【2022高考必備】2012-2021十年全國(guó)高考數(shù)學(xué)真題分類(lèi)匯編 計(jì)數(shù)原理(精解精析)

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1、 2012-2021十年全國(guó)高考數(shù)學(xué)真題分類(lèi)匯編 計(jì)數(shù)原理(精解精析) 一、選擇題 1.(2021年高考全國(guó)乙卷理科)將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn),每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目,每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者,則不同的分配方案共有 (  ) A.60種 B.120種 C.240種 D.480種 【答案】C 解析:根據(jù)題意,有一個(gè)項(xiàng)目中分配2名志愿者,其余各項(xiàng)目中分配1名志愿者,可以先從5名志愿者中任選2人,組成一個(gè)小組,有種選法;然后連同其余三人,看成四個(gè)元素,四個(gè)項(xiàng)目看成四個(gè)不同的位置,四個(gè)不同的元素在四個(gè)不同的位置的排列方法數(shù)有4!種,

2、根據(jù)乘法原理,完成這件事,共有種不同的分配方案, 故選:C. 【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的應(yīng)用問(wèn)題,屬基礎(chǔ)題,關(guān)鍵是首先確定人數(shù)的分配情況,然后利用先選后排思想求解. 2.(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷理科)的展開(kāi)式中x3y3的系數(shù)為 (  ) A.5 B.10 C.15 D.20 【答案】C 【解析】展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為(且) 所以的各項(xiàng)與展開(kāi)式的通項(xiàng)的乘積可表示為: 和 在中,令,可得:,該項(xiàng)中的系數(shù)為, 在中,令,可得:,該項(xiàng)中的系數(shù)為 所以的系數(shù)為 故選:C 【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理及其展開(kāi)式的通項(xiàng)公式,還考查了賦值法、轉(zhuǎn)化能力及分析能力,屬于中檔題. 3

3、.(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)的展開(kāi)式中的系數(shù)為 (  ) A.12 B.16 C.20 D.24 【答案】A 【解析】因?yàn)椋缘南禂?shù)為,故選A. 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二項(xiàng)式定理,利用展開(kāi)式通項(xiàng)公式求展開(kāi)式指定項(xiàng)的系數(shù),是常規(guī)考法。 4.(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷(理))的展開(kāi)式中的系數(shù)為 (  ) A. B. C. D. 【答案】C 解析:展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為,令,解得,故含的系數(shù)為,故選C. 5.(2017年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷理科)展開(kāi)式中的系數(shù)為 (  ) A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】因?yàn)?則展開(kāi)式中含的項(xiàng)為,展開(kāi)式中含的項(xiàng)為,故前系

4、數(shù)為,選C. 【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理 【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于兩個(gè)二項(xiàng)式乘積的問(wèn)題,第一個(gè)二項(xiàng)式中的每項(xiàng)乘以第二個(gè)二項(xiàng)式的每項(xiàng),分析好的項(xiàng)共有幾項(xiàng),進(jìn)行加和.這類(lèi)問(wèn)題的易錯(cuò)點(diǎn)主要是未能分析清楚構(gòu)成這一項(xiàng)的具體情況,尤其是兩個(gè)二項(xiàng)式展開(kāi)式中的不同. 6.(2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)的展開(kāi)式中的系數(shù)為 (  ) A. B. C.40 D.80 【答案】 C 【解析】, 由 展開(kāi)式的通項(xiàng)公式: 可得: 當(dāng) 時(shí), 展開(kāi)式中 的系數(shù)為 , 當(dāng) 時(shí), 展開(kāi)式中 的系數(shù)為 , 則 的系數(shù)為. 故選C. 【考點(diǎn)】二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式 【點(diǎn)評(píng)】(1)二項(xiàng)式定理的核心是

5、通項(xiàng)公式,求解此類(lèi)問(wèn)題可以分兩步完成:第一步根據(jù)所給出的條件(特定項(xiàng))和通項(xiàng)公式,建立方程來(lái)確定指數(shù)(求解時(shí)要注意二項(xiàng)式系數(shù)中n和r的隱含條件,即n,r均為非負(fù)整數(shù),且n≥r,如常數(shù)項(xiàng)指數(shù)為零、有理項(xiàng)指數(shù)為整數(shù)等);第二步是根據(jù)所求的指數(shù),再求所求解的項(xiàng). (2)求兩個(gè)多項(xiàng)式的積的特定項(xiàng),可先化簡(jiǎn)或利用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理討論求解. 7.(2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科)安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作,每人至少完成1項(xiàng),每項(xiàng)工作由1人完成,則不同的安排方式共有 (  ) A.12種 B.18種 C.24種 D.36種 【答案】 D 【命題意圖】本題主要考查基本計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用,以考查考生

6、的邏輯分析能力和運(yùn)算求解能力 為主. 【解析】解法一:分組分配之分人 首先 分組 將三人分成兩組,一組為三個(gè)人,有種可能,另外一組從三人在選調(diào)一人,有種可 能; 其次 排序 兩組前后在排序,在對(duì)位找工作即可,有種可能;共計(jì)有36種可能. 解法二:分組分配之分工作 工作分成三份有種可能,在把三組工作分給3個(gè)人有可能,共計(jì)有36種可能. 解法三:分組分配之人與工作互動(dòng) 先讓先個(gè)人個(gè)完成一項(xiàng)工作,有種可能,剩下的一項(xiàng)工作在有3人中一人完成有 種可能,但由兩項(xiàng)工作人數(shù)相同,所以要除以,共計(jì)有36種可能. 解法四:占位法 其中必有一個(gè)完成兩項(xiàng)工作,選出此人,讓其先占位,即有中

