《極坐標與參數(shù)方程》綜合測試題

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1、《極坐標與參數(shù)方程》綜合測試題 　 1．在極坐標系中，已知曲線C：ρ=2cosθ，將曲線C上的點向左平移一個單位，然后縱坐標不變，橫坐標伸長到原來的2倍，得到曲線C1，又已知直線l過點P（1,0），傾斜角為，且直線l與曲線C1交于A，B兩點． （1）求曲線C1的直角坐標方程，并說明它是什么曲線； （2）求+． 2．在直角坐標系xOy中，圓C的參數(shù)方程（φ為參數(shù)），以O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系． （1）求圓C的極坐標方程； （2）直線l的極坐標方程是2ρsin（θ+）=3，射線OM：θ=與圓C的交點為O、P，與直線l的交點為Q，求線段

2、PQ的長． 3．在極坐標系中，圓C的極坐標方程為：ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6．若以極點O為原點，極軸所在直線為x軸建立平面直角坐標系． （Ⅰ）求圓C的參數(shù)方程； （Ⅱ）在直角坐標系中，點P（x，y）是圓C上動點，試求x+y的最大值，并求出此時點P的直角坐標． 4．若以直角坐標系xOy的O為極點，Ox為極軸，選擇相同的長度單位建立極坐標系，得曲線C的極坐標方程是ρ=． （1）將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程，并指出曲線是什么曲線； （2）若直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），，當直線l與曲線C相交于A，B兩點，

3、求. 5．在平面直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C1的參數(shù)方程為為參數(shù)），曲線C2的極坐標方程為． （1）求曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標方程； （2）設P為曲線C1上一點，Q曲線C2上一點，求|PQ|的最小值及此時P點極坐標． 6．在極坐標系中，曲線C的方程為ρ2=，點R（2，）． （Ⅰ）以極點為原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，把曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程，R點的極坐標化為直角坐標； （Ⅱ）設P為曲線C上一動點，以PR為對角線的矩形PQ

4、RS的一邊垂直于極軸，求矩形PQRS周長的最小值． 7．已知平面直角坐標系中，曲線C1的參數(shù)方程為（φ為參數(shù)），以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ=2cosθ． （Ⅰ）求曲線C1的極坐標方程與曲線C2的直角坐標方程； （Ⅱ）若直線θ=（ρ∈R）與曲線C1交于P，Q兩點，求|PQ|的長度． 8．在直角坐標系中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸，以相同的長度單位建立極坐標系，己知直線l的極坐標方程為ρcosθ﹣ρsinθ=2，曲線C的極坐標方程為ρsin2θ=2pcosθ（p＞0）．

5、（1）設t為參數(shù)，若x=﹣2+t，求直線l的參數(shù)方程； （2） 已知直線l與曲線C交于P、Q，設M（﹣2，﹣4），且|PQ|2=|MP|?|MQ|，求實數(shù)p的值． 9．在極坐標系中，射線l：θ=與圓C：ρ=2交于點A，橢圓Γ的方程為ρ2=，以極點為原點，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標系xOy （Ⅰ）求點A的直角坐標和橢圓Γ的參數(shù)方程； （Ⅱ）若E為橢圓Γ的下頂點，F(xiàn)為橢圓Γ上任意一點，求?的取值范圍． 10．已知在直角坐標系中，曲線的C參數(shù)方程為（φ為參數(shù)），現(xiàn)以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的

6、極坐標方程為ρ=． （1）求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標方程； （2）在曲線C上是否存在一點P，使點P到直線l的距離最??？若存在，求出距離的最小值及點P的直角坐標；若不存在，請說明理由． 11．已知曲線C1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以原點O為極點，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為． （ I）求曲線C2的直角坐標系方程； （ II）設M1是曲線C1上的點，M2是曲線C2上的點，求|M1M2|的最小值． 12．設點A為曲線C：ρ=2cosθ在極軸Ox上方的一點，且0≤θ≤，以極點為原點

