2019年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大二輪精準(zhǔn)提分練習(xí)第二篇 第19練
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1、 第19練 概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問題[中檔大題規(guī)范練] [明晰考情] 1.命題角度:離散型隨機(jī)變量的分布列及期望是高考重點(diǎn),??疾楠?dú)立事件的概率,超幾何分布和二項(xiàng)分布的期望等;概率統(tǒng)計(jì)的交匯處是近幾年命題的熱點(diǎn).2.題目難度:中檔偏上難度. 考點(diǎn)一 互斥事件、相互獨(dú)立事件的概率 方法技巧 求復(fù)雜事件的概率,要正確分析復(fù)雜事件的構(gòu)成,看復(fù)雜事件是能轉(zhuǎn)化為幾個(gè)彼此互斥的事件的和事件還是能轉(zhuǎn)化為幾個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的積事件,然后用概率公式求解. 1.為振興旅游業(yè),某省面向國(guó)內(nèi)發(fā)行總量為2 000萬張的熊貓優(yōu)惠卡,向省外人士發(fā)行的是熊貓金卡(簡(jiǎn)稱金卡),向省內(nèi)人士發(fā)行的是熊貓銀卡(簡(jiǎn)稱
2、銀卡).某旅游公司組織了一個(gè)有36名游客的旅游團(tuán)到該省名勝旅游,其中是省外游客,其余是省內(nèi)游客.在省外游客中有持金卡,在省內(nèi)游客中有持銀卡. (1)在該團(tuán)中隨機(jī)采訪2名游客,求恰有1人持銀卡的概率; (2)在該團(tuán)中隨機(jī)采訪2名游客,求其中持金卡與持銀卡人數(shù)相等的概率. 解 (1)由題意得省外游客有27人,其中9人持金卡;省內(nèi)游客有9人,其中6人持銀卡. 設(shè)事件A為“采訪該團(tuán)2名游客,恰有1人持銀卡”, 則P(A)==. 所以采訪該團(tuán)2名游客,恰有1人持銀卡的概率是. (2)設(shè)事件B為“采訪該團(tuán)2名游客,持金卡人數(shù)與持銀卡人數(shù)相等”, 事件B1為“采訪該團(tuán)2名游客,0人持金卡,0
3、人持銀卡”, 事件B2為“采訪該團(tuán)2名游客,1人持金卡,1人持銀卡”. P(B)=P(B1)+P(B2)=+=+=. 所以采訪該團(tuán)2名游客,持金卡人數(shù)與持銀卡人數(shù)相等的概率是. 2.某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a(單位:元),繼續(xù)購(gòu)買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人,續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下: 上年度出險(xiǎn)次數(shù) 0 1 2 3 4 ≥5 保費(fèi) 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 設(shè)該險(xiǎn)種一續(xù)保人一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)與相應(yīng)概率如下: 一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù) 0 1 2 3 4 ≥5 概率 0.30 0.15 0.20 0.
4、20 0.10 0.05 (1)求一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)的概率; (2)若一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi),求其保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%的概率. 解 (1)設(shè)A表示事件:“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)”,則事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于1,故P(A)=0.20+0.20+0.10+0.05=0.55. (2)設(shè)B表示事件:“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%”,則事件B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于3,故P(B)=0.10+0.05=0.15. 又P(AB)=P(B), 故P(B|A)====. 因此所求概率為. 3.某居民小區(qū)有兩個(gè)相互獨(dú)立的
5、安全防范系統(tǒng)(簡(jiǎn)稱系統(tǒng))A和B,系統(tǒng)A和系統(tǒng)B在任意時(shí)刻發(fā)生故障的概率分別為和p. (1)若在任意時(shí)刻至少有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為,求p的值; (2)求系統(tǒng)A在3次相互獨(dú)立的檢測(cè)中不發(fā)生故障的次數(shù)大于發(fā)生故障的次數(shù)的概率. 解 (1)設(shè)“至少有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障”為事件C, 那么1-P()=1-·p=,解得p=. (2)設(shè)“系統(tǒng)A在3次相互獨(dú)立的檢測(cè)中不發(fā)生故障的次數(shù)大于發(fā)生故障的次數(shù)”為事件D.“系統(tǒng)A在3次相互獨(dú)立的檢測(cè)中發(fā)生k次故障”為事件Dk. 則D=D0+D1,且D0,D1互斥. 依題意,得P(D0)=C03=3=, P(D1)=C2=, 所以P(D)=P(D0
