《固體物理學(xué)》概念和習(xí)題 問(wèn)題詳解

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1、word 《固體物理學(xué)》概念和習(xí)題 固體物理根本概念和思考題： 1. 給出原胞的定義。 答：最小平行單元。 2. 給出維格納-賽茨原胞的定義。 答：以一個(gè)格點(diǎn)為原點(diǎn)，作原點(diǎn)與其它格點(diǎn)連接的中垂面(或中垂線)，由這些中垂面(或中垂線)所圍成的最小體積(或面積)即是維格納-賽茨原胞。 3. 二維布喇菲點(diǎn)陣類(lèi)型和三維布喇菲點(diǎn)陣類(lèi)型。 4. 請(qǐng)描述七大晶系的根本對(duì)稱(chēng)性。 5. 請(qǐng)給出密勒指數(shù)的定義。 6. 典型的晶體結(jié)構(gòu)〔簡(jiǎn)單或復(fù)式格子，原胞，基矢，基元坐標(biāo)〕。 7. 給出三維、二維晶格倒易點(diǎn)陣的定義。 8. 請(qǐng)給出晶體衍射的布喇格定律。 9. 給出布里淵區(qū)的定義。

2、10. 晶體的解理面是面指數(shù)低的晶面還是指數(shù)高的晶面？為什么？ 11. 寫(xiě)出晶體衍射的結(jié)構(gòu)因子。 12. 請(qǐng)描述離子晶體、共價(jià)晶體、金屬晶體、分子晶體的結(jié)合力形式。 13. 寫(xiě)出分子晶體的雷納德-瓊斯勢(shì)表達(dá)式，并簡(jiǎn)述各項(xiàng)的來(lái)源。 14. 請(qǐng)寫(xiě)出晶格振動(dòng)的波恩-卡曼邊界條件。 15. 請(qǐng)給出晶體彈性波中光學(xué)支、聲學(xué)支的數(shù)目與晶體原胞中基元原子數(shù)目之間的關(guān)系以與光學(xué)支、聲學(xué)支各自的振動(dòng)特點(diǎn)。〔晶體含N個(gè)原胞，每個(gè)原胞含p個(gè)原子，問(wèn)該晶體晶格振動(dòng)譜中有多少個(gè)光學(xué)支、多少個(gè)聲學(xué)支振動(dòng)模式？〕 16. 給出聲子的定義。 17. 請(qǐng)描述金屬、絕緣體熱容隨溫度的變化特點(diǎn)。 18. 在

3、晶體熱容的計(jì)算中，愛(ài)因斯坦和德拜分別做了哪些根本假設(shè)。 19. 簡(jiǎn)述晶體熱膨脹的原因。 20. 請(qǐng)描述晶體中聲子碰撞的正規(guī)過(guò)程和倒逆過(guò)程。 21. 分別寫(xiě)出晶體中聲子和電子分別服從哪種統(tǒng)計(jì)分布〔給出具體表達(dá)式〕？ 22. 請(qǐng)給出費(fèi)米面、費(fèi)米能量、費(fèi)米波矢、費(fèi)米溫度、費(fèi)米速度的定義。 23. 寫(xiě)出金屬的電導(dǎo)率公式。 24. 給出德曼-夫蘭茲定律。 25. 簡(jiǎn)述能隙的起因。 26. 請(qǐng)簡(jiǎn)述晶體周期勢(shì)場(chǎng)中描述電子運(yùn)動(dòng)的布洛赫定律。 27. 請(qǐng)給出在一級(jí)近似下，布里淵區(qū)邊界能隙的大小與相應(yīng)周期勢(shì)場(chǎng)的傅立葉分量之間的關(guān)系。 28. 給出空穴概念。 29. 請(qǐng)寫(xiě)出描述晶體中

4、電子和空穴運(yùn)動(dòng)的朗之萬(wàn)〔Langevin〕方程。 30. 描述金屬、半導(dǎo)體、絕緣體電阻隨溫度的變化趨勢(shì)。 31. 解釋直接能隙和間接能隙晶體。 32. 請(qǐng)說(shuō)明本征半導(dǎo)體與摻雜半導(dǎo)體的區(qū)別。 33. 請(qǐng)解釋晶體中電子的有效質(zhì)量的物理意義。 34. 給出半導(dǎo)體的電導(dǎo)率。 35. 說(shuō)明半導(dǎo)體的霍爾效應(yīng)與那些量有關(guān)。 36. 請(qǐng)解釋德哈斯-阿爾芬效應(yīng)。 37. 什么叫費(fèi)米液體？ 38. 請(qǐng)給出純金屬的電導(dǎo)率隨溫度的關(guān)系。 39. 請(qǐng)解釋刃位錯(cuò)、螺位錯(cuò)、晶界和小角晶界并畫(huà)出示意圖。 40. 請(qǐng)列出順磁性、抗磁性的主要區(qū)別。 41. 請(qǐng)列出鐵磁性固體的主要特征。