7、，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標系xOy， （1）求曲線C的參數(shù)方程； （2）以A為直角頂點，AO為一條直角邊作等腰直角三角形OAB（B在A的右下方），求B點軌跡的極坐標方程． 13．在平面直角坐標系xOy中，曲線C1：（φ為參數(shù)，實數(shù)a＞0），曲線C2：（φ為參數(shù)，實數(shù)b＞0）．在以O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，射線l：θ=α（ρ≥0，0≤α≤）與C1交于O、A兩點，與C2交于O、B兩點．當α=0時，|OA|=1；當α=時，|OB|=2． （Ⅰ）求a，b的值； （Ⅱ）求2|OA|2+|OA|?|OB|的最大值．

8、 14．在平面直角坐標系中，曲線C1：（a為參數(shù)）經(jīng)過伸縮變換后，曲線為C2，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建極坐標系． （Ⅰ）求C2的極坐標方程； （Ⅱ）設曲線C3的極坐標方程為ρsin（﹣θ）=1，且曲線C3與曲線C2相交于P，Q兩點，求|PQ|的值． 15．已知半圓C的參數(shù)方程為，a為參數(shù)，a∈[﹣，]． （Ⅰ）在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，求半圓C的極坐標方程； （Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，設T是半圓C上一點，且OT=，試寫出T點的極坐標． 16．

9、已知曲線C1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ=2sinθ． （Ⅰ）把C1的參數(shù)方程化為極坐標方程； （Ⅱ）求C1與C2交點的極坐標（ρ≥0，0≤θ＜2π） 　 《極坐標與參數(shù)方程》綜合測試題答案　 一．解答題（共16小題） 1．在極坐標系中，已知曲線C：ρ=2cosθ，將曲線C上的點向左平移一個單位，然后縱坐標不變，橫坐標伸長到原來的2倍，得到曲線C1，又已知直線l過點P（1,0），傾斜角為，且直線l與曲線C1交于A，B兩點． （1）求曲線C1的直角坐標方程，并說明它是什么曲線； （2）求+． 【解答

10、】解：（1）曲線C的直角坐標方程為：x2+y2﹣2x=0即（x﹣1）2+y2=1． ∴曲線C1的直角坐標方程為=1， ∴曲線C表示焦點坐標為（﹣，0），（，0），長軸長為4的橢圓 （2）將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的方程=1中，得． 設A、B兩點對應的參數(shù)分別為t1，t2， ∴+=． 　 2．在直角坐標系xOy中，圓C的參數(shù)方程（φ為參數(shù)），以O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系． （1）求圓C的極坐標方程； （2）直線l的極坐標方程是2ρsin（θ+）=3，射線OM：θ=與圓C的交點為O、P，與直線l的交點為Q，求線段PQ的長． 【解答】解：（I）利用cos2φ+s

11、in2φ=1，把圓C的參數(shù)方程為參數(shù)）化為（x﹣1）2+y2=1， ∴ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ． （II）設（ρ1，θ1）為點P的極坐標，由，解得． 設（ρ2，θ2）為點Q的極坐標，由，解得． ∵θ1=θ2，∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2． ∴|PQ|=2． 　 3．在極坐標系中，圓C的極坐標方程為：ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6．若以極點O為原點，極軸所在直線為x軸建立平面直角坐標系． （Ⅰ）求圓C的參數(shù)方程； （Ⅱ）在直角坐標系中，點P（x，y）是圓C上動點，試求x+y的最大值，并求出此時點P的直角坐標． 【解答】（本小題滿分10分）選修4﹣4：坐

