2010年高考數(shù)學(xué) 考點29離散型隨機變量及其分布列、二項分布及其應(yīng)用、離散型隨機變量的均值與方差

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1、考點29 離散型隨機變量及其分布列、 二項分布及其應(yīng)用、離散型隨機變量的均值與方差 1．（2010·海南寧夏高考·理科T6）某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1000粒，對于沒有發(fā)芽的種子，每粒需再補種2粒，補種的種子數(shù)記為X，則X的數(shù)學(xué)期望為（ ） （A）100 （B）200 （C）300 （D）400 【命題立意】本題主要考查了二項分布的期望的公式. 【思路點撥】通過題意得出補種的種子數(shù)服從二項分布. 【規(guī)范解答】選Ｂ.由題意可知，補種的種子數(shù)記為X服從二項分布，即，所以X的數(shù)學(xué)期望. 2．（2010·山東高考

2、理科·Ｔ5）已知隨機變量服從正態(tài)分布,若,則（ ） (A)0.477 (B)0.628 (C)0.954 (D)0.977 【命題立意】本題考查正態(tài)分布的基礎(chǔ)知識,考查了考生的推理論證能力和運算求解能力. 【思路點撥】先由服從正態(tài)分布得出正態(tài)曲線關(guān)于直線對稱,于是得到 與的關(guān)系，最后進行求解. 【規(guī)范解答】 選C，因為隨機變量服從正態(tài)分布,所以正態(tài)曲線關(guān)于直線對稱,又,所以,所以0.954, 故選C. 3．（2010·江蘇高考·Ｔ22）某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，甲產(chǎn)品的一等品率為80%，二等品率為20%；乙產(chǎn)品的一等品率為90%，二等品率為

3、10%。生產(chǎn)1件甲產(chǎn)品，若是一等品則獲得利潤4萬元，若是二等品則虧損1萬元；生產(chǎn)1件乙產(chǎn)品，若是一等品則獲得利潤6萬元，若是二等品則虧損2萬元。設(shè)生產(chǎn)各種產(chǎn)品相互獨立。 （1） 記X（單位：萬元）為生產(chǎn)1件甲產(chǎn)品和1件乙產(chǎn)品可獲得的總利潤，求X的分布列； （2） 求生產(chǎn)4件甲產(chǎn)品所獲得的利潤不少于10萬元的概率。 【命題立意】本題主要考查概率的有關(guān)知識，考查運算求解能力。 【思路點撥】利用獨立事件的概率公式求解。 【規(guī)范解答】（1）由題設(shè)知，X的可能取值為10，5，2，-3，且 P（X=10）=0.8×0.9=0.72， P（X=5）=0.2

4、×0.9=0.18， P（X=2）=0.8×0.1=0.08， P（X=-3）=0.2×0.1=0.02。 由此得X的分布列為： X 10 5 2 -3 P 0.72 0.18 0.08 0.02 （2）設(shè)生產(chǎn)的4件甲產(chǎn)品中一等品有件，則二等品有件。 由題設(shè)知，解得， 又，得，或。 所求概率為 答：生產(chǎn)4件甲產(chǎn)品所獲得的利潤不少于10萬元的概率為0.8192。 4．（2010·安徽高考理科·Ｔ21）品酒師需定期接受酒味鑒別功能測試，一種通常采用的測試方法如下：拿出瓶外觀相同但品質(zhì)不同的酒讓其品嘗，要求

5、其按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序；經(jīng)過一段時間，等其記憶淡忘之后，再讓其品嘗這瓶酒，并重新按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序，這稱為一輪測試。根據(jù)一輪測試中的兩次排序的偏離程度的高低為其評為?，F(xiàn)設(shè)，分別以表示第一次排序時被排為1,2,3,4的四種酒在第二次排序時的序號，并令， 則是對兩次排序的偏離程度的一種描述。 (Ⅰ)寫出的可能值集合； (Ⅱ)假設(shè)等可能地為1,2,3,4的各種排列，求的分布列； (Ⅲ)某品酒師在相繼進行的三輪測試中，都有， (i)試按(Ⅱ)中的結(jié)果，計算出現(xiàn)這種現(xiàn)象的概率（假定各輪測試相互獨立）； (ii)你認為該品酒師的酒味鑒別功能如何？說明理由。 【命題立意】本題主要考查

