7、由橢圓的光學性質可知，直線l′平分∠F1PF2，因為＝，
又＝＝，故＝.由|PF1|＝1，|PF1|＋|PF2|＝4，得|PF2|＝3，故|F1M|∶|F2M|＝1∶3.
11．設x1，x2分別是函數f(x)＝x－a－x和g(x)＝xlogax－1的零點(其中a>1)，則x1＋4x2的取值范圍是( )
A．[4，＋∞) B．(4，＋∞)
C．[5，＋∞) D．(5，＋∞)
答案 D
解析 令f(x)＝x－a－x＝0，則＝ax，所以x1是指數函數y＝ax(a>1)的圖象與y＝的圖象的交點A的橫坐標，且01)的圖象與y＝的圖象的交
8、點B的橫坐標．由于y＝ax與y＝logax互為反函數，從而有x1＝，所以x1＋4x2＝x1＋.由y＝x＋在(0,1)上單調遞減，可知x1＋4x2>1＋＝5.故選D.
12．在△ABC中，已知角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且(a＋b)∶(c＋a)∶(b＋c)＝6∶5∶4，給出下列結論：
①△ABC被唯一確定；②△ABC一定是鈍角三角形；③sinA∶sinB∶sinC＝7∶5∶3；④若b＋c＝8，則△ABC的面積是.
其中正確結論的序號是( )
A．①② B．②③
C．①②③ D．②③④
答案 B
解析 由已知可設a＋b＝6k，c＋a＝5k，b＋c＝4k(k>0)，則a＝k，
9、b＝k，c＝k，所以a∶b∶c＝7∶5∶3，所以sinA∶sinB∶sinC＝7∶5∶3，所以③正確．又a，b，c的值不確定，所以①錯誤．在△ABC中，cosA＝＝－，A＝，所以②正確．因為b＋c＝8，所以b＝5，c＝3，所以S△ABC＝bcsinA＝，所以④錯誤．
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．設某總體是由編號為01,02，…，19,20的20個個體組成，利用下面的隨機數表選取6個個體，選取方法是從隨機數表第1行的第3列數字開始從左到右依次選取兩個數字，則選出來的第6個個體編號為________．
1818 0792 4544 1716 5809 7983 8
10、619…第1行
6206 7650 0310 5523 6405 0526 6238…第2行
答案 19
解析 由題意，從隨機數表第1行的第3列數字1開始，從左到右依次選取兩個數字的結果為：18,07,17,16,09,19，…，
故選出來的第6個個體編號為19.
14．在(x2＋2x＋)6的展開式中，x3y2的系數為________(用數字作答)．
答案 60
解析 (x2＋2x＋)6＝[(x2＋2x)＋y]6，它展開式中的第r＋1項為Tr＋1＝C(x2＋2x)6－ry，令＝2，
則r＝4，T5＝C(x2＋2x)2y2＝C(x4＋4x3＋4x2)y2，
∴x3y2的系數為C
11、×4＝60.
15．已知拋物線y2＝2px(p>0)的準線方程為x＝－2，點P為拋物線上的一點，則點P到直線y＝x＋3的距離的最小值為________．
答案
解析 由題設得拋物線方程為y2＝8x，
設P點坐標為P(x，y)，
則點P到直線y＝x＋3的距離為
d＝＝
＝＝≥，
當且僅當y＝4時取最小值.
16．(2019·廣東深圳外國語學校第一次熱身)已知函數f(x)＝x2cos，數列{an}中，an＝f(n)＋f(n＋1)(n∈N*)，則數列{an}的前40項和S40＝________.
答案 1680
解析 由題意得a1＝f(1)＋f(2)＝0－4＝－4，a2＝f(
12、2)＋f(3)＝－4＋0＝－4，
a3＝f(3)＋f(4)＝0＋16＝16，a4＝f(4)＋f(5)＝16，
a5＝f(5)＋f(6)＝0－36＝－36，a6＝f(6)＋f(7)＝－36，…
可得數列{an}為－4，－4,16,16，－36，－36,64,64，－100，－100，…
即有數列{an}的前40項和
S40＝(－4－4＋16＋16)＋(－36－36＋64＋64)＋(－100－100＋144＋144)＋…＋(－1444－1444＋1600＋1600)＝24＋56＋88＋…＋312＝×10×(24＋312)＝1680.
三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或
13、演算步驟．第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據要求作答．
(一)必考題：共60分．
17．(本小題滿分12分)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知A≠，且3sinAcosB＋bsin2A＝3sinC.