12、標系與參數(shù)方程 解：（Ⅰ）因為ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6， 所以x2+y2=4x+4y﹣6， 所以x2+y2﹣4x﹣4y+6=0， 即（x﹣2）2+（y﹣2）2=2為圓C的普通方程．…（4分） 所以所求的圓C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)）．…（6分） （Ⅱ）由（Ⅰ）可得，…（7分） 當 時，即點P的直角坐標為（3，3）時，…（9分）x+y取到最大值為6．…（10分） 　 4．若以直角坐標系xOy的O為極點，Ox為極軸，選擇相同的長度單位建立極坐標系，得曲線C的極坐標方程是ρ=． （1）將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程，并指出曲線是什么曲線； （2）若直線l的參數(shù)方

13、程為（t為參數(shù)），，當直線l與曲線C相交于A，B兩點，求. 【解答】解：（1）∵ρ=，∴ρ2sin2θ=6ρcosθ， ∴曲線C的直角坐標方程為y2=6x．曲線為以（，0）為焦點，開口向右的拋物線． （2）直線l的參數(shù)方程可化為，代入y2=6x得t2﹣4t﹣12=0． 解得t1=﹣2，t2=6． ∴||=|t1﹣t2|=8． 　 5．在平面直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C1的參數(shù)方程為為參數(shù)），曲線C2的極坐標方程為． （1）求曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標方程； （2）設P為曲線C1上一點，Q曲線C2上一點，求|PQ

14、|的最小值及此時P點極坐標． 【解答】解：（1）由消去參數(shù)α，得曲線C1的普通方程為． 由得，曲線C2的直角坐標方程為． （2）設P（2cosα，2sinα），則 點P到曲線C2的距離為． 當時，d有最小值，所以|PQ|的最小值為． 　 6．在極坐標系中，曲線C的方程為ρ2=，點R（2，）． （Ⅰ）以極點為原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，把曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程，R點的極坐標化為直角坐標； （Ⅱ）設P為曲線C上一動點，以PR為對角線的矩形PQRS的一邊垂直于極軸，求矩形PQRS周長的最小值． 【解答】解：（Ⅰ）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，

15、 則：曲線C的方程為ρ2=，轉化成． 點R的極坐標轉化成直角坐標為：R（2，2）． （Ⅱ）設P（） 根據(jù)題意，得到Q（2，sinθ）， 則：|PQ|=，|QR|=2﹣sinθ， 所以：|PQ|+|QR|=． 當時，（|PQ|+|QR|）min=2， 矩形的最小周長為4． 　 7．已知平面直角坐標系中，曲線C1的參數(shù)方程為（φ為參數(shù)），以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ=2cosθ． （Ⅰ）求曲線C1的極坐標方程與曲線C2的直角坐標方程； （Ⅱ）若直線θ=（ρ∈R）與曲線C1交于P，Q兩點，求|PQ|的長度． 【解答】解：（I）曲線C1

16、的參數(shù)方程為（φ為參數(shù)），利用平方關系消去φ可得：+（y+1）2=9，展開為：x2+y2﹣2x+2y﹣5=0，可得極坐標方程：ρcosθ+2ρsinθ﹣5=0． 曲線C2的極坐標方程為ρ=2cosθ，即ρ2=2ρcosθ，可得直角坐標方程：x2+y2=2x． （II）把直線θ=（ρ∈R）代入ρcosθ+2ρsinθ﹣5=0， 整理可得：ρ2﹣2ρ﹣5=0， ∴ρ1+ρ2=2，ρ1?ρ2=﹣5， ∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|===2． 　 8．在直角坐標系中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸，以相同的長度單位建立極坐標系，己知直線l的極坐標方程為ρcosθ﹣ρsinθ=2，曲線C的極

17、坐標方程為ρsin2θ=2pcosθ（p＞0）． （1）設t為參數(shù)，若x=﹣2+t，求直線l的參數(shù)方程； （2）已知直線l與曲線C交于P、Q，設M（﹣2，﹣4），且|PQ|2=|MP|?|MQ|，求實數(shù)p的值． 【解答】解：（1）直線l的極坐標方程為ρcosθ﹣ρsinθ=2，化為直角坐標方程：x﹣y﹣2=0． ∵x=﹣2+t，∴y=x﹣2=﹣4+t，∴直線l的參數(shù)方程為：（t為參數(shù)）． （2）曲線C的極坐標方程為ρsin2θ=2pcosθ（p＞0），即為ρ2sin2θ=2pρcosθ（p＞0），可得直角坐標方程：y2=2px． 把直線l的參數(shù)方程代入可得：t2﹣（8+2p）t+8