6、離散型隨機變量及其分布列，考查考生的計數(shù)能力，抽象概括能力，概率思想在生活中的應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識。 【思路點撥】用列表或樹形圖表示1,2,3,4的排列的所有可能情況，計算每一種排列下的值， 即可得出其分布列及相關(guān)事件的概率。 【規(guī)范解答】（I）的可能值的集合為 （II）1,2,3,4的排列共24種，在等可能的假定下，計算每種排列下的值，得到 0 2 4 6 8 （III）（i） （ii）由于是一個很小的概率，這表明如果僅憑隨機猜測得到三輪測試都有的結(jié)果的可能性很小，所以可以認為該品酒師確實有良好的味覺鑒別功能，不是靠隨機猜測。 5．（

7、2010·浙江高考理科·Ｔ19）如圖，一個小球從M處投入，通過管道 自上而下落A或B或C。已知小球從每個叉口落入左右兩個 管道的可能 性是相等的．某商家按上述投球方式進行促銷活動，若投入的小球落到 A，B，C，則分別設(shè)為l，2，3等獎． （I）已知獲得l，2，3等獎的折扣率分別為50％，70％，90％．記隨變 量為獲得k(k=1,2,3)等獎的折扣率，求隨機變量的分布列及期望； (II)若有3人次(投入l球為l人次)參加促銷活動，記隨機變量為獲得 1等獎或2等獎的人次，求． 【命題立意】本題主要考察隨機事件的概率和隨機變量的分布列、數(shù)學(xué)期望、二項分布等概念，同時考查抽象概括、運

8、算求解能力和應(yīng)用意識。 【思路點撥】（1）求分布列時，要先找出從M出發(fā)到相應(yīng)的位置有幾種路，然后再用獨立事件的乘法公式。 如從M到A有兩種路，所以；（2）第（II）是一個二項分布。 【規(guī)范解答】 (Ⅰ)由題意得ξ的分布列為 ξ 50％ 70％ 90％ p 則Εξ=×50％+×70％+90％=. （Ⅱ）由(Ⅰ)可知，獲得1等獎或2等獎的概率為+=. 由題意得η～（3，）則P（η=2）=()2(1-)=. 【方法技巧】1、獨立事件的概率滿足乘法公式，互斥事件的概率滿足的加法公式； 2、n次獨立重復(fù)試驗是一個很重要的試驗，要注意在實際問題中的應(yīng)用。 6．（20

9、10·北京高考理科·Ｔ１7）某同學(xué)參加3門課程的考試。假設(shè)該同學(xué)第一門課程取得優(yōu)秀成績的概率為，第二、第三門課程取得優(yōu)秀成績的概率分別為，(＞)，且不同課程是否取得優(yōu)秀成績相互獨立。記ξ為該生取得優(yōu)秀成績的課程數(shù)，其分布列為 ξ 0 1 2 3 (Ⅰ)求該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績的概率； (Ⅱ)求，的值； (Ⅲ)求數(shù)學(xué)期望ξ。 【命題立意】本題考查了對立事件、獨立事件的概率，及期望的求法。 【思路點撥】（1）“至少”問題一般用對立事件求概率方便。（2）利用獨立事件分別求出時的概率，聯(lián)立方程解出的值。（3）求出，代入期望公式即可。 【規(guī)范解答】事件表

10、示“該生第門課程取得優(yōu)秀成績”，=1,2,3，由題意知 ，， （I）由于事件“該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績”與事件“”是對立的，所以該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績的概率是 ， （II）由題意知 整理得 ， 由，可得，. （III）由題意知 = = =。 【方法技巧】（1）

