解　(1)20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p)＝Cp2·(1－p)18(0＜p＜1). 因此f′(p)＝C[2p(1－p)18－18p2(1－p)17]＝2Cp(1－p)17(1－10p)，0＜p＜1. 令f′(p)＝0，得p＝0.1. 當(dāng)p∈(0，0.1)時，f′(p

15、)＞0；當(dāng)p∈(0.1，1)時，f′(p)＜0. 所以f(p)的最大值點為p0＝0.1. (2)由(1)知，p＝0.1. ①令Y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知Y～B(180，0.1)，X＝20×2＋25Y，即X＝40＋25Y.所以E(X)＝E(40＋25Y)＝40＋25E(Y)＝40＋25×180×0.1＝490. ②若對余下的產(chǎn)品作檢驗，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗費用為400元. 由于E(X)＞400，故應(yīng)該對余下的產(chǎn)品作檢驗. 9.(2017·全國Ⅰ改編)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸(單位：cm)

16、.根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(μ，σ2). (1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件數(shù)，求P(X≥1)及X的數(shù)學(xué)期望； (2)一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進行檢查. (ⅰ)試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性； (ⅱ)下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸： 9.95　?10.12　9.96　 9.96　10.01　9.92　??9.98　10.04 10.26　9

17、.91　10.13　10.02　9.22　10.04　10.05　9.95 經(jīng)計算得＝i＝9.97，s＝＝≈0.212，其中xi為抽取的第i個零件的尺寸，i＝1，2，…，16. 用樣本平均數(shù)作為μ的估計值，用樣本標準差s作為σ的估計值，利用估計值判斷是否需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進行檢查？剔除(－3，＋3)之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計μ和σ(精確到0.01). 附：若隨機變量Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－3σ

18、的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率為0.002 6，故X～B(16，0.002 6). 因此P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.997 416≈0.040 8. X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝16×0.002 6＝0.041 6. (2)(ⅰ)如果生產(chǎn)狀態(tài)正常，一個零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0.002 6，一天內(nèi)抽取的16個零件中，出現(xiàn)尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.040 8，發(fā)生的概率很小，因此一旦發(fā)生這種情況，就有理由認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進行檢查，可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的. (ⅱ

19、)由＝9.97，s≈0.212，得μ的估計值為＝9.97，σ的估計值為＝0.212，由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個零件的尺寸在(－3，＋3)之外，因此需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進行檢查. 剔除(－3，＋3)之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為×(16×9.97－9.22)＝10.02. 因此μ的估計值為10.02. ＝16×0.2122＋16×9.972≈1 591.134. 剔除(－3，＋3)之外的數(shù)據(jù)9.22， 剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為×(1 591.134－9.222－15×10.022)≈0.008， 因此σ的估計值為≈0.09. 典例　(12分)某校工會對全校教職工每天收看世界

20、杯足球賽比賽的時間作了一次調(diào)查，得到如下頻數(shù)分布表： 收看時間(單位：小時) [0，1) [1，2) [2，3) [3，4) [4，5) [5，6] 收看人數(shù) 14 30 16 28 20 12 (1)若將每天收看比賽時間不低于3小時的教職工定義為“足球達人”，否則定義為“非足球達人”，請根據(jù)頻數(shù)分布表補全2×2列聯(lián)表： 男 女 總計 足球達人 40 非足球達人 30 總計 并判斷能否有90%的把握認為該校教職工是否為“足球達人”與性別有關(guān)； (2)在全?！白闱蜻_人”中按性別分層抽樣抽取6名，再從這6名“

21、足球達人”中選取2名作足球知識講座.記其中女職工的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望. 附表及公式： P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 K2＝. 審題路線圖 ―→―→―→―→ ―→―→ 規(guī)范解答·評分標準 解　(1)由題意得下表： 男 女 總計 足球達人 40 20 60 非足球達人 30 30 60 總計 70 50 120 K2的觀測值k＝≈3.429

22、>2.706.………………………………………5分 所以有90%的把握認為該校教職工是“足球達人”與性別有關(guān).……………………6分 (2)由題意知抽取的6名“足球達人”中有4名男職工，2名女職工， 所以ξ的可能取值為0，1，2. 且P(ξ＝0)＝＝＝， P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，………………………………………………10分 所以ξ的分布列為 ξ 0 1 2 P E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝＝.……………………………………………………12分 構(gòu)建答題模板 [第一步]　定變量：根據(jù)已知條件確定分類變量及取值； [第二步]　填表格：填寫列聯(lián)表；

