【名校資料】高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫(kù)第三章 第4講導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

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1、◆+◆◆二〇一九高考數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料◆+◆◆ 第4講 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 一、填空題 1.已知某生產(chǎn)廠家的年利潤(rùn)y(單位:萬元)與年產(chǎn)量x(單位:萬件)的函數(shù)關(guān)系式為y=-x3+81x-234,則使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤(rùn)的年產(chǎn)量為________. 解析 ∵y=-x3+81x-234, ∴y′=-x2+81(x>0). 令y′=0得x=9, 令y′<0得x>9,[來源:數(shù)理化網(wǎng)] 令y′>0得0

2、范圍是________. 解析 因?yàn)楹瘮?shù)y=ex+2mx有大于零的極值點(diǎn),所以y′=ex+2m=0有大于零的實(shí)根. 令y1=ex,y2=-2m,則兩曲線的交點(diǎn)必在第一象限.由圖象可得-2m>1,即m<-. 答案  3.設(shè)p:f(x)=x3+2x2+mx+1在(-∞,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,q:m≥,則p是q的________條件. 解析 ∵f(x)=x3+2x2+mx+1,∴f′(x)=3x2+4x+m. 由f(x)為增函數(shù)得f′(x)≥0在R上恒成立,則Δ≤0,即16-12m≤0,解得m≥.故為充分必要條件. 答案 充分必要 4.若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f(-1)=2,對(duì)任意x

3、∈R,f′(x)>2,則f(x)>2x+4的解集為________. 解析 令g(x)=f(x)-2x-4,則g′(x)=f′(x)-2>0, ∴g(x)在R上遞增.又g(-1)=f(-1)-2·(-1)-4=0. ∴g(x)>0?x>-1. 答案 (-1,+∞) 5.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)=a(x+1)·(x-a),若f(x)在x=a處取到極大值,則a的取值范圍是________. 解析 結(jié)合二次函數(shù)圖象知,當(dāng)a>0或a<-1時(shí),在x=a處取得極小值,當(dāng)-1

4、個(gè)矩形場(chǎng)地,則矩形場(chǎng)地的最大面積是________m2. 解析 設(shè)矩形的長(zhǎng)為x m,則寬為:=8-x(m) ∴S矩形=x(8-x)=8x-x2=-(x-4)2+16≤16. 答案 16 7.一輛列車沿直線軌道前進(jìn),從剎車開始到停車這段時(shí)間內(nèi),測(cè)得剎車后t秒內(nèi)列車前進(jìn)的距離為S=27t-0.45t2米,則列車剎車后________秒車停下來,期間列車前進(jìn)了________米. 解析 S′(t)=27-0.9t,由瞬時(shí)速度v(t)=S′(t)=0得t=30(秒),期間列車前進(jìn)了S(30)=27×30-0.45×302=405(米). 答案 30 405 8.挖一條隧道,截面下方為矩形

5、,上方為半圓(如圖), 如果截面積為20 m2,當(dāng)寬為________時(shí),使截面周長(zhǎng)最?。? 解析:如圖所示,設(shè)半圓的半徑為r,矩形的高為h, 則截面積S=2rh+=20, 截面周長(zhǎng)C=2r+2h+πr=2r++πr=2r+-+πr =r+. 設(shè)C′(r)=-, 令C′(r)=0,解得r=2 . 故當(dāng)r=2 時(shí),周長(zhǎng)C最小,即寬為4 時(shí),截面周長(zhǎng)最?。? 答案:4 9.將邊長(zhǎng)為1 m的正三角形薄鐵皮,沿一條平行于某邊的直線剪成兩塊,其中一塊是梯形,記s=,則s的最小值是________. 解析 如圖所示,設(shè)AD=x m(0<x<1),則DE=AD=x m,

6、 ∴梯形的周長(zhǎng)為x+2(1-x)+1= 3-x (m), 又S△ADE=x2(m2), ∴梯形的面積為-x2(m2), ∴s=×(0<x<1), ∴s′=×, 令s′=0得x=或3(舍去),當(dāng)x∈時(shí),s′<0,s遞減;當(dāng)x∈時(shí),s′>0,s遞增.故當(dāng)x=時(shí),s的最小值是. 答案  10.設(shè)函數(shù)f(x)=ax3-3x+1(x∈R),若對(duì)于任意x∈[-1,1],都有f(x)≥0成立,則實(shí)數(shù)a的值為________. 解析 若x=0,則不論a取何值,f(x)≥0顯然成立; 當(dāng)x>0,即x∈(0,1]時(shí),f(x)=ax3-3x+1≥0可化為a≥-.設(shè)g(x)=-,則g′(x)=,

7、 所以g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,因此g(x)max=g=4,從而a≥4. 當(dāng)x<0,即x∈[-1,0)時(shí),同理a≤-. g(x)在區(qū)間[-1,0)上單調(diào)遞增, ∴g(x)min=g(-1)=4,從而a≤4, 綜上可知a=4. 答案 4 二、解答題 11.請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒,如圖所示,ABCD是邊長(zhǎng)為60 cm的正方形硬紙片,切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形,再沿虛線折起,使得A,B,C,D四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P,正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒,E,F(xiàn)在AB上,是被切去的一個(gè)等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn).設(shè)AE=FB=x(cm). (1)某廣告商要