5、 42. 請(qǐng)列出亞鐵磁性與反鐵磁性的主要區(qū)別。 43. 什么是格波和聲子？晶體中聲子有多少種可能的量子態(tài)？ 44. 請(qǐng)說(shuō)明Debye熱容量模型的根本假設(shè)，為什么說(shuō)Debye熱容量模型在低溫下是正確的？ 45. 什么是近自由電子近似和緊束縛近似？ 46. 請(qǐng)用能帶論解釋晶體的導(dǎo)電性，并試述導(dǎo)體、半導(dǎo)體、絕緣體能帶的特點(diǎn)？ 47. 什么是n型半導(dǎo)體和p型半導(dǎo)體？什么是本征半導(dǎo)體？ 48. 試分析晶格熱振動(dòng)引起晶體熱膨脹的原因以與限制聲子自由程的原因。 《固體物理學(xué)》習(xí)題 注意：固體物理習(xí)題集〔黃波等編寫(xiě)〕上波矢q的定義〔q=1/λ〕與課堂上所用的波矢k相差2

6、π〔k=2π/λ〕；另外習(xí)題集上的量綱多采用厘米克秒制，注意其與國(guó)際單位制之間的轉(zhuǎn)換 1. 在14種布喇菲格子中，為什么沒(méi)有底心四方、面心四方和底心立方格子？ 2. 在六角晶系中常用4個(gè)指數(shù)〔h,k,i,l〕來(lái)表示，如圖，前三個(gè)指數(shù)表示晶面族中最靠近原點(diǎn)的晶面在互成120°的共平面軸a1,a2,a3上的截距為：a1/h,a2/k,a3/i，第4個(gè)指數(shù)表示該晶面在六重軸c上截距為c/l,證明：i=-(h+k),并將如下用(h,k,l)表示的晶面改用(h,k,i,l)表示：(001)(33)(10)(33)(100)(010)(3)。 答：根據(jù)幾何學(xué)可知，三維空間獨(dú)立的坐標(biāo)軸最多不超過(guò)三

7、個(gè)。前三個(gè)指數(shù)中只有兩 個(gè)是獨(dú)立的，它們之間存在以下關(guān)系：i＝-( h + k ) ?！?001〕，〔1323〕，〔1100〕，〔3213〕，〔1010〕，〔0110〕，〔2133〕。 3. 證明理想六角密堆積結(jié)構(gòu)的c/a比是=1.633，如果c/a值比這個(gè)值大得多，可以把晶體視為由原子密集平面所組成，這些面是疏松堆垛的。 4. 在單晶硅中，哪個(gè)晶面的原子面密度最大？在面心立方晶格中，哪個(gè)晶面的原子面密度最大？ 答：?jiǎn)尉Ч柚?，晶面上的原子密度?111)>(110)>(100)；面心立方晶格中，晶面原子排列密度〔111〕> (100) >(110)。 5. 如圖的兩種正六邊形〔

8、邊長(zhǎng)為a〕平面格子是布喇菲格子還是復(fù)式格子？應(yīng)如何選取其基矢和原胞？ 6. 六角空間點(diǎn)陣，六角空間點(diǎn)陣的基矢可以取為： ；；； 〔1〕 證明：原胞的體積是； 〔2〕證明：倒易點(diǎn)陣的基矢是：，，；因此直接點(diǎn)陣就是它本身的點(diǎn)陣，但軸經(jīng)過(guò)了轉(zhuǎn)動(dòng)； 〔3〕 描述并繪出六角空間點(diǎn)陣的第一布里淵區(qū)。 7. 證明第一布里淵區(qū)的體積是此處Vc是晶體初基晶胞的體積。 8. 金剛石的晶體結(jié)構(gòu)是一類(lèi)典型的結(jié)構(gòu)，如果晶胞是慣用立方體，基元由八個(gè) 原子組成； 〔1〕 給出這個(gè)基元的結(jié)構(gòu)因子； 〔2〕 求結(jié)構(gòu)因子的諸零點(diǎn)并證明金剛石結(jié)構(gòu)所允許的反射滿足h+k+l=4n，