6、)+P(D1)=+=. 所以系統(tǒng)A在3次相互獨(dú)立的檢測(cè)中不發(fā)生故障的次數(shù)大于發(fā)生故障的次數(shù)的概率為. 考點(diǎn)二 隨機(jī)變量的分布列、期望與方差 方法技巧 (1)求離散型隨機(jī)變量的分布列的關(guān)鍵是正確理解隨機(jī)變量取每一個(gè)值所表示的具體事件,然后綜合應(yīng)用各類求概率的公式,求出概率. (2)如果隨機(jī)變量X能夠斷定服從超幾何分布或二項(xiàng)分布,則其概率可直接利用公式求解. 4.某公司在迎新年晚會(huì)上舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng),有甲、乙兩個(gè)抽獎(jiǎng)方案供員工選擇. 方案甲:?jiǎn)T工最多有兩次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì),每次抽獎(jiǎng)的中獎(jiǎng)率均為.第一次抽獎(jiǎng),若未中獎(jiǎng),則抽獎(jiǎng)結(jié)束.若中獎(jiǎng),則通過拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣,決定是否繼續(xù)進(jìn)行第二次抽獎(jiǎng).規(guī)定
7、:若拋出硬幣,反面朝上,員工則獲得500元獎(jiǎng)金,不進(jìn)行第二次抽獎(jiǎng);若正面朝上,員工則須進(jìn)行第二次抽獎(jiǎng)且在第二次抽獎(jiǎng)中,若中獎(jiǎng),則獲得獎(jiǎng)金1 000元;若未中獎(jiǎng),則所獲得的獎(jiǎng)金為0元. 方案乙:?jiǎn)T工連續(xù)三次抽獎(jiǎng),每次中獎(jiǎng)率均為,每次中獎(jiǎng)均可獲得獎(jiǎng)金400元. (1)求某員工選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng)所獲獎(jiǎng)金X(元)的分布列; (2)試比較某員工選擇方案乙與選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng),哪個(gè)方案更劃算? 解 (1)由題意得,X的所有可能取值為0,500,1 000, 則P(X=0)=+××=, P(X=500)=×=, P(X=1 000)=××=, 所以某員工選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng)所獲獎(jiǎng)金X(元)的分
8、布列為 X 0 500 1 000 P (2)由(1)可知,選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng)所獲獎(jiǎng)金X的期望E(X)=500×+1 000×=520, 若選擇方案乙進(jìn)行抽獎(jiǎng),中獎(jiǎng)次數(shù)ξ~B, 則E(ξ)=3×=,抽獎(jiǎng)所獲獎(jiǎng)金Y的期望E(Y)=E(400ξ)=400E(ξ)=480,故選擇方案甲較劃算. 5.中國(guó)鐵路客戶服務(wù)中心為方便旅客購(gòu)買車票,推出三種購(gòu)票方式:窗口購(gòu)票、電話購(gòu)票、網(wǎng)上購(gòu)票,旅客任選一種購(gòu)票方式.若甲、乙、丙3名旅客都準(zhǔn)備購(gòu)買火車票,并且這3名旅客選擇購(gòu)票的方式是相互獨(dú)立的. (1)求這三名旅客中至少有兩人選擇網(wǎng)上購(gòu)票的概率; (2)記這三名旅客購(gòu)票方
9、式的種數(shù)為ξ,求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望. 解 (1)記“三名旅客中恰有兩人選擇網(wǎng)上購(gòu)票”為事件A,“三名旅客都選擇網(wǎng)上購(gòu)票”為事件B,且A,B互斥. 則P(A)=C×2×=,P(B)=3=. 因此,三名旅客中至少有兩人選擇網(wǎng)上購(gòu)票的概率 P=P(A)+P(B)=. (2)由題意知,ξ的所有可能取值為1,2,3, 則P(ξ=1)=C×3=; P(ξ=2)=C×C×2×=; P(ξ=3)==. 所以隨機(jī)變量ξ的分布列為 ξ 1 2 3 P 故ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)=1×+2×+3×=. 6.在心理學(xué)研究中,常采用對(duì)比試驗(yàn)的方法評(píng)價(jià)不同心理暗示對(duì)人的影響,
10、具體方法如下:將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組,一組接受甲種心理暗示,另一組接受乙種心理暗示,通過對(duì)比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評(píng)價(jià)兩種心理暗示的作用.現(xiàn)有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理暗示,另5人接受乙種心理暗示. (1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率; (2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù),求X的分布列與期望E(X). 解 (1)記接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件為M, 則P(M)==. (2)由題意知,X可取的值為0,1,2,3,4,則
11、P(X=0)==, P(X=1)==, P(X=2)==, P(X=3)==, P(X=4)==. 因此X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P E(X)=0+1×+2×+3×+4×=2. 考點(diǎn)三 概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問題 方法技巧 對(duì)于將統(tǒng)計(jì)圖表和隨機(jī)變量相結(jié)合的綜合問題,首先要正確處理圖表數(shù)據(jù),明確隨機(jī)變量的意義,然后判斷隨機(jī)變量分布的類型,求出分布列. 7.(2018·桂林模擬)甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員互不影響地進(jìn)行四次射擊訓(xùn)練,根據(jù)以往的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì),他們射擊成績(jī)均不低于8環(huán)(成績(jī)環(huán)數(shù)以整數(shù)計(jì)),且甲、乙射擊成績(jī)(環(huán)數(shù))的分布列如下: 甲
