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1、
考點20 等腰三角形、等邊三角形和直角三角形
一.選擇題(共5小題)
1.(2018?湖州)如圖,AD,CE分別是△ABC的中線和角平分線.若AB=AC,∠CAD=20°,則∠ACE的度數(shù)是( ?。?
A.20° B.35° C.40° D.70°
【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理求出∠CAB=2∠CAD=40°,∠B=∠ACB=(180°﹣∠CAB)=70°.再利用角平分線定義即可得出∠ACE=∠ACB=35°.
【解答】解:∵AD是△ABC的中線,AB=AC,∠CAD=20°,
∴∠CAB=2∠CAD=40°,∠B=∠ACB=(180°﹣∠CAB)=70
2、°.
∵CE是△ABC的角平分線,
∴∠ACE=∠ACB=35°.
故選:B.
2.(2018?宿遷)若實數(shù)m、n滿足等式|m﹣2|+=0,且m、n恰好是等腰△ABC的兩條邊的邊長,則△ABC的周長是( ?。?
A.12 B.10 C.8 D.6
【分析】由已知等式,結(jié)合非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求m、n的值,再根據(jù)m、n分別作為等腰三角形的腰,分類求解.
【解答】解:∵|m﹣2|+=0,
∴m﹣2=0,n﹣4=0,
解得m=2,n=4,
當(dāng)m=2作腰時,三邊為2,2,4,不符合三邊關(guān)系定理;
當(dāng)n=4作腰時,三邊為2,4,4,符合三邊關(guān)系定理,周長為:2+4+4=10.
故選:
3、B.
3.(2018?揚州)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,CE平分∠ACD交AB于E,則下列結(jié)論一定成立的是( ?。?
A.BC=EC B.EC=BE C.BC=BE D.AE=EC
【分析】根據(jù)同角的余角相等可得出∠BCD=∠A,根據(jù)角平分線的定義可得出∠ACE=∠DCE,再結(jié)合∠BEC=∠A+∠ACE、∠BCE=∠BCD+∠DCE即可得出∠BEC=∠BCE,利用等角對等邊即可得出BC=BE,此題得解.
【解答】解:∵∠ACB=90°,CD⊥AB,
∴∠ACD+∠BCD=90°,∠ACD+∠A=90°,
∴∠BCD=∠A.
∵CE平分∠ACD,
4、∴∠ACE=∠DCE.
又∵∠BEC=∠A+∠ACE,∠BCE=∠BCD+∠DCE,
∴∠BEC=∠BCE,
∴BC=BE.
故選:C.
4.(2018?淄博)如圖,在Rt△ABC中,CM平分∠ACB交AB于點M,過點M作MN∥BC交AC于點N,且MN平分∠AMC,若AN=1,則BC的長為( ?。?
A.4 B.6 C. D.8
【分析】根據(jù)題意,可以求得∠B的度數(shù),然后根據(jù)解直角三角形的知識可以求得NC的長,從而可以求得BC的長.
【解答】解:∵在Rt△ABC中,CM平分∠ACB交AB于點M,過點M作MN∥BC交AC于點N,且MN平分∠AMC,
∴∠AMN=∠NMC
5、=∠B,∠NCM=∠BCM=∠NMC,
∴∠ACB=2∠B,NM=NC,
∴∠B=30°,
∵AN=1,
∴MN=2,
∴AC=AN+NC=3,
∴BC=6,
故選:B.
5.(2018?黃岡)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD為AB邊上的高,CE為AB邊上的中線,AD=2,CE=5,則CD=( ?。?
A.2 B.3 C.4 D.2
【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出AE=CE=5,進而得出DE=3,利用勾股定理解答即可.
【解答】解:∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CE為AB邊上的中線,CE=5,
∴AE=CE=5,
∵AD=2,
∴DE
6、=3,
∵CD為AB邊上的高,
∴在Rt△CDE中,CD=,
故選:C.
二.填空題(共12小題)
6.(2018?成都)等腰三角形的一個底角為50°,則它的頂角的度數(shù)為 80°?。?
【分析】本題給出了一個底角為50°,利用等腰三角形的性質(zhì)得另一底角的大小,然后利用三角形內(nèi)角和可求頂角的大?。?
【解答】解:∵等腰三角形底角相等,
∴180°﹣50°×2=80°,
∴頂角為80°.
故填80°.
7.(2018?長春)如圖,在△ABC中,AB=AC.以點C為圓心,以CB長為半徑作圓弧,交AC的延長線于點D,連結(jié)BD.若∠A=32°,則∠CDB的大小為 37 度.
7、
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理在△ABC中可求得∠ACB=∠ABC=74°,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)在△BCD中可求得∠CDB=∠CBD=∠ACB=37°.
