2018中考數(shù)學(xué)試題分類匯編 考點(diǎn)20 等腰三角形、等邊三角形和直角三角形(含解析)

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1、 考點(diǎn)20 等腰三角形、等邊三角形和直角三角形 一.選擇題(共5小題) 1.(2018?湖州)如圖,AD,CE分別是△ABC的中線和角平分線.若AB=AC,∠CAD=20°,則∠ACE的度數(shù)是( ?。? A.20° B.35° C.40° D.70° 【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理求出∠CAB=2∠CAD=40°,∠B=∠ACB=(180°﹣∠CAB)=70°.再利用角平分線定義即可得出∠ACE=∠ACB=35°. 【解答】解:∵AD是△ABC的中線,AB=AC,∠CAD=20°, ∴∠CAB=2∠CAD=40°,∠B=∠ACB=(180°﹣∠CAB)=70

2、°. ∵CE是△ABC的角平分線, ∴∠ACE=∠ACB=35°. 故選:B.   2.(2018?宿遷)若實(shí)數(shù)m、n滿足等式|m﹣2|+=0,且m、n恰好是等腰△ABC的兩條邊的邊長,則△ABC的周長是( ?。? A.12 B.10 C.8 D.6 【分析】由已知等式,結(jié)合非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求m、n的值,再根據(jù)m、n分別作為等腰三角形的腰,分類求解. 【解答】解:∵|m﹣2|+=0, ∴m﹣2=0,n﹣4=0, 解得m=2,n=4, 當(dāng)m=2作腰時(shí),三邊為2,2,4,不符合三邊關(guān)系定理; 當(dāng)n=4作腰時(shí),三邊為2,4,4,符合三邊關(guān)系定理,周長為:2+4+4=10. 故選:

3、B.   3.(2018?揚(yáng)州)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,CE平分∠ACD交AB于E,則下列結(jié)論一定成立的是( ?。? A.BC=EC B.EC=BE C.BC=BE D.AE=EC 【分析】根據(jù)同角的余角相等可得出∠BCD=∠A,根據(jù)角平分線的定義可得出∠ACE=∠DCE,再結(jié)合∠BEC=∠A+∠ACE、∠BCE=∠BCD+∠DCE即可得出∠BEC=∠BCE,利用等角對等邊即可得出BC=BE,此題得解. 【解答】解:∵∠ACB=90°,CD⊥AB, ∴∠ACD+∠BCD=90°,∠ACD+∠A=90°, ∴∠BCD=∠A. ∵CE平分∠ACD,

4、∴∠ACE=∠DCE. 又∵∠BEC=∠A+∠ACE,∠BCE=∠BCD+∠DCE, ∴∠BEC=∠BCE, ∴BC=BE. 故選:C.   4.(2018?淄博)如圖,在Rt△ABC中,CM平分∠ACB交AB于點(diǎn)M,過點(diǎn)M作MN∥BC交AC于點(diǎn)N,且MN平分∠AMC,若AN=1,則BC的長為( ?。? A.4 B.6 C. D.8 【分析】根據(jù)題意,可以求得∠B的度數(shù),然后根據(jù)解直角三角形的知識可以求得NC的長,從而可以求得BC的長. 【解答】解:∵在Rt△ABC中,CM平分∠ACB交AB于點(diǎn)M,過點(diǎn)M作MN∥BC交AC于點(diǎn)N,且MN平分∠AMC, ∴∠AMN=∠NMC

5、=∠B,∠NCM=∠BCM=∠NMC, ∴∠ACB=2∠B,NM=NC, ∴∠B=30°, ∵AN=1, ∴MN=2, ∴AC=AN+NC=3, ∴BC=6, 故選:B.   5.(2018?黃岡)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD為AB邊上的高,CE為AB邊上的中線,AD=2,CE=5,則CD=( ?。? A.2 B.3 C.4 D.2 【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出AE=CE=5,進(jìn)而得出DE=3,利用勾股定理解答即可. 【解答】解:∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CE為AB邊上的中線,CE=5, ∴AE=CE=5, ∵AD=2, ∴DE

6、=3, ∵CD為AB邊上的高, ∴在Rt△CDE中,CD=, 故選:C.   二.填空題(共12小題) 6.(2018?成都)等腰三角形的一個(gè)底角為50°,則它的頂角的度數(shù)為 80°?。? 【分析】本題給出了一個(gè)底角為50°,利用等腰三角形的性質(zhì)得另一底角的大小,然后利用三角形內(nèi)角和可求頂角的大?。? 【解答】解:∵等腰三角形底角相等, ∴180°﹣50°×2=80°, ∴頂角為80°. 故填80°.   7.(2018?長春)如圖,在△ABC中,AB=AC.以點(diǎn)C為圓心,以CB長為半徑作圓弧,交AC的延長線于點(diǎn)D,連結(jié)BD.若∠A=32°,則∠CDB的大小為 37 度.