8、求包裝盒的側(cè)面積S(cm2)最大,試問x應(yīng)取何值? (2)某廠商要求包裝盒的容積V(cm3)最大,試問x應(yīng)取何值?并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值. 解 設(shè)包裝盒的高為h(cm),底面邊長(zhǎng)為a(cm).由已知得 a=x,h==(30-x),0<x<30. (1)S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)2+1 800. 所以當(dāng)x=15 cm時(shí),S取得最大值. (2)V=a2h=2(-x3+30x2),V′=6x(20-x). 由V′=0,得x=0(舍)或x=20. 當(dāng)x∈(0,20)時(shí),V′>0;當(dāng)x∈(20,30)時(shí),V′<0. 所以當(dāng)x=20時(shí),V取得極大值,

9、也就是最大值, 此時(shí)=,即包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值為. 12.某企業(yè)擬建造如圖所示的容器(不計(jì)厚度,長(zhǎng)度單位:米),其中容器的中間為圓柱形,左右兩端均為半球形,按照設(shè)計(jì)要求容器的容積為立方米,且l≥2r.假設(shè)該容器的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān).已知圓柱形部分每平方米建造費(fèi)用為3千元,半球形部分每平方米建造費(fèi)用為c(c>3)千元,設(shè)該容器的建造費(fèi)用為y千元. (1)寫出y關(guān)于r的函數(shù)表達(dá)式,并求該函數(shù)的定義域; (2)求該容器的建造費(fèi)用最小時(shí)的r. 解 (1)設(shè)容器為V,則由題意,得V=πr2l+πr3. 又V=,故l==-r=. 由于l≥2r,所以0

10、y=2πrl×3+4πr2c =2πr××3+4πr2c. 因此y=4π(c-2)r2+,03,所以c-2>0,故當(dāng) r3-=0,即r= 時(shí). 令 =m,則m>0, 所以y′=(r-m)(r2+rm+m2). ①當(dāng)0時(shí), 若r∈(0,m),則y′<0;若r∈(m,2),則y′>0 所以當(dāng)r=m是函數(shù)y的極小值點(diǎn),也是最小值點(diǎn). ②當(dāng)m≥2即3

11、當(dāng)c>時(shí),建造費(fèi)用最小時(shí)r= . 13.已知函數(shù)f(x)=aln x-ax-3(a∈R). (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間; (2)若函數(shù)y=f(x)的圖象在點(diǎn)(2,f(2))處的切線的傾斜角為45°,對(duì)于任意的t∈[1,2],函數(shù)g(x)=x3+x2在區(qū)間(t,3)上總不是單調(diào)函數(shù),求m的取值范圍. 解 (1)根據(jù)題意知,f′(x)=(x>0), 當(dāng)a>0時(shí),f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1],單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+∞); 當(dāng)a<0時(shí),f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1]; 當(dāng)a=0時(shí),f(x)不是單調(diào)函數(shù). (2)∵f′(2)=-=1,∴a=-2,

12、 ∴f(x)=-2ln x+2x-3.∴g(x)=x3+x2-2x, ∴g′(x)=3x2+(m+4)x-2. ∵g(x)在區(qū)間(t,3)上總不是單調(diào)函數(shù),且g′(0)=-2, ∴ 由題意知:對(duì)于任意的t∈[1,2],g′(t)<0恒成立, ∴∴-<m<-9. 14. 設(shè)函數(shù)f(x)=ex-ax-2. (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間; (2)若a=1,k為整數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),(x-k)f′(x)+x+1>0,求k的最大值. 解 (1)f(x)的定義域?yàn)?-∞,+∞),f′(x)=ex-a. 若a≤0,則f′(x)>0,所以f(x)在(-∞,+∞)單調(diào)遞增. 若a>0,則當(dāng)

13、x∈(-∞,ln a)時(shí),f′(x)<0;[來源:] 當(dāng)x∈(ln a,+∞)時(shí),f′(x)>0,所以,f(x)在(-∞,ln a)單調(diào)遞減,在(ln a,+∞)上單調(diào)遞增. (2)由于a=1, 所以(x-k)f′(x)+x+1=(x-k)(ex-1)+x+1. 故當(dāng)x>0時(shí),(x-k)f′(x)+x+1>0等價(jià)于 k<+x (x>0)① 令g(x)=+x, 則g′(x)=+1=. 由(1)知,函數(shù)h(x)=ex-x-2在(0,+∞)上單調(diào)遞增.而h(1)<0,h(2)>0,所以h(x)在(0,+∞)存在唯一的零點(diǎn),故g′(x)在(0,+∞)存在唯一的零點(diǎn).設(shè)此零點(diǎn)為α,則α∈(1,2). 當(dāng)x∈(0,α)時(shí),g′(x)<0; 當(dāng)x∈(α,+∞)時(shí),g′(x)>0. 所以g(x)在(0,+∞)上的最小值為g(α).[來源:] 又由g′(α)=0,可得eα=α+2, 所以g(α)=α+1∈(2,3). 由于①式等價(jià)于k

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