(1)求a的值；
(2)若A＝，求△ABC周長的最大值．
解 (1)由3sinAcosB＋bsin2A＝3sinC，得3sinAcosB＋bsinAcosA＝3sinC，由正弦定理，得3acosB＋abcosA＝3c，由余弦定理，得3a·＋ab·＝3c，整理得(b2＋c2－a2)(a－3)＝0，因為A≠，所以b2＋c2－a
14、2≠0，所以a＝3.
(另解：由sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB代入條件變形即可)6分
(2)在△ABC中，A＝，a＝3，由余弦定理得，9＝b2＋c2＋bc，因為b2＋c2＋bc＝(b＋c)2－bc≥(b＋c)2－2＝(b＋c)2，所以(b＋c)2≤9，即(b＋c)2≤12，所以b＋c≤2，當且僅當b＝c＝時，等號成立．
故當b＝c＝時，△ABC周長的最大值為3＋2.12分
18．(2019·廣東潮州二模)(本小題滿分12分)一批產品需要進行質量檢驗，檢驗方案是：先從這批產品中任取4件作檢驗，這4件產品中優(yōu)質品的件數記為n.如果n＝3，再從這批產品中任取4
15、件作檢驗，若都為優(yōu)質品，則這批產品通過檢驗；如果n＝4，再從這批產品中任取1件作檢驗，若為優(yōu)質品，則這批產品通過檢驗；其他情況下，這批產品都不能通過檢驗．假設這批產品的優(yōu)質品率為50%，即取出的產品是優(yōu)質品的概率都為，且各件產品是否為優(yōu)質品相互獨立．
(1)求這批產品通過檢驗的概率；
(2)已知每件產品檢驗費用為100元，凡抽取的每件產品都需要檢驗，對這批產品作質量檢驗所需的費用記為X(單位：元)，求X的分布列及數學期望．
解 (1)設第一次取出的4件產品中恰有3件優(yōu)質品為事件A1，第一次取出的4件產品全是優(yōu)質品為事件A2，第二次取出的4件產品全是優(yōu)質品為事件B1，第二次取出的1件產品是
16、優(yōu)質品為事件B2，
這批產品通過檢驗為事件A，依題意有A＝(A1B1)∪(A2B2)，且A1B1與A2B2互斥，
所以P(A)＝P(A1B1)＋P(A2B2)＝P(A1)P(B1|A1)＋P(A2)P(B2|A2)＝×＋×＝.5分
(2)X可能的取值為400,500,800，6分
并且P(X＝800)＝，P(X＝500)＝，P(X＝400)＝1－－＝，故X的分布列如下：
X
400
500
800
P
故E(X)＝400×＋500×＋800×＝506.25.12分
19．(2019·湖南長沙長郡中學一模)(本小題滿分12分)如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥
17、AD，底面四邊形ABCD為直角梯形，AD＝λBC，AD∥BC，∠BCD＝90°，M為線段PB上一點．
(1)若λ＝，則在線段PB上是否存在點M，使得AM∥平面PCD？若存在，請確定M點的位置；若不存在，請說明理由；
(2)已知PA＝2，AD＝1，若異面直線PA與CD成90°角，二面角B－PC－D的余弦值為－，求CD的長．
解 (1)延長BA，CD交于點E，連接PE，則PE?平面PCD，若AM∥平面PCD，由平面PBE∩平面PCD＝PE，AM?平面PBE，則AM∥PE，2分
由AD＝BC，AD∥BC，則＝＝，故點M是線段PB上靠近點P的一個三等分點.4分
(2)∵PA⊥AD，PA⊥
18、CD，AD∩CD＝D，AD?平面ABCD，CD?平面ABCD，
則PA⊥平面ABCD，5分
以點A為坐標原點，以AD，AP所在的直線分別為y軸、z軸，過點A與平面PAD垂直的直線為x軸，建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz，設CD＝t，
則P(0,0,2)，D(0,1,0)，C(t,1,0)，B，則＝，＝(t,1，－2)，＝(－t,0,0)，7分
設平面PBC和平面PCD的法向量分別為n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)．
由n1⊥，n1⊥，得
即令x1＝1，則z1＝，
故n1＝.