23、[第三步]　下結(jié)論：計算K2值并下結(jié)論； [第四步]　算概率：計算隨機變量取每一個值的概率并列出分布列； [第五步]　求期望：根據(jù)公式求期望. 1.甲、乙兩名同學(xué)參加定點投籃測試，已知兩人投中的概率分別是和，假設(shè)兩人投籃結(jié)果相互沒有影響，每人各次投球是否投中也沒有影響. (1)若每人投球3次(必須投完)，投中2次或2次以上，記為達標，求甲達標的概率； (2)若每人有4次投球機會，如果連續(xù)兩次投中，則記為達標.達標或能斷定不達標，則終止投籃.記乙本次測試投球的次數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X). 解　(1)記“甲達標”為事件A，則P(A)＝C×2×＋3＝. (2)X的所有

24、可能的值為2，3，4. P(X＝2)＝2＝， P(X＝3)＝××＋××＋3＋××＝， P(X＝4)＝××＋××＝. 所以X的分布列為 X 2 3 4 P 所以E(X)＝2×＋3×＋4×＝. 2.(2018·咸陽模擬)針對國家提出的延遲退休方案，某機構(gòu)進行了網(wǎng)上調(diào)查，所有參與調(diào)查的人中，持“支持”、“保留”和“不支持”態(tài)度的人數(shù)如下表所示： 支持 保留 不支持 50歲以下 8 000 4 000 2 000 50歲以上(含50歲) 1 000 2 000 3 000 (1)在所有參與調(diào)查的人中，用分層抽樣的方法抽取n個人，已知

25、從持“不支持”態(tài)度的人中抽取了30人，求n的值； (2)在持“不支持”態(tài)度的人中，用分層抽樣的方法抽取10人看成一個總體，從這10人中任意選取3人，求50歲以下人數(shù)ξ的分布列和期望； (3)在接受調(diào)查的人中，有10人給這項活動打出的分數(shù)如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2，8.3，9.7，把這10個人打出的分數(shù)看作一個總體，從中任取一個數(shù)，求該數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對值超過0.6的概率. 解　(1)參與調(diào)查的總?cè)藬?shù)為8 000＋4 000＋2 000＋1 000＋2 000＋3 000＝20 000，其中從持“不支持”態(tài)度的2 000＋3 000＝5 00

26、0人中抽取了30人， 所以n＝20 000×＝120. (2)在持“不支持”態(tài)度的人中，50歲以下及50歲以上(含50歲)人數(shù)之比為2∶3，因此抽取的10人中，50歲以下與50歲以上(含50歲)人數(shù)分別為4人，6人，ξ＝0，1，2，3， P(ξ＝0)＝＝， P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝， P(ξ＝3)＝＝， 所以ξ的分布列如下表： ξ 0 1 2 3 P E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. (3)總體的平均數(shù)為＝(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2＋8.3＋9.7)＝9.0，那么與總體平均數(shù)之差的絕對值超過

27、0.6的數(shù)有8.2，8.3，9.7，所以任取1個數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對值超過0.6的概率為. 3.(2018·全國Ⅲ)某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動，提出了完成某項生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式.為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機分成兩組，每組20人.第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式.根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時間(單位：min)繪制了如下莖葉圖： (1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說明理由； (2)求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)m，并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間超過m和不超過m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表； 超過m

28、不超過m 總計 第一種生產(chǎn)方式 第二種生產(chǎn)方式 總計 (3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，能否有99%的把握認為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？ 附：K2＝， P(K2≥k0) 0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828 . 解　(1)第二種生產(chǎn)方式的效率更高. 理由如下： (ⅰ)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間至少80 min；用第二種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間至多79 min.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高. (ⅱ)由

29、莖葉圖可知，用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)為85.5 min；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)為73.5 min.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高. (ⅲ)由莖葉圖可知，用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時間高于80 min；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時間低于80 min.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高. (ⅳ)由莖葉圖可知，用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布在莖8上的最多，關(guān)于莖8大致呈對稱分布；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布在莖7上的最多，關(guān)于莖7大致呈對稱分布.又用兩種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布的區(qū)間相同，故可以認為用第二種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時間比用第一種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時間更少.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高. (2)由莖葉圖知m＝＝80. 列聯(lián)表如下： 超過m 不超過m 總計 第一種生產(chǎn)方式 15 5 20 第二種生產(chǎn)方式 5 15 20 總計 20 20 40 (3)因為K2＝＝10＞6.635，所以有99%的把握認為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異.