高考數(shù)學總復習 11相似三角形的判定及有關性質課件 新人教A版選修4

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1、考綱要求考綱要求1.了解平行線分線段成比例定理了解平行線分線段成比例定理2會證明并應用直角三角形射影定會證明并應用直角三角形射影定理理熱點提示熱點提示1.利用平行線等分線段定理和平行利用平行線等分線段定理和平行線分線段成比例定理進行相關推理線分線段成比例定理進行相關推理和計算和計算2相似三角形的判定及有關性質,相似三角形的判定及有關性質,直角三角形的射影定理的應用直角三角形的射影定理的應用. 1平行線等分線段定理定理如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等,那么在其他直線上截得的線段也推論1經過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必推論2經過梯形一腰的中心,且與底邊平行的直線相等平分第三邊平分另

2、一腰2平行線分線段成比例定理定理三條平行線截兩條直線,所得的成比例推論平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)所得的成比例對應線段對應線段3相似三角形的判定及性質(1)相似三角形的判定定義,對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形相似三角形對應邊的比值叫做相似比(或相似系數(shù))預備定理平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交,所構成的三角形與原三角形相似判定定理1對于任意兩個三角形,如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的對應相等,那么這兩個三角形相似簡述為:兩角對應相等,兩三角形相似對應角相等兩個角 判定定理2對于任意兩個三角形,如果一個三角形的兩邊和另一個三角形的兩邊對應

3、,并且夾角相等,那么這兩個三角形相似簡述為:兩邊對應且夾角相等,兩三角形相似 判定定理3對于任意兩個三角形的三條邊和另一個三角形的三條邊對應,那么這兩個三角形相似簡述為:三邊對應 ,兩三角形相似成比例成比例成比例成比例 (2)兩個直角三角形相似的判定 定理如果兩個直角三角形的一個銳角對應,那么它們相似 如果兩個直角三角形的兩條直角邊對應,那么它們相似 如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應,那么這兩個直角三角形相似相等成比例成比例 (3)相似三角形的性質 性質定理相似三角形對應高的比、對應中線的比和對應角平分線的比都等于 ; 相似三角形周長的比等于; 相似

4、三角形面積的比等于 相似三角形外接圓(或內切圓)的直徑比、周長比等于相似比,外接圓(或內切圓)的面積比等于 相似比相似比相似比的平方相似比的平方4直角三角形的射影定理直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的 ;兩直角邊分別是它們在斜邊上射影與斜邊的比例中項比例中項答案:C 2如下圖,在RtABC內畫有邊長依次為a、b、c的三個正方形,則a、b、c之間的關系是() A.bac Bb2ac Cb2a2c2 Db2a2c答案:B 3如圖,在ABCD中,BC24,E、F為BD的三等分點,則BM_,DN_.答案:126 4如圖,在ABC中,DEBC,BE與CD相交于點O,直線AO與DE、BC分別交于

5、N、M,若DN MC1 4,則NE BM_,AE EC_.答案答案本題考查了平行線截割定理在解三角形中的應用,即平行于三角形一邊的直線截其他兩邊,所得的線段對應成比例. 變式遷移 1如圖,F(xiàn)為ABCD邊上一點,連DF交AC于G,延長DF交CB的延長線于E.求證 DGDEDFEG.【例2】(2009江蘇卷)如右圖所示,在四邊形ABCD中,ABC BAD.求證:ABCD.思路分析:根據(jù)兩個三角形的全等可以知道ACBADB,故可得A,B,C,D四點共圓,要證明AB和CD平行就要證明這兩條直線和第三條直線相交時的同位角或內錯角相等,很顯然由已知的兩三角形全等可得DBACAB,再由A,B,C,D四點共圓

6、可得 所對的圓周角CABCDB,即得DBACDB,問題就解決了解:由ABC BAD,得ACBBDA,故A,B,C,D四點共圓,從而CABCDB.再由ABC BAD,得CABDBA,因此DBACDB,所以ABCD.通過四點共圓就可以在圓上使用圓周角定理,實現(xiàn)角的相等的轉化,把分散的條件集中起來,這是進行幾何推理證明的一個重要技巧. 變式遷移 2如圖,BD為圓O的直徑,ABAC,AD交BC于E,AE2,ED4.則AB的長為_答案:【例3】如右圖,在RtABC中,BAC90,ADBC于D,DFAC于F,DEAB于E,求證:AD3BCBECF.思路分析:題目中有直角三角形和斜邊上的高符合直角三角形射影

7、定理的兩個條件,選擇合適的直角三角形是解決問題的關鍵解:ADBC,ADBADC90,在RtADB中,DEAB,由射影定理得BD2BEAB,同理CD2CFAC,BD2CD2BEABCFAC 又在RtABC中,ADBC,AD2BDDC 由得AD4BD2DC2BECFABACBECFADBC,AD3BCBECF.答案:A 1分清兩個三角形中角和邊的對應關系是正確解決兩個三角形相似問題的前提當證兩個三角形相似,在已具備一角對應相等的條件時,往往先找是否有另一角對應相等,若此思路不通,再找等角的兩邊對應成比例 2從平行線等分線段定理的推導到平行線分線段成比例定理的推導,注意定理推導過程從特殊到一般的思考方法類似地,相似直角三角形的判定也是從任意兩個三角形相似判定定理獲得的 3幾何證明的難度應嚴格控制,在解決同一問題的過程中,相似三角形(或全等三角形)的使用不宜超過2次,添置的輔助線不宜超過3條 4判定兩個三角形相似的幾個方法:兩角對應相等,兩三角形相似;兩邊對應成比例且夾角相等,兩三角形相似;三邊對應成比例,兩三角形相似;相似三角形的定義 5相似三角形性質的應用可用來考查與相似三角形相關的元素,如兩個三角形的高、周長、角平分線、中線、面積、外接圓的直徑、內切圓的面積等

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