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1、
2012-2021十年全國高考數(shù)學(xué)真題分類匯編 計數(shù)原理(精解精析)
一、選擇題
1.(2021年高考全國乙卷理科)將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓(xùn),每名志愿者只分配到1個項目,每個項目至少分配1名志愿者,則不同的分配方案共有 ( )
A.60種 B.120種 C.240種 D.480種
【答案】C
解析:根據(jù)題意,有一個項目中分配2名志愿者,其余各項目中分配1名志愿者,可以先從5名志愿者中任選2人,組成一個小組,有種選法;然后連同其余三人,看成四個元素,四個項目看成四個不同的位置,四個不同的元素在四個不同的位置的排列方法數(shù)有4!種,
2、根據(jù)乘法原理,完成這件事,共有種不同的分配方案,
故選:C.
【點睛】本題考查排列組合的應(yīng)用問題,屬基礎(chǔ)題,關(guān)鍵是首先確定人數(shù)的分配情況,然后利用先選后排思想求解.
2.(2020年高考數(shù)學(xué)課標Ⅰ卷理科)的展開式中x3y3的系數(shù)為 ( )
A.5 B.10 C.15 D.20
【答案】C
【解析】展開式的通項公式為(且)
所以的各項與展開式的通項的乘積可表示為:
和
在中,令,可得:,該項中的系數(shù)為,
在中,令,可得:,該項中的系數(shù)為
所以的系數(shù)為
故選:C
【點睛】本題主要考查了二項式定理及其展開式的通項公式,還考查了賦值法、轉(zhuǎn)化能力及分析能力,屬于中檔題.
3
3、.(2019年高考數(shù)學(xué)課標Ⅲ卷理科)的展開式中的系數(shù)為 ( )
A.12 B.16 C.20 D.24
【答案】A
【解析】因為,所以的系數(shù)為,故選A.
【點評】本題主要考查二項式定理,利用展開式通項公式求展開式指定項的系數(shù),是常規(guī)考法。
4.(2018年高考數(shù)學(xué)課標Ⅲ卷(理))的展開式中的系數(shù)為 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
解析:展開式的通項公式為,令,解得,故含的系數(shù)為,故選C.
5.(2017年高考數(shù)學(xué)新課標Ⅰ卷理科)展開式中的系數(shù)為 ( )
A. B. C. D.
【答案】 C
【解析】因為,則展開式中含的項為,展開式中含的項為,故前系
4、數(shù)為,選C.
【考點】二項式定理
【點評】對于兩個二項式乘積的問題,第一個二項式中的每項乘以第二個二項式的每項,分析好的項共有幾項,進行加和.這類問題的易錯點主要是未能分析清楚構(gòu)成這一項的具體情況,尤其是兩個二項式展開式中的不同.
6.(2017年高考數(shù)學(xué)課標Ⅲ卷理科)的展開式中的系數(shù)為 ( )
A. B. C.40 D.80
【答案】 C
【解析】,
由 展開式的通項公式: 可得:
當(dāng) 時, 展開式中 的系數(shù)為 ,
當(dāng) 時, 展開式中 的系數(shù)為 ,
則 的系數(shù)為.
故選C.
【考點】二項式展開式的通項公式
【點評】(1)二項式定理的核心是
5、通項公式,求解此類問題可以分兩步完成:第一步根據(jù)所給出的條件(特定項)和通項公式,建立方程來確定指數(shù)(求解時要注意二項式系數(shù)中n和r的隱含條件,即n,r均為非負整數(shù),且n≥r,如常數(shù)項指數(shù)為零、有理項指數(shù)為整數(shù)等);第二步是根據(jù)所求的指數(shù),再求所求解的項.
(2)求兩個多項式的積的特定項,可先化簡或利用分類加法計數(shù)原理討論求解.
7.(2017年高考數(shù)學(xué)課標Ⅱ卷理科)安排3名志愿者完成4項工作,每人至少完成1項,每項工作由1人完成,則不同的安排方式共有 ( )
A.12種 B.18種 C.24種 D.36種
【答案】 D
【命題意圖】本題主要考查基本計數(shù)原理的應(yīng)用,以考查考生
6、的邏輯分析能力和運算求解能力
為主.
【解析】解法一:分組分配之分人
首先 分組
將三人分成兩組,一組為三個人,有種可能,另外一組從三人在選調(diào)一人,有種可
能;
其次 排序
兩組前后在排序,在對位找工作即可,有種可能;共計有36種可能.
解法二:分組分配之分工作
工作分成三份有種可能,在把三組工作分給3個人有可能,共計有36種可能.
解法三:分組分配之人與工作互動
先讓先個人個完成一項工作,有種可能,剩下的一項工作在有3人中一人完成有
種可能,但由兩項工作人數(shù)相同,所以要除以,共計有36種可能.
解法四:占位法
其中必有一個完成兩項工作,選出此人,讓其先占位,即有中
7、可能;剩下的兩項工作
由剩下的兩個人去完成,即有種可能,按分步計數(shù)原理求得結(jié)果為36種可能.
