【創(chuàng)新方案】高考數(shù)學 理一輪知能檢測：第2章 第3節(jié)　函數(shù)的奇偶性與周期性

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1、 第三節(jié)　函數(shù)的奇偶性與周期性 [全盤鞏固] 1．下列函數(shù)中，在其定義域內既是增函數(shù)又是奇函數(shù)的是(　　) A．y＝－　　　　　　　　B．y＝x3＋3x－3－x C．y＝log3x D．y＝ex 解析：選B　選項A，y＝－的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，但其在定義域上不是單調遞增函數(shù)；選項B，y＝f(x)＝x3＋3x－3－x在其定義域R上是增函數(shù)，又f(－x)＝－x3＋3－x－3x＝－(x3＋3x－3－x)＝－f(x)，所以y＝f(x)為奇函數(shù)；選項C，y＝log3x的定義域為(0，＋∞)，是增函數(shù)但不是奇函數(shù)；選項D，y＝ex在

2、其定義域R上是增函數(shù)，但為非奇非偶函數(shù)． 2．設函數(shù)D(x)＝則下列結論錯誤的是(　　) A．D(x)的值域為{0,1} B．D(x)是偶函數(shù) C．D(x)不是周期函數(shù) D．D(x)不是單調函數(shù) 解析：選C　A顯然正確；D(x)＝當x∈Q時，－x∈Q，而D(x)＝D(－x)＝1；當x為無理數(shù)時，－x也為無理數(shù)，此時D(x)＝D(－x)＝0，∴對任意的x∈R，D(x)＝D(－x)，故B正確；不妨設a∈Q且a≠0，當x為有理數(shù)時，D(x＋a)＝D(x)＝1，當x為無理數(shù)時，D(x＋a)＝D(x)＝0，∴D(x)為周期函數(shù)，故C不正確；∵x1＝1，D(1)＝1，x2＝2

3、，D(2)＝1，∴D(x1)＝D(x2)，∴D(x)在定義域上不單調，故D正確． 3．設f(x)是周期為2的奇函數(shù)，當0≤x≤1時，f(x)＝2x(1－x)，則f＝(　　) A．－ B．－ C. D. 解析：選A　由題意得f＝f＝f＝－f＝－. 4．(20xx·溫州模擬)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)和偶函數(shù)g(x)滿足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a＞0，且a≠1)．若g(2)＝a，則f(2)＝　　(　　) A．2 B. C. D．a2 解析：選B　∵g(x)為偶函數(shù)，f(x)為奇函數(shù)，∴g(

4、2)＝g(－2)＝a，f(－2)＝－f(2)， ∴f(2)＋g(2)＝a2－a－2＋2，① f(－2)＋g(－2)＝－f(2)＋g(2)＝a－2－a2＋2，② 聯(lián)立①②解得g(2)＝2＝a，f(2)＝a2－a－2＝22－2－2＝. 5．已知函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函數(shù)，若對于x≥0，都有f(x＋2)＝－f(x)，且當x∈[0,2)時，f(x)＝log2(x＋1)，則f(－2 011)＋f(2 012)＝(　　) A．1＋log23　　　　　　　　B．－1＋log23 C．－1 D．1 解析：選C　∵f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函數(shù)

5、，∴f(－2 011)＝f(2 011)． 當x≥0時，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，則f(x)在(0，＋∞)上是以4為周期的函數(shù)．注意到2 011＝4×502＋3，2 012＝4×503，∴f(2 011)＝f(3)＝f(1＋2)＝－f(1)＝－log2(1＋1)＝－1，f(2 012)＝f(0)＝log21＝0.∴f(－2 011)＋f(2 012)＝－1. 6．已知定義域為R的函數(shù)y＝f(x)在[0,7]上只有1和3兩個零點，且y＝f(2－x)與y＝f(7＋x)都是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)在[－2 013,2 013]上的零點個數(shù)為(　　) A．804 B．

6、805 C．806 D．807 解析：選C　根據(jù)條件得出函數(shù)的周期，再確定一個周期上的零點個數(shù)即可求解．由函數(shù)y＝f(2－x)，y＝f(7＋x)是偶函數(shù)得函數(shù)y＝f(x)的圖象關于直線x＝2和x＝7對稱，所以周期為10.又由條件可知函數(shù)y＝f(x)在[0,10]上只有兩個零點1和3，所以函數(shù)y＝f(x)在[－2 013，2 013]上有402個周期，加上2 011,2 013兩個零點，所以零點個數(shù)是402×2＋2＝806. 7．若函數(shù)f(x)＝x2－|x＋a|為偶函數(shù)，則實數(shù)a＝________. 解析：由題意知，函數(shù)f(x)＝x2－|x＋a|為偶函數(shù)，則f(1

7、)＝f(－1)，即1－|1＋a|＝1－|－1＋a|，解得a＝0. 答案：0 8．奇函數(shù)f(x)的定義域為[－2,2]，若f(x)在[0,2]上單調遞減，且f(1＋m)＋f(m)＜0，則實數(shù)m的取值范圍是________． 解析：因為奇函數(shù)f(x)在[0,2]上單調遞減，所以函數(shù)f(x)在[－2,2]上單調遞減．由f(1＋m)＋f(m)＜0得f(1＋m)＜－f(m)＝f(－m)，所以由得所以－＜m≤1，故實數(shù)m的取值范圍是. 答案： 9．(20xx·臺州模擬)函數(shù)f(x)對于任意實數(shù)x滿足條件f(x＋2)＝，若f(1)＝－5，則f(f(5))＝________. 解析：∵f(x＋2)