18、p+32=0． ∴t1+t2=（8+2p），t1t2=8p+32． 不妨設|MP|=t1，|MQ|=t2． |PQ|=|t1﹣t2|===． ∵|PQ|2=|MP|?|MQ|， ∴8p2+32p=8p+32， 化為：p2+3p﹣4=0， 解得p=1． 　 9．在極坐標系中，射線l：θ=與圓C：ρ=2交于點A，橢圓Γ的方程為ρ2=，以極點為原點，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標系xOy （Ⅰ）求點A的直角坐標和橢圓Γ的參數(shù)方程； （Ⅱ）若E為橢圓Γ的下頂點，F(xiàn)為橢圓Γ上任意一點，求?的取值范圍． 【解答】解：（Ⅰ）射線l：θ=與圓C：ρ=2交于點A（2，），點A的直角坐標

19、（，1）； 橢圓Γ的方程為ρ2=，直角坐標方程為+y2=1，參數(shù)方程為（θ為參數(shù)）； （Ⅱ）設F（cosθ，sinθ）， ∵E（0，﹣1）， ∴=（﹣，﹣2），=（cosθ﹣，sinθ﹣1）， ∴?=﹣3cosθ+3﹣2（sinθ﹣1）=sin（θ+α）+5， ∴?的取值范圍是[5﹣，5+]． 　 10．已知在直角坐標系中，曲線的C參數(shù)方程為（φ為參數(shù)），現(xiàn)以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρ=． （1）求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標方程； （2）在曲線C上是否存在一點P，使點P到直線l的距離最?。咳舸嬖?，求出距離的最小值及點P的直角坐

20、標；若不存在，請說明理由． 【解答】解：（1）曲線的C參數(shù)方程為（φ為參數(shù)），普通方程為（x﹣1）2+（y﹣1）2=4， 直線l的極坐標方程為ρ=，直角坐標方程為x﹣y﹣4=0； （2）點P到直線l的距離d==， ∴φ﹣=2kπ﹣，即φ=2kπ﹣（k∈Z），距離的最小值為2﹣2，點P的直角坐標（1+，1﹣）． 　 11．已知曲線C1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以原點O為極點，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為． （ I）求曲線C2的直角坐標系方程； （ II）設M1是曲線C1上的點，M2是曲線C2上的點，求|M1M2|的最小值． 【解答】解：（I）由可得ρ

21、=x﹣2，∴ρ2=（x﹣2）2，即y2=4（x﹣1）； （Ⅱ）曲線C1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），消去t得：2x+y+4=0． ∴曲線C1的直角坐標方程為2x+y+4=0． ∵M1是曲線C1上的點，M2是曲線C2上的點， ∴|M1M2|的最小值等于M2到直線2x+y+4=0的距離的最小值． 設M2（r2﹣1，2r），M2到直線2x+y+4=0的距離為d， 則d==≥． ∴|M1M2|的最小值為． 　 12．設點A為曲線C：ρ=2cosθ在極軸Ox上方的一點，且0≤θ≤，以極點為原點，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標系xOy， （1）求曲線C的參數(shù)方程； （2）以A為直角頂點