同理可求得n2＝(0,2,1)，9分
則cosθ＝，則＝，
解得t＝±
19、2(負值舍去)，
故t＝2.∴CD＝2.12分
20．(2018·北京高考)(本小題滿分12分)已知拋物線C：x2＝－2py經過點(2，－1)．
(1)求拋物線C的方程及其準線方程；
(2)設O為原點，過拋物線C的焦點作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點M，N，直線y＝－1分別交直線OM，ON于點A和點B.求證：以AB為直徑的圓經過y軸上的兩個定點．
解 (1)由拋物線C：x2＝－2py經過點(2，－1)，得p＝2.
所以拋物線C的方程為x2＝－4y，其準線方程為y＝1.3分
(2)證明：拋物線C的焦點為F(0，－1)．
設直線l的方程為y＝kx－1(k≠0)．
由得x2＋4
20、kx－4＝0.4分
設M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1x2＝－4.
直線OM的方程為y＝x.
令y＝－1，得點A的橫坐標xA＝－.
同理得點B的橫坐標xB＝－.7分
設點D(0，n)，則＝，
＝，
·＝＋(n＋1)2
＝＋(n＋1)2
＝＋(n＋1)2
＝－4＋(n＋1)2.9分
令·＝0，即－4＋(n＋1)2＝0，得n＝1或n＝－3.
綜上，以AB為直徑的圓經過y軸上的定點(0,1)和(0，－3).12分
21．(2019·山東濰坊一模)(本小題滿分12分)已知函數f(x)＝xln x－ax－x(a∈R)．
(1)求函數f(x)的極值；
(2)設函數g
21、(x)＝emx＋x2－mx(x>0，m∈R)，若存在x1≠x2，使f(x1)＝f(x2)，證明：g(x1·x2)ea時，f′(x)>0.
所以f(x)在(0，ea)上單調遞減，在(ea，＋∞)上單調遞增，
所以f(x)極小值＝f(ea)＝－ea，
所以函數f(x)的極小值為－ea，無極大值.4分
(2)證明：g′(x)＝memx＋2x－m＝m(emx－1)＋2x，
當m>0時，由于x>0，所以emx>1，emx－1>0
22、，
即g′(x)>0，
當m<0時，由于x>0，所以emx<1，emx－1<0，
即g′(x)>0，
當m＝0時，g′(x)＝2x>0，綜上，g′(x)>0，故g(x)在(0，＋∞)上單調遞增，6分
故只須證明x1x2x2，t＝>1，即證ln t·<
23、－2，
ln t>－2×，即證ln t＋2×>0，
設h(t)＝ln t＋2×(t>1)，
則h′(t)＝＋2×
＝－＝>0，
故h(t)在(1，＋∞)上單調遞增．
因而h(t)>h(1)＝0，即ln t＋2×>0，因此結論成立.12分
(二)選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分．
22．(本小題滿分10分)選修4－4：坐標系與參數方程
在平面直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C1的方程為＋y2＝1，曲線C2的參數方程為(φ為參數)，曲線C3的方程為y＝xtanα，曲線C3與曲線C1，C2
24、分別交于P，Q兩點．
(1)求曲線C1，C2的極坐標方程；
(2)求|OP|2·|OQ|2的取值范圍．
解 (1)因為x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，
所以曲線C1的極坐標方程為＋ρ2sin2θ＝1，即ρ2＝，2分
由(φ為參數)，消去φ，
即得曲線C2的直角坐標方程為x2＋(y－1)2＝1，
將x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，代入化簡，
可得曲線C2的極坐標方程為ρ＝2sinθ.5分
(2)曲線C3的極坐標方程為θ＝α.6分
由(1)得|OP|2＝，|OQ|2＝4sin2α，
即|OP|2·|OQ|2＝＝，8分
因為0<α<，所以0
25、|OQ|2∈(0,4).10分
23．(本小題滿分10分)選修4－5：不等式選講
已知函數f(x)＝|x－5|－|x＋3|.
(1)解關于x的不等式f(x)≥x＋1；
(2)記函數f(x)的最大值為m，若a>0，b>0，ea·e4b＝e2ab－m，求ab的最小值．
解 (1)當x≤－3時，由5－x＋x＋3≥x＋1，得x≤7，所以x≤－3；當－30，b>0，所以a＋4b≥2＝4，當且僅當a＝4b時，等號成立，7分
所以2ab－8－4≥0，即ab－4－2≥0.
所以有(－1)2≥5.8分
又>0，所以≥1＋或≤1－(舍去)，
ab≥6＋2，即ab的最小值為6＋2.10分
高考數學大二輪刷題首選卷理數文檔：第三部分 高考仿真模擬卷五 Word版含解析