【解答】解:∵AB=AC,∠A=32°,
∴∠ABC=∠ACB=74°,
又∵BC=DC,
∴∠CDB=∠CBD=∠ACB=37°.
故答案為:37.
8.(2018?哈爾濱)在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,點D在BC邊上,連接AD,若△ABD為直角三角形,則∠ADC的度數(shù)為 130°或90° .
【分析】根據(jù)題意可以求得∠B和∠C的度數(shù),然后根據(jù)分類討論的數(shù)學(xué)思
8、想即可求得∠ADC的度數(shù).
【解答】解:∵在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,
∴∠B=∠C=40°,
∵點D在BC邊上,△ABD為直角三角形,
∴當(dāng)∠BAD=90°時,則∠ADB=50°,
∴∠ADC=130°,
當(dāng)∠ADB=90°時,則
∠ADC=90°,
故答案為:130°或90°.
9.(2018?吉林)我們規(guī)定:等腰三角形的頂角與一個底角度數(shù)的比值叫做等腰三角形的“特征值”,記作k,若k=,則該等腰三角形的頂角為 36 度.
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠B=∠C,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和已知得出5∠A=180°,求出即可.
【解答】解:
∵
9、△ABC中,AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵等腰三角形的頂角與一個底角度數(shù)的比值叫做等腰三角形的“特征值”,記作k,若k=,
∴∠A:∠B=1:2,
即5∠A=180°,
∴∠A=36°,
故答案為:36.
10.(2018?淮安)若一個等腰三角形的頂角等于50°,則它的底角等于 65 °.
【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理直接求得答案.
【解答】解:∵等腰三角形的頂角等于50°,
又∵等腰三角形的底角相等,
∴底角等于(180°﹣50°)×=65°.
故答案為:65.
11.(2018?婁底)如圖,△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于D點,
10、DE⊥AB于點E,BF⊥AC于點F,DE=3cm,則BF= 6 cm.
【分析】先利用HL證明Rt△ADB≌Rt△ADC,得出S△ABC=2S△ABD=2×AB?DE=AB?DE=3AB,又S△ABC=AC?BF,將AC=AB代入即可求出BF.
【解答】解:在Rt△ADB與Rt△ADC中,
,
∴Rt△ADB≌Rt△ADC,
∴S△ABC=2S△ABD=2×AB?DE=AB?DE=3AB,
∵S△ABC=AC?BF,
∴AC?BF=3AB,
∵AC=AB,
∴BF=3,
∴BF=6.
故答案為6.
12.(2018?桂林)如圖,在△ABC中,∠A=36°,AB
11、=AC,BD平分∠ABC,則圖中等腰三角形的個數(shù)是 3?。?
【分析】首先根據(jù)已知條件分別計算圖中每一個三角形每個角的度數(shù),然后根據(jù)等腰三角形的判定:等角對等邊解答,做題時要注意,從最明顯的找起,由易到難,不重不漏.
【解答】解:∵AB=AC,∠A=36°∴△ABC是等腰三角形,
∠ABC=∠ACB==72°,
BD平分∠ABC,∴∠EBD=∠DBC=36°,
∴在△ABD中,∠A=∠ABD=36°,AD=BD,△ABD是等腰三角形,
在△ABC中,∠C=∠ABC=72°,AB=AC,△ABC是等腰三角形,
在△BDC中,∠C=∠BDC=72°,BD=BC,△BDC是等腰三角形
12、,
所以共有3個等腰三角形.
故答案為:3
13.(2018?徐州)邊長為a的正三角形的面積等于 .
【分析】根據(jù)正三角形的性質(zhì)求解.
【解答】解:過點A作AD⊥BC于點D,
∵AD⊥BC
∴BD=CD=a,
∴AD==a,
面積則是: a?a=a2.
14.(2018?黑龍江)如圖,已知等邊△ABC的邊長是2,以BC邊上的高AB1為邊作等邊三角形,得到第一個等邊△AB1C1;再以等邊△AB1C1的B1C1邊上的高AB2為邊作等邊三角形,得到第二個等邊△AB2C2;再以等邊△AB2C2的B2C2邊上的高AB3為邊作等邊三角形,得到第三個等邊△AB3C3;…
13、,記△B1CB2的面積為S1,△B2C1B3的面積為S2,△B3C2B4的面積為S3,如此下去,則Sn=?。ǎ﹏ .
【分析】由AB1為邊長為2的等邊三角形ABC的高,利用三線合一得到B1為BC的中點,求出BB1的長,利用勾股定理求出AB1的長,進而求出第一個等邊三角形AB1C1的面積,同理求出第二個等邊三角形AB2C2的面積,依此類推,得到第n個等邊三角形ABnCn的面積.
