【名校資料】高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫(kù)第三章 第4講導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

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1、◆+◆◆二〇一九高考數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料◆+◆◆ 第4講　導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 一、填空題 1．已知某生產(chǎn)廠家的年利潤(rùn)y(單位：萬(wàn)元)與年產(chǎn)量x(單位：萬(wàn)件)的函數(shù)關(guān)系式為y＝－x3＋81x－234，則使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤(rùn)的年產(chǎn)量為_(kāi)_______． 解析 ∵y＝－x3＋81x－234， ∴y′＝－x2＋81(x>0)． 令y′＝0得x＝9， 令y′<0得x>9，[來(lái)源:數(shù)理化網(wǎng)] 令y′>0得0

2、范圍是________． 解析　因?yàn)楹瘮?shù)y＝ex＋2mx有大于零的極值點(diǎn)，所以y′＝ex＋2m＝0有大于零的實(shí)根． 令y1＝ex，y2＝－2m，則兩曲線的交點(diǎn)必在第一象限．由圖象可得－2m>1，即m<－. 答案　 3．設(shè)p：f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1在(－∞，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增，q：m≥，則p是q的________條件． 解析　∵f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1，∴f′(x)＝3x2＋4x＋m. 由f(x)為增函數(shù)得f′(x)≥0在R上恒成立，則Δ≤0，即16－12m≤0，解得m≥.故為充分必要條件． 答案　充分必要 4．若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(－1)＝2，對(duì)任意x

3、∈R，f′(x)＞2，則f(x)＞2x＋4的解集為_(kāi)_______． 解析　令g(x)＝f(x)－2x－4，則g′(x)＝f′(x)－2＞0， ∴g(x)在R上遞增．又g(－1)＝f(－1)－2·(－1)－4＝0. ∴g(x)＞0?x＞－1. 答案　(－1，＋∞) 5．已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)＝a(x＋1)·(x－a)，若f(x)在x＝a處取到極大值，則a的取值范圍是________． 解析　結(jié)合二次函數(shù)圖象知，當(dāng)a>0或a<－1時(shí)，在x＝a處取得極小值，當(dāng)－1

4、個(gè)矩形場(chǎng)地，則矩形場(chǎng)地的最大面積是________m2. 解析　設(shè)矩形的長(zhǎng)為x m，則寬為：＝8－x(m) ∴S矩形＝x(8－x)＝8x－x2＝－(x－4)2＋16≤16. 答案　16 7．一輛列車(chē)沿直線軌道前進(jìn)，從剎車(chē)開(kāi)始到停車(chē)這段時(shí)間內(nèi)，測(cè)得剎車(chē)后t秒內(nèi)列車(chē)前進(jìn)的距離為S＝27t－0.45t2米，則列車(chē)剎車(chē)后________秒車(chē)停下來(lái)，期間列車(chē)前進(jìn)了________米． 解析　S′(t)＝27－0.9t，由瞬時(shí)速度v(t)＝S′(t)＝0得t＝30(秒)，期間列車(chē)前進(jìn)了S(30)＝27×30－0.45×302＝405(米)． 答案　30　405 8．挖一條隧道，截面下方為矩形

5、，上方為半圓(如圖)， 如果截面積為20 m2，當(dāng)寬為_(kāi)_______時(shí)，使截面周長(zhǎng)最?。? 解析：如圖所示，設(shè)半圓的半徑為r，矩形的高為h， 則截面積S＝2rh＋＝20， 截面周長(zhǎng)C＝2r＋2h＋πr＝2r＋＋πr＝2r＋－＋πr ＝r＋. 設(shè)C′(r)＝－， 令C′(r)＝0，解得r＝2 . 故當(dāng)r＝2 時(shí)，周長(zhǎng)C最小，即寬為4 時(shí)，截面周長(zhǎng)最小． 答案：4 9．將邊長(zhǎng)為1 m的正三角形薄鐵皮，沿一條平行于某邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記s＝，則s的最小值是________． 解析　如圖所示，設(shè)AD＝x m(0＜x＜1)，則DE＝AD＝x m，

6、 ∴梯形的周長(zhǎng)為x＋2(1－x)＋1＝ 3－x (m)， 又S△ADE＝x2(m2)， ∴梯形的面積為－x2(m2)， ∴s＝×(0＜x＜1)， ∴s′＝×， 令s′＝0得x＝或3(舍去)，當(dāng)x∈時(shí)，s′＜0，s遞減；當(dāng)x∈時(shí)，s′＞0，s遞增．故當(dāng)x＝時(shí)，s的最小值是. 答案　 10．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若對(duì)于任意x∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______． 解析　若x＝0，則不論a取何值，f(x)≥0顯然成立； 當(dāng)x>0，即x∈(0,1]時(shí)，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化為a≥－.設(shè)g(x)＝－，則g′(x)＝，

7、 所以g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此g(x)max＝g＝4，從而a≥4. 當(dāng)x<0，即x∈[－1,0)時(shí)，同理a≤－. g(x)在區(qū)間[－1,0)上單調(diào)遞增， ∴g(x)min＝g(－1)＝4，從而a≤4， 綜上可知a＝4. 答案　4 二、解答題 11．請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒，如圖所示，ABCD是邊長(zhǎng)為60 cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P，正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒，E，F(xiàn)在AB上，是被切去的一個(gè)等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)．設(shè)AE＝FB＝x(cm)． (1)某廣告商要