12、 環(huán)數(shù) 8 9 10 概率 p 乙 環(huán)數(shù) 8 9 10 概率 q (1)求p,q的值; (2)若甲、乙兩射手各射擊兩次,求四次射擊中恰有三次命中9環(huán)的概率; (3)若兩個(gè)射手各射擊1次,記兩人所得環(huán)數(shù)的差的絕對(duì)值為ξ,求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望. 解 (1)由題意得p=,q=. (2)記事件C:甲命中一次9環(huán),乙命中兩次9環(huán),事件D:甲命中兩次9環(huán),乙命中一次9環(huán),則四次射擊中恰有三次命中9環(huán)為事件C+D, ∴P(C+D)=C×××C2+C2×C××=. (3)ξ的取值分別為0,1,2, P(ξ=0)=×+×+×=, P(ξ=
13、1)=×+×+×+×=, P(ξ=2)=×+×=, ∴ξ的分布列如下表: ξ 0 1 2 P ∴E(ξ)=0×+1×+2×=. 8.(2018·全國(guó)Ⅰ)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝,每箱200件,每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn),如檢驗(yàn)出不合格品,則更換為合格品.檢驗(yàn)時(shí),先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn),再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn).設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0<p<1),且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立. (1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p),求f(p)的最大值點(diǎn)p0; (2)現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件,結(jié)果恰有2件
14、不合格品,以(1)中確定的p0作為p的值.已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元,若有不合格品進(jìn)入用戶手中,則工廠要對(duì)每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用. ①若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn),這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X,求E(X); ②以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù),是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)? 解 (1)20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p)=Cp2·(1-p)18(0<p<1). 因此f′(p)=C[2p(1-p)18-18p2(1-p)17]=2Cp(1-p)17(1-10p),0<p<1. 令f′(p)=0,得p=0.1. 當(dāng)p∈(0,0.1)時(shí),f′(p
15、)>0;當(dāng)p∈(0.1,1)時(shí),f′(p)<0. 所以f(p)的最大值點(diǎn)為p0=0.1. (2)由(1)知,p=0.1. ①令Y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù),依題意知Y~B(180,0.1),X=20×2+25Y,即X=40+25Y.所以E(X)=E(40+25Y)=40+25E(Y)=40+25×180×0.1=490. ②若對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn),則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗(yàn)費(fèi)用為400元. 由于E(X)>400,故應(yīng)該對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn). 9.(2017·全國(guó)Ⅰ改編)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程,檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件,并測(cè)量其尺寸(單位:cm)
16、.根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn),可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(μ,σ2). (1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常,記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件數(shù),求P(X≥1)及X的數(shù)學(xué)期望; (2)一天內(nèi)抽檢零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查. (ⅰ)試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性; (ⅱ)下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸: 9.95 ?10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 ??9.98 10.04 10.26 9
17、.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
經(jīng)計(jì)算得=i=9.97,s==≈0.212,其中xi為抽取的第i個(gè)零件的尺寸,i=1,2,…,16.