解法五:隔板法和環(huán)桌排列
首先讓其環(huán)桌排列,在插兩個隔板,有種可能,在分配給3人工作有種可能,按分
步計數(shù)原理求得結(jié)果為36種可能.
【知識拓展】計數(shù)原理屬于必考考點,??碱}型有1.排列組合;2.二項式定理,幾乎二者是隔一年或隔兩年交互出題,排列組合這種排序問題???,已經(jīng)屬于高考常態(tài),利用二項式定理求某一項的系數(shù)或求奇偶項和也已經(jīng)屬于高考常態(tài),尤其是利用二項式定理求某一項的系數(shù)更為突出.
8.(2016高考數(shù)學(xué)課標Ⅱ卷理科)如圖,小明從街道的處出發(fā),先到處與小紅會合,再一起到位于處的老年公
8、寓參加志愿者活動,則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為 ( )
( )
A.24 B.18 C.12 D.9
【答案】B
【解析】有種走法,有種走法,由乘法原理知,共種走法
故選B.
9.(2015高考數(shù)學(xué)新課標1理科)的展開式中,的系數(shù)為 ( )
A.10 B.20 C.30 D.60
【答案】C
解析:在的5個因式中,2個取因式中剩余的3個因式中1個取,其余因式取y,故的系數(shù)為=30,故選 C.
考點:本題主要考查利用排列組合知識計算二項式展開式某一項的系數(shù).
【名師點睛】本題利用排列組合求多項展開式式某一項的系數(shù),試題形式新穎,是中檔題,求多項展開式式某
9、一項的系數(shù)問題,先分析該項的構(gòu)成,結(jié)合所給多項式,分析如何得到該項,再利用排列組知識求解.
10.(2013高考數(shù)學(xué)新課標2理科)已知的展開式中的系數(shù)為5,則等于 ( )
A.-4 B.-3 C.-2 D.-1
【答案】D
解析:中含的項為:,即
考點:(1)10.7.1求二項展開式的指定項或指定項系數(shù);
難度:B
備注:高頻考點
11.(2013高考數(shù)學(xué)新課標1理科)設(shè)m為正整數(shù),展開式的二項式系數(shù)的最大值為,展開式的二項式系數(shù)的最大值為,若13=7,則= ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
【答案】B
解析:由題知=,=,∴13=7,即=,
解得=6,故
10、選B.
考點: (1)10.7.2求最大系數(shù)或系數(shù)最大的項;(2)13.1.1函數(shù)與方程思想.
難度:A
備注:高頻考點
12.(2012高考數(shù)學(xué)新課標理科)將2名教師,4名學(xué)生分成2個小組,分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動,每個小組
由1名教師和2名學(xué)生組成,不同的安排方案共有 ( )
A.12種 B.10種 C.9種 D.8種
【答案】A
解析:第一步,為甲地選一名老師和兩個學(xué)生,,有=12種選法;
第二步,為乙地選1名教師和2名學(xué)生,有1種選法
故不同的安排方案共有2×6×1=12種
考點:(1)10.6.2分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用;(2)10.6.5組合問題
11、.
難度:A
備注:高頻考點
二、填空題
13.(2020年高考數(shù)學(xué)課標Ⅲ卷理科)的展開式中常數(shù)項是__________(用數(shù)字作答).
【答案】
解析:
其二項式展開通項:
當(dāng),解得
的展開式中常數(shù)項是:.
故答案為:.
【點睛】本題考查二項式定理,利用通項公式求二項展開式中的指定項,解題關(guān)鍵是掌握的展開通項公式,考查了分析能力和計算能力,屬于基礎(chǔ)題.
14.(2018年高考數(shù)學(xué)課標卷Ⅰ(理))從2位女生,4位男生中選3人參加科技比賽,且至少有1位女生入選,則不同的選法共有 種.。(用數(shù)字填寫答案)
【答案】16
解析:方法一:直接法,1女2
12、男,有,2女1男,有
根據(jù)分類計數(shù)原理可得,共有12+4=16種,
方法二,間接法:種.
15.(2016高考數(shù)學(xué)課標Ⅰ卷理科)的展開式中,的系數(shù)是 .(用數(shù)字填寫答案)
【答案】10
【解析】設(shè)展開式的第項為,∴.
當(dāng)時,,即.故答案為10.
16.(2015高考數(shù)學(xué)新課標2理科)的展開式中的奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為32,則__________.
【答案】
分析:由已知得,故的展開式中x的奇數(shù)次冪項分別為,,,,,其系數(shù)之和為,解得.
考點:二項式定理.
17.(2014高考數(shù)學(xué)課標2理科)的展開式中,的系數(shù)為15,則=________.(用數(shù)字填寫答案)
【答案】
解析:故
考點:(1)求二項展開式的指定項或指定項系數(shù);(2)組合數(shù)的運算。
難度:B
備注:常考題
18.(2014高考數(shù)學(xué)課標1理科)的展開式中的系數(shù)為________.(用數(shù)字填寫答案)
【答案】 20
解析:展開式的通項為,
∴,
∴的展開式中的項為,故系數(shù)為20.
考點:(1)求二項式展開式的指定項系數(shù)(2)二項式的通項公式(3)函數(shù)與方程的思想
難度:B