8、求包裝盒的側(cè)面積S(cm2)最大，試問(wèn)x應(yīng)取何值？ (2)某廠商要求包裝盒的容積V(cm3)最大，試問(wèn)x應(yīng)取何值？并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值． 解　設(shè)包裝盒的高為h(cm)，底面邊長(zhǎng)為a(cm)．由已知得 a＝x，h＝＝(30－x)，0＜x＜30. (1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1 800. 所以當(dāng)x＝15 cm時(shí)，S取得最大值． (2)V＝a2h＝2(－x3＋30x2)，V′＝6x(20－x)． 由V′＝0，得x＝0(舍)或x＝20. 當(dāng)x∈(0,20)時(shí)，V′＞0；當(dāng)x∈(20,30)時(shí)，V′＜0. 所以當(dāng)x＝20時(shí)，V取得極大值，

9、也就是最大值， 此時(shí)＝，即包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值為. 12．某企業(yè)擬建造如圖所示的容器(不計(jì)厚度，長(zhǎng)度單位：米)，其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設(shè)計(jì)要求容器的容積為立方米，且l≥2r.假設(shè)該容器的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān)．已知圓柱形部分每平方米建造費(fèi)用為3千元，半球形部分每平方米建造費(fèi)用為c(c>3)千元，設(shè)該容器的建造費(fèi)用為y千元． (1)寫(xiě)出y關(guān)于r的函數(shù)表達(dá)式，并求該函數(shù)的定義域； (2)求該容器的建造費(fèi)用最小時(shí)的r. 解　(1)設(shè)容器為V，則由題意，得V＝πr2l＋πr3. 又V＝，故l＝＝－r＝. 由于l≥2r，所以0

10、y＝2πrl×3＋4πr2c ＝2πr××3＋4πr2c. 因此y＝4π(c－2)r2＋，03，所以c－2>0，故當(dāng) r3－＝0，即r＝ 時(shí)． 令 ＝m，則m>0， 所以y′＝(r－m)(r2＋rm＋m2)． ①當(dāng)0時(shí)， 若r∈(0，m)，則y′<0；若r∈(m,2)，則y′>0 所以當(dāng)r＝m是函數(shù)y的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)． ②當(dāng)m≥2即3

11、當(dāng)c>時(shí)，建造費(fèi)用最小時(shí)r＝ . 13．已知函數(shù)f(x)＝aln x－ax－3(a∈R)． (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)若函數(shù)y＝f(x)的圖象在點(diǎn)(2，f(2))處的切線的傾斜角為45°，對(duì)于任意的t∈[1,2]，函數(shù)g(x)＝x3＋x2在區(qū)間(t,3)上總不是單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍． 解　(1)根據(jù)題意知，f′(x)＝(x＞0)， 當(dāng)a＞0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1]，單調(diào)遞減區(qū)間為(1，＋∞)； 當(dāng)a＜0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1]； 當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)不是單調(diào)函數(shù)． (2)∵f′(2)＝－＝1，∴a＝－2，

12、 ∴f(x)＝－2ln x＋2x－3.∴g(x)＝x3＋x2－2x， ∴g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2. ∵g(x)在區(qū)間(t,3)上總不是單調(diào)函數(shù)，且g′(0)＝－2， ∴ 由題意知：對(duì)于任意的t∈[1,2]，g′(t)＜0恒成立， ∴∴－＜m＜－9. 14． 設(shè)函數(shù)f(x)＝ex－ax－2. (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)若a＝1，k為整數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，(x－k)f′(x)＋x＋1>0，求k的最大值． 解 (1)f(x)的定義域?yàn)?－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a. 若a≤0，則f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)單調(diào)遞增． 若a>0，則當(dāng)

13、x∈(－∞，ln a)時(shí)，f′(x)<0；[來(lái)源:] 當(dāng)x∈(ln a，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，所以，f(x)在(－∞，ln a)單調(diào)遞減，在(ln a，＋∞)上單調(diào)遞增． (2)由于a＝1， 所以(x－k)f′(x)＋x＋1＝(x－k)(ex－1)＋x＋1. 故當(dāng)x>0時(shí)，(x－k)f′(x)＋x＋1>0等價(jià)于 k<＋x　(x>0)① 令g(x)＝＋x， 則g′(x)＝＋1＝. 由(1)知，函數(shù)h(x)＝ex－x－2在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．而h(1)<0，h(2)>0，所以h(x)在(0，＋∞)存在唯一的零點(diǎn)，故g′(x)在(0，＋∞)存在唯一的零點(diǎn)．設(shè)此零點(diǎn)為α，則α∈(1,2)． 當(dāng)x∈(0，α)時(shí)，g′(x)<0； 當(dāng)x∈(α，＋∞)時(shí)，g′(x)>0. 所以g(x)在(0，＋∞)上的最小值為g(α)．[來(lái)源:] 又由g′(α)＝0，可得eα＝α＋2， 所以g(α)＝α＋1∈(2,3)． 由于①式等價(jià)于k