高三數(shù)學一輪復習 第二章 函數(shù) 第九節(jié) 函數(shù)模型及應用課件 理

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1、理數(shù)課標版第九節(jié)函數(shù)模型及應用1.幾種常見的函數(shù)模型幾種常見的函數(shù)模型教材研讀教材研讀函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)=ax+b(a、b為常數(shù),a0)反比例函數(shù)模型f(x)=(k為常數(shù)且k0)二次函數(shù)模型f(x)=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a0)指數(shù)函數(shù)模型f(x)=bax+c(a,b,c為常數(shù),b0,a0且a1)對數(shù)函數(shù)模型f(x)=blogax+c(a,b,c為常數(shù),b0,a0且a1)冪函數(shù)模型f(x)=axn+b(a,b為常數(shù),a0)kx2.三種增長型函數(shù)模型的圖象與性質三種增長型函數(shù)模型的圖象與性質函數(shù)性質y=ax(a1)y=logax(a1)y=x(0)在(0,+)上

2、的增減性增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)圖象的變化 隨x增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨值變化而不同值的比較存在一個x0,當xx0時,有l(wèi)ogaxx0,b1)增長速度越來越快的形象比喻.()(3)冪函數(shù)增長比直線增長更快.()1.如圖所示的四個容器高度都相同,將水從容器頂部一個孔中以相同的速度注入其中,注滿為止.用容器下面所對的圖象表示該容器中水面的高度h和時間t之間的關系,其中不正確的有()A.1個B.2個C.3個D.4個答案答案A將水從容器頂部一個孔中以相同的速度注入其中,容器中水面的高度h和時間t之間的關系可以從高度隨時間的增長速度上反映出來,中的

3、增長應該是勻速的,故下面的圖象不正確;中的增長速度是越來越慢的,正確;中的增長速度是先快后慢再快,正確;中的增長速度是先慢后快再慢,也正確,故只有是錯誤的.選A.2.(2016山東濟寧模擬)某商品價格前兩年每年遞增20%,后兩年每年遞減20%,則四年后的價格與原來價格比較,變化的情況是()A.減少7.84%B.增加7.84%C.減少9.5%D.不增不減答案答案A設某商品原來價格為a,依題意得:a(1+0.2)2(1-0.2)2=a1.220.82=0.9216a,(0.9216-1)a=-0.0784a,所以四年后的價格與原來價格比較,減少7.84%.3.(2016山東淄博模擬)某城市客運公司

4、確定客票價格的方法是:如果行程不超過100km,票價是0.5元/km,如果超過100km,超過100km的部分按0.4元/km定價,則客運票價y(元)與行駛千米數(shù)x(km)之間的函數(shù)關系式是.答案答案 y=解析解析由題意可得y=0.5 ,01000.410,100 xxxx0.5 ,0100,0.410,100.xxxx4.用長度為24的材料圍一矩形場地,且中間有兩道隔墻(如圖),要使矩形的面積最大,則隔墻的長度為.答案答案3解析解析設隔墻的長度為x,矩形的面積為S,則S=(12-2x)x=-2x2+12x=-2(x-3)2+18,當x=3時,S取最大值.考點一一次函數(shù)與二次函數(shù)模型考點一一次

5、函數(shù)與二次函數(shù)模型典例典例1牧場中羊群的最大蓄養(yǎng)量為m只,為保證羊群的生長空間,實際蓄養(yǎng)量不能達到最大蓄養(yǎng)量,必須留出適當?shù)目臻e量.已知羊群的年增長量y只與實際蓄養(yǎng)量x只和空閑率的乘積成正比,比例系數(shù)為k(k0).(1)寫出y關于x的函數(shù)關系式;(2)求羊群年增長量的最大值;(3)當羊群的年增長量達到最大值時,求k的取值范圍.解析解析(1)根據(jù)題意,由于最大蓄養(yǎng)量為m只,實際蓄養(yǎng)量為x只,則蓄養(yǎng)率為,故空閑率為1-,由此可得y=kx(0 xm).xmxm1xm考點突破考點突破(2)對原二次函數(shù)配方,得y=-(x2-mx)=-+.kmkm22mx4km故當x=時,y取得最大值.(3)由題意知為給

6、羊群留有一定的生長空間,則有實際蓄養(yǎng)量與年增長量的和小于最大蓄養(yǎng)量,所以0 x+ym.因為當x=時,ymax=,所以0+m,解得-2k0,所以0k2.2m4km2m4km2m4km易錯警示易錯警示一次函數(shù)與二次函數(shù)模型問題的3個注意點(1)二次函數(shù)的最值問題一般利用配方法與函數(shù)的單調性解決,但一定要注意函數(shù)的定義域,否則極易出錯;(2)確定一次函數(shù)模型時,一般是借助兩個點來確定,常用待定系數(shù)法;(3)解決函數(shù)應用問題時,最后要還原到實際問題.變式變式1-1若本例牧場中羊群的最大蓄養(yǎng)量為10000只,實際蓄養(yǎng)量為8000只,比例系數(shù)k=1,則此時的年增長量為多少?解析解析由例題知y=kx(0 x

7、0),則2-30=10,當且僅當=,即x=200時取等號,因此,當每噸平均成本最低時,年產量為200噸.210 xyx10 x4000 xyx400010 xx10 x4000 x考點三指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)模型考點三指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)模型典例典例3(1)某公司為激勵創(chuàng)新,計劃逐年加大研發(fā)資金投入.若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬元,在此基礎上,每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%,則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是(參考數(shù)據(jù):lg1.120.05,lg1.30.11,lg20.30)()A.2018年B.2019年C.2020年D.2021年(2)(2015四川,13

8、,5分)某食品的保鮮時間y(單位:小時)與儲藏溫度x(單位:)滿足函數(shù)關系y=ekx+b(e=2.718為自然對數(shù)的底數(shù),k,b為常數(shù)).若該食品在0的保鮮時間是192小時,在22的保鮮時間是48小時,則該食品在33的保鮮時間是小時.答案答案(1)B(2)24解析解析(1)設x年后研發(fā)資金超過200萬元,則130(1+12%)x2001.12xxlg1.12lg0.05x0.19x3.8,故該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是2019年.(2)依題意有192=eb,48=e22k+b=e22keb,所以e22k=,所以e11k=或-(舍去),于是該食品在33的保鮮時間是e33k+

9、b=(e11k)3eb=192=24(小時).2013201348eb48192141212312規(guī)律總結規(guī)律總結應用指數(shù)函數(shù)模型的關注點(1)指數(shù)函數(shù)模型的應用類型.常與增長率相結合進行考查,在實際問題中有人口增長、銀行利率、細胞分裂等增長問題可以利用指數(shù)函數(shù)模型來解決.(2)應用指數(shù)函數(shù)模型時的關鍵.關鍵是對模型的判斷,先設定模型,再將已知的有關數(shù)據(jù)代入驗證,確定參數(shù),從而確定函數(shù)模型.3-1 (2016廣東湛江模擬)一個容器裝有細沙acm3,細沙從容器底部一個細微的小孔慢慢地漏出,tmin后剩余的細沙量(單位:cm3)為y=ae-bt,經過8min后發(fā)現(xiàn)容器內還有一半的沙子,則再經過min,容器中的沙子只有開始時的八分之一.答案答案16解析解析當t=8時,y=ae-8b=a,e-8b=,當容器中的沙子只有開始時的八分之一時,ae-bt=a,則e-bt=(e-8b)3=e-24b,則t=24,所以再經過16min,容器中的沙子只有開始時的八分之一.12121818