11、“至少”、“至多”問題，一般采用對立事件求概率較容易； （2）事件A與B獨立，則。 7．（2010·福建高考理科·Ｔ16）設(shè)S是不等式的解集，m，nS。 （I）記“使得m + n = 0 成立的有序數(shù)組（m , n）”為事件A，試列舉A包含的基本事件； （II）設(shè)＝，求的分布列及其數(shù)學(xué)期望。 【命題立意】本題考查概率與統(tǒng)計、不等式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、應(yīng)用意識，考查分類與整合思想、必然與或然、化歸與轉(zhuǎn)化思想。 【思路點撥】第一步先求解出一元二次不等式的解集，得到集合S，進而求出A所包含的基本事件；第二步求出m的可能取值，再求出的可能取值，計算出所對應(yīng)的概率，畫出分布

12、列，求出數(shù)學(xué)期望。 【規(guī)范解答】（I），則 有，因此A包含的基本事件為： ； （II）的可能去取為，則的可能取值為 ， 因此得分布列為： 0 1 4 9 所以其數(shù)學(xué)期望為 【方法技巧】有關(guān)概率統(tǒng)計的問題，越來越常見利用枚舉法的求解方法，枚舉時一定要考慮全面，漏解是最常見的錯誤，如本題要求的是有序的數(shù)組（m，n），坐標的位置是有序的，如（1,2）和（2,1）是不同的情況，不要當成同一種。因為這部分內(nèi)容與實際生活聯(lián)系比較大，隨著新課改的深入，高考將越來越重視這部分的內(nèi)容，試題的難度為中等或中等偏易。 8．（2010·山東高考理科·

13、Ｔ20）某學(xué)校舉行知識競賽,第一輪選拔共設(shè)有四個問題，規(guī)則如下： ① 每位參加者計分器的初始分均為10分，答對問題分別加1分、2分、3分、6分，答錯任一題減2分； ② 每回答一題，計分器顯示累計分數(shù)，當累計分數(shù)小于8分時，答題結(jié)束，淘汰出局；當累計分數(shù)大于或等于14分時，答題結(jié)束，進入下一輪；當答完四題，累計分數(shù)仍不足14分時，答題結(jié)束，淘汰出局； ③ 每位參加者按問題順序作答，直至答題結(jié)束. 假設(shè)甲同學(xué)對問題回答正確的概率依次為，且各題回答正確與否相互之間沒有影響. (1)求甲同學(xué)能進入下一輪的概率； （2）用表示甲同學(xué)本輪答題結(jié)束時答題的個數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望. 【命題立

14、意】本題考查了相互獨立事件同時發(fā)生的概率、考查了離散型隨機變量的分布列以及數(shù)學(xué)期望的知識，考查了考生利用所學(xué)知識解決實際問題的能力. 【思路點撥】(1)甲能進入下一輪有以下幾種情形：前三個問題回答正確；第一個問題回答錯誤，后三個問題回答正確；只有第二個問題回答錯誤；只有第三個問題回答錯誤；第一、三錯誤，第二、四正確. (2)隨機變量可能取值為2，3，4. 【規(guī)范解答】設(shè)A、B、C、D分別為第一、二、三、四個問題.用表示甲同學(xué)第個問題回答正確，用表示甲同學(xué)第個問題回答錯誤.則與互為對立事件，由題意得所以 (1) 記“甲同學(xué)能進入下一輪”為事件Q， Q=++++， 由于每題答題結(jié)果相互獨