7、 【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理在△ABC中可求得∠ACB=∠ABC=74°,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)在△BCD中可求得∠CDB=∠CBD=∠ACB=37°. 【解答】解:∵AB=AC,∠A=32°, ∴∠ABC=∠ACB=74°, 又∵BC=DC, ∴∠CDB=∠CBD=∠ACB=37°. 故答案為:37.   8.(2018?哈爾濱)在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,點(diǎn)D在BC邊上,連接AD,若△ABD為直角三角形,則∠ADC的度數(shù)為 130°或90° . 【分析】根據(jù)題意可以求得∠B和∠C的度數(shù),然后根據(jù)分類討論的數(shù)學(xué)思

8、想即可求得∠ADC的度數(shù). 【解答】解:∵在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°, ∴∠B=∠C=40°, ∵點(diǎn)D在BC邊上,△ABD為直角三角形, ∴當(dāng)∠BAD=90°時(shí),則∠ADB=50°, ∴∠ADC=130°, 當(dāng)∠ADB=90°時(shí),則 ∠ADC=90°, 故答案為:130°或90°.   9.(2018?吉林)我們規(guī)定:等腰三角形的頂角與一個(gè)底角度數(shù)的比值叫做等腰三角形的“特征值”,記作k,若k=,則該等腰三角形的頂角為 36 度. 【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠B=∠C,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和已知得出5∠A=180°,求出即可. 【解答】解: ∵

9、△ABC中,AB=AC, ∴∠B=∠C, ∵等腰三角形的頂角與一個(gè)底角度數(shù)的比值叫做等腰三角形的“特征值”,記作k,若k=, ∴∠A:∠B=1:2, 即5∠A=180°, ∴∠A=36°, 故答案為:36.   10.(2018?淮安)若一個(gè)等腰三角形的頂角等于50°,則它的底角等于 65 °. 【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理直接求得答案. 【解答】解:∵等腰三角形的頂角等于50°, 又∵等腰三角形的底角相等, ∴底角等于(180°﹣50°)×=65°. 故答案為:65.   11.(2018?婁底)如圖,△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于D點(diǎn),

10、DE⊥AB于點(diǎn)E,BF⊥AC于點(diǎn)F,DE=3cm,則BF= 6 cm. 【分析】先利用HL證明Rt△ADB≌Rt△ADC,得出S△ABC=2S△ABD=2×AB?DE=AB?DE=3AB,又S△ABC=AC?BF,將AC=AB代入即可求出BF. 【解答】解:在Rt△ADB與Rt△ADC中, , ∴Rt△ADB≌Rt△ADC, ∴S△ABC=2S△ABD=2×AB?DE=AB?DE=3AB, ∵S△ABC=AC?BF, ∴AC?BF=3AB, ∵AC=AB, ∴BF=3, ∴BF=6. 故答案為6.   12.(2018?桂林)如圖,在△ABC中,∠A=36°,AB

11、=AC,BD平分∠ABC,則圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)是 3?。? 【分析】首先根據(jù)已知條件分別計(jì)算圖中每一個(gè)三角形每個(gè)角的度數(shù),然后根據(jù)等腰三角形的判定:等角對等邊解答,做題時(shí)要注意,從最明顯的找起,由易到難,不重不漏. 【解答】解:∵AB=AC,∠A=36°∴△ABC是等腰三角形, ∠ABC=∠ACB==72°, BD平分∠ABC,∴∠EBD=∠DBC=36°, ∴在△ABD中,∠A=∠ABD=36°,AD=BD,△ABD是等腰三角形, 在△ABC中,∠C=∠ABC=72°,AB=AC,△ABC是等腰三角形, 在△BDC中,∠C=∠BDC=72°,BD=BC,△BDC是等腰三角形

12、, 所以共有3個(gè)等腰三角形. 故答案為:3   13.(2018?徐州)邊長為a的正三角形的面積等于 ?。? 【分析】根據(jù)正三角形的性質(zhì)求解. 【解答】解:過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D, ∵AD⊥BC ∴BD=CD=a, ∴AD==a, 面積則是: a?a=a2.   14.(2018?黑龍江)如圖,已知等邊△ABC的邊長是2,以BC邊上的高AB1為邊作等邊三角形,得到第一個(gè)等邊△AB1C1;再以等邊△AB1C1的B1C1邊上的高AB2為邊作等邊三角形,得到第二個(gè)等邊△AB2C2;再以等邊△AB2C2的B2C2邊上的高AB3為邊作等邊三角形,得到第三個(gè)等邊△AB3C3;…

13、,記△B1CB2的面積為S1,△B2C1B3的面積為S2,△B3C2B4的面積為S3,如此下去,則Sn=?。ǎ﹏ . 【分析】由AB1為邊長為2的等邊三角形ABC的高,利用三線合一得到B1為BC的中點(diǎn),求出BB1的長,利用勾股定理求出AB1的長,進(jìn)而求出第一個(gè)等邊三角形AB1C1的面積,同理求出第二個(gè)等邊三角形AB2C2的面積,依此類推,得到第n個(gè)等邊三角形ABnCn的面積. 【解答】解:∵等邊三角形ABC的邊長為2,AB1⊥BC, ∴BB1=1,AB=2, 根據(jù)勾股定理得:AB1=, ∴第一個(gè)等邊三角形AB1C1的面積為×()2=()1; ∵等邊三角形AB1C1的邊長為,AB