【解答】解:∵等邊三角形ABC的邊長為2,AB1⊥BC,
∴BB1=1,AB=2,
根據(jù)勾股定理得:AB1=,
∴第一個等邊三角形AB1C1的面積為×()2=()1;
∵等邊三角形AB1C1的邊長為,AB
14、2⊥B1C1,
∴B1B2=,AB1=,
根據(jù)勾股定理得:AB2=,
∴第二個等邊三角形AB2C2的面積為×()2=()2;
依此類推,第n個等邊三角形ABnCn的面積為()n.
故答案為:()n.
15.(2018?湘潭)如圖,在等邊三角形ABC中,點D是邊BC的中點,則∠BAD= 30°?。?
【分析】根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質(zhì)和等邊三角形三個內(nèi)角相等的性質(zhì)填空.
【解答】解:∵△ABC是等邊三角形,
∴∠BAC=60°,AB=AC.
又點D是邊BC的中點,
∴∠BAD=∠BAC=30°.
故答案是:30°.
16.(2018?天津)如圖,在邊長
15、為4的等邊△ABC中,D,E分別為AB,BC的中點,EF⊥AC于點F,G為EF的中點,連接DG,則DG的長為 ?。?
【分析】直接利用三角形中位線定理進而得出DE=2,且DE∥AC,再利用勾股定理以及直角三角形的性質(zhì)得出EG以及DG的長.
【解答】解:連接DE,
∵在邊長為4的等邊△ABC中,D,E分別為AB,BC的中點,
∴DE是△ABC的中位線,
∴DE=2,且DE∥AC,BD=BE=EC=2,
∵EF⊥AC于點F,∠C=60°,
∴∠FEC=30°,∠DEF=∠EFC=90°,
∴FC=EC=1,
故EF==,
∵G為EF的中點,
∴EG=,
∴DG==.
故
16、答案為:.
17.(2018?福建)如圖,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=6,D是AB的中點,則CD= 3?。?
【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答.
【解答】解:∵∠ACB=90°,D為AB的中點,
∴CD=AB=×6=3.
故答案為:3.
三.解答題(共2小題)
18.(2018?紹興)數(shù)學(xué)課上,張老師舉了下面的例題:
例1 等腰三角形ABC中,∠A=110°,求∠B的度數(shù).(答案:35°)
例2 等腰三角形ABC中,∠A=40°,求∠B的度數(shù),(答案:40°或70°或100°)
張老師啟發(fā)同學(xué)們進行變式,小敏編了如下一題:
17、
變式 等腰三角形ABC中,∠A=80°,求∠B的度數(shù).
(1)請你解答以上的變式題.
(2)解(1)后,小敏發(fā)現(xiàn),∠A的度數(shù)不同,得到∠B的度數(shù)的個數(shù)也可能不同,如果在等腰三角形ABC中,設(shè)∠A=x°,當(dāng)∠B有三個不同的度數(shù)時,請你探索x的取值范圍.
【分析】(1)由于等腰三角形的頂角和底角沒有明確,因此要分類討論;
(2)分兩種情況:①90≤x<180;②0<x<90,結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求解即可.
【解答】解:(1)若∠A為頂角,則∠B=(180°﹣∠A)÷2=50°;
若∠A為底角,∠B為頂角,則∠B=180°﹣2×80°=20°;
若∠A為底角,∠B為底角,則∠B=80
18、°;
故∠B=50°或20°或80°;
(2)分兩種情況:
①當(dāng)90≤x<180時,∠A只能為頂角,
∴∠B的度數(shù)只有一個;
②當(dāng)0<x<90時,
若∠A為頂角,則∠B=()°;
若∠A為底角,∠B為頂角,則∠B=(180﹣2x)°;
若∠A為底角,∠B為底角,則∠B=x°.
當(dāng)≠180﹣2x且180﹣2x≠x且≠x,
即x≠60時,∠B有三個不同的度數(shù).
綜上所述,可知當(dāng)0<x<90且x≠60時,∠B有三個不同的度數(shù).
19.(2018?徐州)(A類)已知如圖,四邊形ABCD中,AB=BC,AD=CD,求證:∠A=∠C.
(B類)已知如圖,四邊形ABCD中,AB=BC,∠A=∠C,求證:AD=CD.
【分析】(A類)連接AC,由AB=AC、AD=CD知∠BAC=∠BCA、∠DAC=∠DCA,兩等式相加即可得;
(B類)由以上過程反之即可得.
【解答】證明:(A類)連接AC,
∵AB=AC,AD=CD,
∴∠BAC=∠BCA,∠DAC=∠DCA,
∴∠BAC+∠DAC=∠BCA+∠DCA,即∠A=∠C;
(B類)∵AB=AC,
∴∠BAC=∠BCA,
又∵∠A=∠C,即∠BAC+∠DAC=∠BCA+∠DCA,
∴∠DAC=∠DCA,
∴AD=CD.
12