7、可能;剩下的兩項(xiàng)工作 由剩下的兩個(gè)人去完成,即有種可能,按分步計(jì)數(shù)原理求得結(jié)果為36種可能. 解法五:隔板法和環(huán)桌排列 首先讓其環(huán)桌排列,在插兩個(gè)隔板,有種可能,在分配給3人工作有種可能,按分 步計(jì)數(shù)原理求得結(jié)果為36種可能. 【知識(shí)拓展】計(jì)數(shù)原理屬于必考考點(diǎn),??碱}型有1.排列組合;2.二項(xiàng)式定理,幾乎二者是隔一年或隔兩年交互出題,排列組合這種排序問(wèn)題常考,已經(jīng)屬于高考常態(tài),利用二項(xiàng)式定理求某一項(xiàng)的系數(shù)或求奇偶項(xiàng)和也已經(jīng)屬于高考常態(tài),尤其是利用二項(xiàng)式定理求某一項(xiàng)的系數(shù)更為突出. 8.(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科)如圖,小明從街道的處出發(fā),先到處與小紅會(huì)合,再一起到位于處的老年公

8、寓參加志愿者活動(dòng),則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為 (  ) (  ) A.24 B.18 C.12 D.9 【答案】B 【解析】有種走法,有種走法,由乘法原理知,共種走法 故選B. 9.(2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科)的展開(kāi)式中,的系數(shù)為 (  ) A.10 B.20 C.30 D.60 【答案】C 解析:在的5個(gè)因式中,2個(gè)取因式中剩余的3個(gè)因式中1個(gè)取,其余因式取y,故的系數(shù)為=30,故選 C. 考點(diǎn):本題主要考查利用排列組合知識(shí)計(jì)算二項(xiàng)式展開(kāi)式某一項(xiàng)的系數(shù). 【名師點(diǎn)睛】本題利用排列組合求多項(xiàng)展開(kāi)式式某一項(xiàng)的系數(shù),試題形式新穎,是中檔題,求多項(xiàng)展開(kāi)式式某

9、一項(xiàng)的系數(shù)問(wèn)題,先分析該項(xiàng)的構(gòu)成,結(jié)合所給多項(xiàng)式,分析如何得到該項(xiàng),再利用排列組知識(shí)求解. 10.(2013高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科)已知的展開(kāi)式中的系數(shù)為5,則等于 (  ) A.-4 B.-3 C.-2 D.-1 【答案】D 解析:中含的項(xiàng)為:,即 考點(diǎn):(1)10.7.1求二項(xiàng)展開(kāi)式的指定項(xiàng)或指定項(xiàng)系數(shù); 難度:B 備注:高頻考點(diǎn) 11.(2013高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科)設(shè)m為正整數(shù),展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為,展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為,若13=7,則= (  ) A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】B 解析:由題知=,=,∴13=7,即=, 解得=6,故

10、選B. 考點(diǎn): (1)10.7.2求最大系數(shù)或系數(shù)最大的項(xiàng);(2)13.1.1函數(shù)與方程思想. 難度:A 備注:高頻考點(diǎn) 12.(2012高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)理科)將2名教師,4名學(xué)生分成2個(gè)小組,分別安排到甲、乙兩地參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng),每個(gè)小組 由1名教師和2名學(xué)生組成,不同的安排方案共有 (  ) A.12種 B.10種 C.9種 D.8種 【答案】A 解析:第一步,為甲地選一名老師和兩個(gè)學(xué)生,,有=12種選法; 第二步,為乙地選1名教師和2名學(xué)生,有1種選法 故不同的安排方案共有2×6×1=12種 考點(diǎn):(1)10.6.2分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用;(2)10.6.5組合問(wèn)題

11、. 難度:A 備注:高頻考點(diǎn) 二、填空題 13.(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是__________(用數(shù)字作答). 【答案】 解析: 其二項(xiàng)式展開(kāi)通項(xiàng): 當(dāng),解得 的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是:. 故答案為:. 【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理,利用通項(xiàng)公式求二項(xiàng)展開(kāi)式中的指定項(xiàng),解題關(guān)鍵是掌握的展開(kāi)通項(xiàng)公式,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題. 14.(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷Ⅰ(理))從2位女生,4位男生中選3人參加科技比賽,且至少有1位女生入選,則不同的選法共有 種.。(用數(shù)字填寫(xiě)答案) 【答案】16 解析:方法一:直接法,1女2

12、男,有,2女1男,有 根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理可得,共有12+4=16種, 方法二,間接法:種. 15.(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷理科)的展開(kāi)式中,的系數(shù)是 .(用數(shù)字填寫(xiě)答案) 【答案】10 【解析】設(shè)展開(kāi)式的第項(xiàng)為,∴. 當(dāng)時(shí),,即.故答案為10. 16.(2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科)的展開(kāi)式中的奇數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為32,則__________. 【答案】 分析:由已知得,故的展開(kāi)式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)分別為,,,,,其系數(shù)之和為,解得. 考點(diǎn):二項(xiàng)式定理. 17.(2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)2理科)的展開(kāi)式中,的系數(shù)為15,則=________.(用數(shù)字填寫(xiě)答案) 【答案】 解析:故 考點(diǎn):(1)求二項(xiàng)展開(kāi)式的指定項(xiàng)或指定項(xiàng)系數(shù);(2)組合數(shù)的運(yùn)算。 難度:B 備注:??碱} 18.(2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)1理科)的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_______.(用數(shù)字填寫(xiě)答案) 【答案】 20 解析:展開(kāi)式的通項(xiàng)為, ∴, ∴的展開(kāi)式中的項(xiàng)為,故系數(shù)為20. 考點(diǎn):(1)求二項(xiàng)式展開(kāi)式的指定項(xiàng)系數(shù)(2)二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式(3)函數(shù)與方程的思想 難度:B

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