14、2⊥B1C1, ∴B1B2=,AB1=, 根據(jù)勾股定理得:AB2=, ∴第二個(gè)等邊三角形AB2C2的面積為×()2=()2; 依此類推,第n個(gè)等邊三角形ABnCn的面積為()n. 故答案為:()n.   15.(2018?湘潭)如圖,在等邊三角形ABC中,點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn),則∠BAD= 30°?。? 【分析】根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質(zhì)和等邊三角形三個(gè)內(nèi)角相等的性質(zhì)填空. 【解答】解:∵△ABC是等邊三角形, ∴∠BAC=60°,AB=AC. 又點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn), ∴∠BAD=∠BAC=30°. 故答案是:30°.   16.(2018?天津)如圖,在邊長

15、為4的等邊△ABC中,D,E分別為AB,BC的中點(diǎn),EF⊥AC于點(diǎn)F,G為EF的中點(diǎn),連接DG,則DG的長為 ?。? 【分析】直接利用三角形中位線定理進(jìn)而得出DE=2,且DE∥AC,再利用勾股定理以及直角三角形的性質(zhì)得出EG以及DG的長. 【解答】解:連接DE, ∵在邊長為4的等邊△ABC中,D,E分別為AB,BC的中點(diǎn), ∴DE是△ABC的中位線, ∴DE=2,且DE∥AC,BD=BE=EC=2, ∵EF⊥AC于點(diǎn)F,∠C=60°, ∴∠FEC=30°,∠DEF=∠EFC=90°, ∴FC=EC=1, 故EF==, ∵G為EF的中點(diǎn), ∴EG=, ∴DG==. 故

16、答案為:.   17.(2018?福建)如圖,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=6,D是AB的中點(diǎn),則CD= 3?。? 【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答. 【解答】解:∵∠ACB=90°,D為AB的中點(diǎn), ∴CD=AB=×6=3. 故答案為:3.   三.解答題(共2小題) 18.(2018?紹興)數(shù)學(xué)課上,張老師舉了下面的例題: 例1 等腰三角形ABC中,∠A=110°,求∠B的度數(shù).(答案:35°) 例2 等腰三角形ABC中,∠A=40°,求∠B的度數(shù),(答案:40°或70°或100°) 張老師啟發(fā)同學(xué)們進(jìn)行變式,小敏編了如下一題:

17、 變式 等腰三角形ABC中,∠A=80°,求∠B的度數(shù). (1)請你解答以上的變式題. (2)解(1)后,小敏發(fā)現(xiàn),∠A的度數(shù)不同,得到∠B的度數(shù)的個(gè)數(shù)也可能不同,如果在等腰三角形ABC中,設(shè)∠A=x°,當(dāng)∠B有三個(gè)不同的度數(shù)時(shí),請你探索x的取值范圍. 【分析】(1)由于等腰三角形的頂角和底角沒有明確,因此要分類討論; (2)分兩種情況:①90≤x<180;②0<x<90,結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求解即可. 【解答】解:(1)若∠A為頂角,則∠B=(180°﹣∠A)÷2=50°; 若∠A為底角,∠B為頂角,則∠B=180°﹣2×80°=20°; 若∠A為底角,∠B為底角,則∠B=80

18、°; 故∠B=50°或20°或80°; (2)分兩種情況: ①當(dāng)90≤x<180時(shí),∠A只能為頂角, ∴∠B的度數(shù)只有一個(gè); ②當(dāng)0<x<90時(shí), 若∠A為頂角,則∠B=()°; 若∠A為底角,∠B為頂角,則∠B=(180﹣2x)°; 若∠A為底角,∠B為底角,則∠B=x°. 當(dāng)≠180﹣2x且180﹣2x≠x且≠x, 即x≠60時(shí),∠B有三個(gè)不同的度數(shù). 綜上所述,可知當(dāng)0<x<90且x≠60時(shí),∠B有三個(gè)不同的度數(shù).   19.(2018?徐州)(A類)已知如圖,四邊形ABCD中,AB=BC,AD=CD,求證:∠A=∠C. (B類)已知如圖,四邊形ABCD中,AB=BC,∠A=∠C,求證:AD=CD. 【分析】(A類)連接AC,由AB=AC、AD=CD知∠BAC=∠BCA、∠DAC=∠DCA,兩等式相加即可得; (B類)由以上過程反之即可得. 【解答】證明:(A類)連接AC, ∵AB=AC,AD=CD, ∴∠BAC=∠BCA,∠DAC=∠DCA, ∴∠BAC+∠DAC=∠BCA+∠DCA,即∠A=∠C; (B類)∵AB=AC, ∴∠BAC=∠BCA, 又∵∠A=∠C,即∠BAC+∠DAC=∠BCA+∠DCA, ∴∠DAC=∠DCA, ∴AD=CD.   12

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