8、＝，∴f(x＋4)＝＝f(x)， ∴f(5)＝f(1)＝－5，∴f(f(5))＝f(－5)＝f(3)＝＝－. 答案：－ 10．已知函數(shù)f(x)＝2|x－2|＋ax(x∈R)有最小值． (1)求實數(shù)a的取值范圍； (2)設g(x)為定義在R上的奇函數(shù)，且當x＜0時，g(x)＝f(x)，求g(x)的解析式． 解：(1)f(x)＝要使函數(shù)f(x)有最小值，需 ∴－2≤a≤2，故a的取值范圍為[－2,2]． (2)∵g(x)為定義在R上的奇函數(shù)， ∴g(－0)＝－g(0)，∴g(0)＝0.設x＞0，則－x＜0.∴g(x)＝－g(－x)＝(a－2)x－4， ∴g(x)＝ 11．(2

9、0xx·寧波模擬)函數(shù)y＝f(x)(x≠0)是奇函數(shù)，且當x∈(0，＋∞)時是增函數(shù)，若f(1)＝0，求不等式fx<0的解集． 解：∵y＝f(x)是奇函數(shù)，∴f(－1)＝－f(1)＝0.又∵y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)， ∴y＝f(x)在(－∞，0)上是增函數(shù)，若fx<0＝f(1)，∴ 即0

10、x，求使f(x)＝－在[0,2 014]上的所有x的個數(shù)． 解：(1)證明：∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－(－f(x))＝f(x)， ∴f(x)是以4為周期的周期函數(shù)． (2)當0≤x≤1時，f(x)＝x，設－1≤x≤0，則0≤－x≤1，∴f(－x)＝(－x)＝－x. ∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x，即f(x)＝x.故f(x)＝x(－1≤x≤1)． 又設1＜x＜3，則－1＜x－2＜1，∴f(x－2)＝(x－2)． 又∵f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，∴f(x－2)＝f(x＋2)＝－f(x)，∴－f(x)＝(x－2)，

11、即f(x)＝－(x－2)(1＜x＜3)．∴f(x)＝ 由f(x)＝－，解得x＝－1.∵f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，∴使f(x)＝－的所有x＝4n－1(n∈Z)．令0≤4n－1≤2 014，則≤n≤. 又∵n∈Z，∴1≤n≤503(n∈Z)，∴在[0, 2 014]上共有503個x使f(x)＝－. [沖擊名校] 1．已知定義在R上的函數(shù)y＝f(x)滿足以下三個條件：①對于任意的x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)；②對于任意的x1， x2∈R，且0≤x1＜x2≤2，都有f(x1)＜f(x2)；③函數(shù)y＝f(x＋2)的圖象關于y軸對稱，則下列結論中正確的是(　　) A．f(4.5)＜

12、f(7)＜f(6.5) B．f(7)＜f(4.5)＜f(6.5) C．f(7)＜f(6.5)＜f(4.5) D．f(4.5)＜f(6.5)＜f(7) 解析：選A　由f(x＋4)＝f(x)可知函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，函數(shù)y＝f(x＋2)的圖象關于y軸對稱，則函數(shù)y＝f(x)關于x＝2對稱，0≤x1＜x2≤2時，有f(x1)＜f(x2)，所以f(4.5)＝f(0.5)，f(6.5)＝f(2.5)＝f(1.5)，f(7)＝f(3)＝f(1)，故f(4.5)＜f(7)＜f(6.5)． 2．奇函數(shù)f(x)滿足對任意x∈R都有f(2＋x)＋f(2－x)＝0，且f(1)＝

13、9，則f(2 010)＋f(2 011)＋f(2 012)的值為________． 解析：奇函數(shù)f(x)滿足f(2＋x)＋f(2－x)＝0，則f(2＋x)＝－f(2－x)＝f(x－2)，所以函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù)，f(2 010)＋f(2 011)＋f(2 012)＝f(2)＋f(3)＋f(4)，令x＝0，則f(2)＝0；令x＝2，則f(4)＝f(0)＝0；由f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－9，故f(2 010)＋f(2 011)＋f(2 012)＝－9. 答案：－9 [高頻滾動] 1．已知a＞0，下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，a)上一定是減函數(shù)的是　(　　) A．f(x)＝

14、ax＋b B．f(x)＝x2－2ax＋1 C．f(x)＝ax D．f(x)＝logax 解析：選B　依題意得a＞0，因此函數(shù)f(x)＝ax＋b在區(qū)間(0，a)上是增函數(shù)；函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋1＝(x－a)2＋1－a2(注意到其圖象的對稱軸是直線x＝a，開口方向向上)在區(qū)間(0，a)上是減函數(shù)；函數(shù)f(x)＝ax、f(x)＝logax在區(qū)間(0，a)上的單調性不確定(a與1的大小關系不確定)．綜上所述，在區(qū)間(0，a)上一定是減函數(shù)的是f(x)＝x2－2ax＋1. 2．(20xx·嘉興模擬)函數(shù)y＝(x－2)|x|在[a,2]上的最小值為－1，則實數(shù)a的取值范圍為________． 解析：y＝(x－2)|x|＝ 函數(shù)的圖象如圖所示，當x<0時，由－x2＋2x＝－1，得x＝1－. 借助圖形可知1－≤a≤1. 答案：[1－，1]