22、，AO為一條直角邊作等腰直角三角形OAB（B在A的右下方），求點B軌跡的極坐標方程． 【解答】（1）θ為參數(shù)） （2）：設A（ρ0，θ0），且滿足ρ0=2cosθ0，B（ρ，θ）， 依題意，即 代入ρ0=2cosθ0并整理得，，， 所以點B的軌跡方程為，． 　 13．在平面直角坐標系xOy中，曲線C1：（φ為參數(shù)，實數(shù)a＞0），曲線C2：（φ為參數(shù)，實數(shù)b＞0）．在以O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，射線l：θ=α（ρ≥0，0≤α≤）與C1交于O、A兩點，與C2交于O、B兩點．當α=0時，|OA|=1；當α=時，|OB|=2． （Ⅰ）求a，b的值； （Ⅱ）求2|OA|

23、2+|OA|?|OB|的最大值． 【解答】解：（Ⅰ）由曲線C1：（φ為參數(shù)，實數(shù)a＞0）， 化為普通方程為（x﹣a）2+y2=a2，展開為：x2+y2﹣2ax=0， 其極坐標方程為ρ2=2aρcosθ，即ρ=2acosθ，由題意可得當θ=0時，|OA|=ρ=1，∴a=． 曲線C2：（φ為參數(shù)，實數(shù)b＞0）， 化為普通方程為x2+（y﹣b）2=b2，展開可得極坐標方程為ρ=2bsinθ， 由題意可得當時，|OB|=ρ=2，∴b=1． （Ⅱ）由（I）可得C1，C2的方程分別為ρ=cosθ，ρ=2sinθ． ∴2|OA|2+|OA|?|OB|=2cos2θ+2sinθcosθ=sin

24、2θ+cos2θ+1=+1， ∵2θ+∈，∴+1的最大值為+1， 當2θ+=時，θ=時取到最大值． 　 14．在平面直角坐標系中，曲線C1：（a為參數(shù)）經(jīng)過伸縮變換后的曲線為C2，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系． （Ⅰ）求C2的極坐標方程； （Ⅱ）設曲線C3的極坐標方程為ρsin（﹣θ）=1，且曲線C3與曲線C2相交于P，Q兩點，求|PQ|的值． 【解答】解：（Ⅰ）C2的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），普通方程為（x′﹣1）2+y′2=1， ∴C2的極坐標方程為ρ=2cosθ； （Ⅱ）C2是以（1，0）為圓心，2為半徑的圓，曲線C3的極坐標方程為ρsin（﹣θ）=1，

25、直角坐標方程為x﹣y﹣2=0， ∴圓心到直線的距離d==， ∴|PQ|=2=． 　 15．已知半圓C的參數(shù)方程為，a為參數(shù)，a∈[﹣，]． （Ⅰ）在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，求半圓C的極坐標方程； （Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，設T是半圓C上一點，且OT=，試寫出T點的極坐標． 【解答】解：（Ⅰ）由半圓C的參數(shù)方程為，a為參數(shù)，a∈[﹣，]， 則圓的普通方程為x2+（y﹣1）2=1（0≤x≤1）， 由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2， 可得半圓C的極坐標方程為ρ=2sinθ，θ∈[0，]； （Ⅱ）由題意可得半圓C的直

26、徑為2，設半圓的直徑為OA， 則sin∠TAO=， 由于∠TAO∈[0，]，則∠TAO=， 由于∠TAO=∠TOX， 所以∠TOX=， T點的極坐標為（，）． 　 16． 已知曲線C1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ=2sinθ． （Ⅰ）把C1的參數(shù)方程化為極坐標方程； （Ⅱ）求C1與C2交點的極坐標（ρ≥0，0≤θ＜2π） 【解答】解：（Ⅰ）曲線C1的參數(shù)方程式（t為參數(shù)）， 得（x﹣4）2+（y﹣5）2=25即為圓C1的普通方程， 即x2+y2﹣8x﹣10y+16=0． 將x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式，得． ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0，此即為C1的極坐標方程； （Ⅱ）曲線C2的極坐標方程為ρ=2sinθ化為直角坐標方程為：x2+y2﹣2y=0， 由，解得或． ∴C1與C2交點的極坐標分別為（，），（2，）．