15、立，因此 P(Q)= P(++++) =++++ =++++=. （2）由題意，隨機變量可能取值為2，3，4，由于每題答題結(jié)果相互獨立，因此 所以的分布列為 2 3 4 數(shù)學(xué)期望=++4=. 9. （2010·天津高考理科·Ｔ１8）某射手每次射擊擊中目標的概率是，且各次射擊的結(jié)果互不影響。 （Ⅰ）假設(shè)這名射手射擊5次，求恰有2次擊中目標的概率； （Ⅱ）假設(shè)這名射手射擊5次，求有3次連續(xù)擊中目標，另外2次未擊中目標的概率； （Ⅲ）假設(shè)這名射手射擊3次，每次射擊，擊中目標得1分，未擊中目標得0分，在3次射擊中，若有2次連續(xù)擊中，而另外1次未

16、擊中，則額外加1分；若3次全擊中，則額外加3分，記為射手射擊3次后的總的分數(shù)，求的分布列。 【命題立意】本小題主要考查二項分布及其概率計算公式、離散型隨機變量的分布列、互斥事件和相互獨立事件等基礎(chǔ)知識，考查運用概率知識解決實際問題的能力。 【思路點撥】利用二項分布及獨立事件的概率公式求解。 【規(guī)范解答】（1）設(shè)為射手在5次射擊中擊中目標的次數(shù)，則~.在5次射擊中， 恰有2次擊中目標的概率 （Ⅱ）設(shè)“第次射擊擊中目標”為事件；“射手在5次射擊中，有3次連續(xù)擊中目標，另外2次未擊中目標”為事件,則 == （Ⅲ）由題意可知，的所有可能取值為

17、 = 所以的分布列是 高效能學(xué)習(xí)的八大學(xué)習(xí)方法 方法一：目 標 激 勵法 成就天才的必備素質(zhì)就是遠大志向，明確目標，勤奮刻苦，持之以恒，百折不撓。作為一名學(xué)生，要想在學(xué)習(xí)的道路上一路高歌，戰(zhàn)勝各科學(xué)習(xí)困難，在考試中脫穎而出，就必須樹立遠大的理想，制定明確的學(xué)習(xí)目標和切實可行的計劃，在日常學(xué)習(xí)中勤奮苦學(xué)，孜孜不倦，持之以恒，面對學(xué)習(xí)中上的挫折，百折不撓，勇往直前，并掌握一套正確的學(xué)習(xí)方法，科學(xué)合理地安排好自己的時間，只有這樣，才能到達成功的理想彼岸。 方法二：統(tǒng)籌計劃學(xué)習(xí)法 正像建造樓房先要有圖紙，打仗先要有部署一樣，成功有

18、效的學(xué)習(xí)也必須制定好一套切實可行的計劃。所謂統(tǒng)籌計劃學(xué)習(xí)法，就是學(xué)習(xí)者為達到一定的學(xué)習(xí)目標，根據(jù)主客觀條件而制訂學(xué)習(xí)步驟的一種學(xué)習(xí)方法。統(tǒng)籌計劃學(xué)習(xí)法包括四個方面：一是學(xué)習(xí)目標，二是學(xué)習(xí)內(nèi)容，三是時間安排，四是保證落實的措施。只有綜合考慮這四個方面，才能訂出切實可行的規(guī)劃。同時計劃要因人而異，因事而異，并根據(jù)執(zhí)行情況，適當及時調(diào)整。 方法三：興趣引導(dǎo)法 使學(xué)習(xí)興趣化，是獲取成功的特別重要的法則。有的同學(xué)雖然很努力地學(xué)習(xí)，但是卻對學(xué)習(xí)沒有興趣。凡是這種情況，學(xué)習(xí)效率都差得很，往往是事倍功半，效率不高。所以，千萬不要只知道積極地去學(xué)，光顧著學(xué)，傻學(xué)，而要想辦法培養(yǎng)自己的興趣。只有將學(xué)習(xí)積極性轉(zhuǎn)