用樣本平均數(shù)作為μ的估計(jì)值,用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計(jì)值,利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查?剔除(-3,+3)之外的數(shù)據(jù),用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)μ和σ(精確到0.01).
附:若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ-3σ 18、的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率為0.002 6,故X~B(16,0.002 6).
因此P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0.997 416≈0.040 8.
X的數(shù)學(xué)期望E(X)=16×0.002 6=0.041 6.
(2)(ⅰ)如果生產(chǎn)狀態(tài)正常,一個(gè)零件尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率只有0.002 6,一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中,出現(xiàn)尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件的概率只有0.040 8,發(fā)生的概率很小,因此一旦發(fā)生這種情況,就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查,可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的.
(ⅱ 19、)由=9.97,s≈0.212,得μ的估計(jì)值為=9.97,σ的估計(jì)值為=0.212,由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個(gè)零件的尺寸在(-3,+3)之外,因此需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.
剔除(-3,+3)之外的數(shù)據(jù)9.22,剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為×(16×9.97-9.22)=10.02.
因此μ的估計(jì)值為10.02.
=16×0.2122+16×9.972≈1 591.134.
剔除(-3,+3)之外的數(shù)據(jù)9.22,
剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為×(1 591.134-9.222-15×10.022)≈0.008,
因此σ的估計(jì)值為≈0.09.
典例 (12分)某校工會(huì)對(duì)全校教職工每天收看世界 20、杯足球賽比賽的時(shí)間作了一次調(diào)查,得到如下頻數(shù)分布表:
收看時(shí)間(單位:小時(shí))
[0,1)
[1,2)
[2,3)
[3,4)
[4,5)
[5,6]
收看人數(shù)
14
30
16
28
20
12
(1)若將每天收看比賽時(shí)間不低于3小時(shí)的教職工定義為“足球達(dá)人”,否則定義為“非足球達(dá)人”,請(qǐng)根據(jù)頻數(shù)分布表補(bǔ)全2×2列聯(lián)表:
男
女
總計(jì)
足球達(dá)人
40
非足球達(dá)人
30
總計(jì)
并判斷能否有90%的把握認(rèn)為該校教職工是否為“足球達(dá)人”與性別有關(guān);
(2)在全校“足球達(dá)人”中按性別分層抽樣抽取6名,再?gòu)倪@6名“ 21、足球達(dá)人”中選取2名作足球知識(shí)講座.記其中女職工的人數(shù)為ξ,求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望.
附表及公式:
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
K2=.
審題路線圖
―→―→―→―→
―→―→
規(guī)范解答·評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)
解 (1)由題意得下表:
男
女
總計(jì)
足球達(dá)人
40
20
60
非足球達(dá)人
30
30
60
總計(jì)
70
50
120
K2的觀測(cè)值k=≈3.429 22、>2.706.………………………………………5分
所以有90%的把握認(rèn)為該校教職工是“足球達(dá)人”與性別有關(guān).……………………6分
(2)由題意知抽取的6名“足球達(dá)人”中有4名男職工,2名女職工,
所以ξ的可能取值為0,1,2.
且P(ξ=0)===,
P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,………………………………………………10分
所以ξ的分布列為
ξ
0
1
2
P
E(ξ)=0×+1×+2×==.……………………………………………………12分
構(gòu)建答題模板
[第一步] 定變量:根據(jù)已知條件確定分類變量及取值;
[第二步] 填表格:填寫列聯(lián)表;
23、[第三步] 下結(jié)論:計(jì)算K2值并下結(jié)論;
[第四步] 算概率:計(jì)算隨機(jī)變量取每一個(gè)值的概率并列出分布列;
[第五步] 求期望:根據(jù)公式求期望.
1.甲、乙兩名同學(xué)參加定點(diǎn)投籃測(cè)試,已知兩人投中的概率分別是和,假設(shè)兩人投籃結(jié)果相互沒有影響,每人各次投球是否投中也沒有影響.
(1)若每人投球3次(必須投完),投中2次或2次以上,記為達(dá)標(biāo),求甲達(dá)標(biāo)的概率;
(2)若每人有4次投球機(jī)會(huì),如果連續(xù)兩次投中,則記為達(dá)標(biāo).達(dá)標(biāo)或能斷定不達(dá)標(biāo),則終止投籃.記乙本次測(cè)試投球的次數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X).
解 (1)記“甲達(dá)標(biāo)”為事件A,則P(A)=C×2×+3=.