19、化為學(xué)習(xí)興趣之后，你才有可能實現(xiàn)學(xué)習(xí)效率的飛躍。 方法四：高效率學(xué)習(xí)法 作為學(xué)生，誰能夠高效地管理時間，科學(xué)地利用時間，抓住時間的脈搏，誰就能創(chuàng)造學(xué)業(yè)的成功，成就人生的輝煌。 愛時間就是愛生命，愛生命的每一部分。誰把握住時間，誰就擁有一切。 時間就是生命?！耙粋€人一生只有三天：昨天、今天和明天。昨天已經(jīng)過去，永不復(fù)返；今天已經(jīng)和你在一起，但很快就會過去；明天就要到來，但也會消失。抓緊時間吧，一生只有三天！”現(xiàn)在是你們?nèi)松狞S金時期，也是學(xué)習(xí)知識、吸取知識最有效率的時期，你們應(yīng)善于管理時間珍惜時間，不虛度年華，使生命失去原本的燦爛光彩。 方法五：刨根質(zhì)疑學(xué)習(xí)法 學(xué)習(xí)的

20、過程是由一個“無疑—有疑—解疑—無疑”不斷循環(huán)往復(fù)的過程。學(xué)須善思，思后存疑，疑后問，問后知。所以，我們在日常生活和學(xué)習(xí)過程中，要善于思考，培養(yǎng)“凡事問一個為什么”的習(xí)慣。 作為一個學(xué)生，我們要善于發(fā)現(xiàn)問題，敢于向權(quán)威挑戰(zhàn)，同時又要虛心求教，不恥下問，不懂的問題多問老師，向同學(xué)請教。積極參加各種有關(guān)學(xué)習(xí)的交談、討論、學(xué)習(xí)興趣小組，創(chuàng)設(shè)一個與別人交流的良好平臺，合作解決問題。 方法六：筆 記 學(xué) 習(xí)法 筆墨學(xué)習(xí)法又稱筆記法，是利用記筆記學(xué)習(xí)的一種方法。在日常的讀書、聽課、復(fù)習(xí)的時候，對有一定價值和意義的材料、知識點、問題迅速及時地標記出來，記下來，然后整理成筆記，這對于鞏固知識，積累材料，

21、提高學(xué)習(xí)成績都具有十分重要的意義。 方法七：全 面 預(yù) 習(xí)法 打無準備的仗必輸，沒有預(yù)習(xí)的功課一定不會好。要想有一個高效的課堂學(xué)習(xí)，必須牢牢抓住課前預(yù)習(xí)這個關(guān)鍵環(huán)節(jié)。常言道：“凡事預(yù)則立，不預(yù)則廢?！薄邦A(yù)”，即準備。預(yù)習(xí)就是在教師講課之前，學(xué)生閱讀教材及相關(guān)的內(nèi)容，為新課學(xué)習(xí)做好必要的知識準備。我們在預(yù)習(xí)的時候，要大體了解書本內(nèi)容，思考重點，發(fā)現(xiàn)難點，注意方法，增強預(yù)習(xí)的主動性、針對性，培養(yǎng)良好的預(yù)習(xí)習(xí)慣。 方法八：高 效 聽 課法 一個人的學(xué)生時代，大部分的學(xué)習(xí)時間是在課堂中度過的。在短短的十幾年時間里每個學(xué)生幾乎接受和繼承了人類幾千年所積累的知識中最基本、最精華的部分，由此可見課堂學(xué)習(xí)的重要性。一個學(xué)生學(xué)習(xí)的好壞，成績的高低，關(guān)鍵在于課堂學(xué)習(xí)。充分利用每一節(jié)課的45分鐘，高效學(xué)習(xí)，對提高學(xué)習(xí)質(zhì)量將產(chǎn)生巨大的影響。 專家認為，要想聽好一節(jié)課，課前必須從身心、知識、物質(zhì)上做好充分準備，在上課時力求做到“五到”，即耳到、眼到、口到、心到、手到；專心致志，勤于思考，思維與老師合拍。同時，上課時勇于發(fā)言，積極參加討論，有機會多動手、多實踐，做好筆記，才能有效地把握課堂，把課堂變成自己學(xué)習(xí)的主戰(zhàn)場。