(2)X的所有 24、可能的值為2,3,4.
P(X=2)=2=,
P(X=3)=××+××+3+××=,
P(X=4)=××+××=.
所以X的分布列為
X
2
3
4
P
所以E(X)=2×+3×+4×=.
2.(2018·咸陽(yáng)模擬)針對(duì)國(guó)家提出的延遲退休方案,某機(jī)構(gòu)進(jìn)行了網(wǎng)上調(diào)查,所有參與調(diào)查的人中,持“支持”、“保留”和“不支持”態(tài)度的人數(shù)如下表所示:
支持
保留
不支持
50歲以下
8 000
4 000
2 000
50歲以上(含50歲)
1 000
2 000
3 000
(1)在所有參與調(diào)查的人中,用分層抽樣的方法抽取n個(gè)人,已知 25、從持“不支持”態(tài)度的人中抽取了30人,求n的值;
(2)在持“不支持”態(tài)度的人中,用分層抽樣的方法抽取10人看成一個(gè)總體,從這10人中任意選取3人,求50歲以下人數(shù)ξ的分布列和期望;
(3)在接受調(diào)查的人中,有10人給這項(xiàng)活動(dòng)打出的分?jǐn)?shù)如下:9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2,8.3,9.7,把這10個(gè)人打出的分?jǐn)?shù)看作一個(gè)總體,從中任取一個(gè)數(shù),求該數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對(duì)值超過0.6的概率.
解 (1)參與調(diào)查的總?cè)藬?shù)為8 000+4 000+2 000+1 000+2 000+3 000=20 000,其中從持“不支持”態(tài)度的2 000+3 000=5 00 26、0人中抽取了30人,
所以n=20 000×=120.
(2)在持“不支持”態(tài)度的人中,50歲以下及50歲以上(含50歲)人數(shù)之比為2∶3,因此抽取的10人中,50歲以下與50歲以上(含50歲)人數(shù)分別為4人,6人,ξ=0,1,2,3,
P(ξ=0)==,
P(ξ=1)==,
P(ξ=2)==,
P(ξ=3)==,
所以ξ的分布列如下表:
ξ
0
1
2
3
P
E(ξ)=0×+1×+2×+3×=.
(3)總體的平均數(shù)為=(9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2+8.3+9.7)=9.0,那么與總體平均數(shù)之差的絕對(duì)值超過 27、0.6的數(shù)有8.2,8.3,9.7,所以任取1個(gè)數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對(duì)值超過0.6的概率為.
3.(2018·全國(guó)Ⅲ)某工廠為提高生產(chǎn)效率,開展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng),提出了完成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式.為比較兩種生產(chǎn)方式的效率,選取40名工人,將他們隨機(jī)分成兩組,每組20人.第一組工人用第一種生產(chǎn)方式,第二組工人用第二種生產(chǎn)方式.根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間(單位:min)繪制了如下莖葉圖:
(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高?并說明理由;
(2)求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)m,并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間超過m和不超過m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表;
超過m
28、不超過m
總計(jì)
第一種生產(chǎn)方式
第二種生產(chǎn)方式
總計(jì)
(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表,能否有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異?
附:K2=,
P(K2≥k0)
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
.
解 (1)第二種生產(chǎn)方式的效率更高.
理由如下:
(ⅰ)由莖葉圖可知:用第一種生產(chǎn)方式的工人中,有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至少80 min;用第二種生產(chǎn)方式的工人中,有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至多79 min.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.
(ⅱ)由 29、莖葉圖可知,用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為85.5 min;用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為73.5 min.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.
(ⅲ)由莖葉圖可知,用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時(shí)間高于80 min;用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時(shí)間低于80 min.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.
(ⅳ)由莖葉圖可知,用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布在莖8上的最多,關(guān)于莖8大致呈對(duì)稱分布;用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布在莖7上的最多,關(guān)于莖7大致呈對(duì)稱分布.又用兩種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布的區(qū)間相同,故可以認(rèn)為用第二種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時(shí)間比用第一種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時(shí)間更少.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.
(2)由莖葉圖知m==80.
列聯(lián)表如下:
超過m
不超過m
總計(jì)
第一種生產(chǎn)方式
15
5
20
第二種生產(chǎn)方式
5
15
20
總計(jì)
20
20
40
(3)因?yàn)镵2==10>6.635,所以有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異.
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