9、且所有指數(shù)都是偶數(shù)，n是任何整數(shù)；否如此所有指數(shù)都是奇數(shù)。 ?體心立方、面心立方晶胞的結(jié)構(gòu)因子和消光條件。[如：面心立方晶體慣用晶胞基元包含幾個(gè)原子，寫(xiě)出其基元原子的位置和其衍射的結(jié)構(gòu)因子，并給出消光條件] 9. 如果a表示晶格常數(shù)，θ表示入射光束與衍射光束之間的交角，證明對(duì)于簡(jiǎn) 單立方晶格，式中〔h k l〕為密勒指數(shù)，𝜆為入射光波長(zhǎng)。 10. 畫(huà)出體心立方和面心立方晶體結(jié)構(gòu)的金屬在〔100〕，〔110〕，〔111〕面上的原子排列。 11. 假設(shè)一晶體的總互作用能可表示為：，試求： 〔1〕 平衡間距r0； 〔2〕 結(jié)合能W； 〔3〕 體彈性模量； 〔4

10、〕 假設(shè)m=2,n=10,r0=3?,W=4eV,求α、β的值。 12. (黃昆教材2.6)用雷納德-瓊斯勢(shì)計(jì)算Ne在體心立方和面心立方結(jié)構(gòu)中的結(jié) 合能之比。 13. (黃昆教材2.7)對(duì)于H2，從氣體的測(cè)量得到雷納德-瓊斯勢(shì)中的參數(shù)為：ε=50×10-23J，σ=2.96?，計(jì)算一摩爾氫原子結(jié)合成面心立方固體分子氫時(shí)的結(jié)合能。(A12=12.13, A6=14.45) 14. (固體物理習(xí)題集1.15和黃昆教材1.11) 證明六角晶體的介電常數(shù)量為 15. (固體物理習(xí)題集2.1) 設(shè)兩原子間的互作用能可表示為：式中，第一項(xiàng)為引力能； 第二項(xiàng)為排斥

11、能；α、β均為正常數(shù)。證明，要使這兩原子系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，必須n>m。 16. (固體物理習(xí)題集2.2) 設(shè)兩原子間的互作用能可由：表述。假設(shè)m=2,n=10，而且兩 原子構(gòu)成穩(wěn)定的分子，其核間距離為：3×10-10m，離解能為4eV,試計(jì)算： 〔1〕α和β； 〔2〕使該分子分裂所必須的力和當(dāng)分裂發(fā)生時(shí)原子核間的臨界間距； 〔3〕使原子間距比平衡距離減少10%時(shí)所需要的壓力。 17. (固體物理習(xí)題集2.11) 有一晶體，平均每對(duì)離子的互作用能為： 式中，R是最 RR近鄰離子間距；α是馬德隆常數(shù)；λ、An為常數(shù)。假設(shè)n=10, α=7.5,平衡時(shí)最近鄰距離R0=2.81×1

12、0-10m。求由2N=2×1022個(gè)離子組成的這種晶體平衡時(shí)的總互作用能。 18. (固體物理習(xí)題集2.21) 設(shè)LiF晶體(NaCl結(jié)構(gòu))的總互作用能可寫(xiě)成：， 式中， N、Z、R分別代表晶體的離子總數(shù)、任一離子的最近鄰數(shù)和離子間的最短間距；α是馬德隆常數(shù)；λ、ρ為參量。求平衡時(shí)最近鄰間距R0、總結(jié)合能U0和體積彈性模量B的表達(dá)式。 19. (固體物理習(xí)題集2.32) 設(shè)NaCl晶體的互作用能可表示為：式中的N、R、ρ、A分別為晶體中的離子數(shù)、近鄰離子間距、排斥核半徑和排斥能參數(shù)。實(shí)驗(yàn)測(cè)定，NaCl晶體近鄰離子的平衡間距R0=2.82×10-10m，體積彈性模量K=2.4×1011

13、dyn/cm2，NaCl結(jié)構(gòu)的馬德隆常數(shù)α=1.7476，試求NaCl晶體的排斥核半徑ρ和排斥能參數(shù)A。 20. 2N個(gè)正負(fù)離子組成一個(gè)一維鏈晶體。平衡時(shí)兩個(gè)最近鄰正負(fù)離子間距為R0。試證： (1)該晶體的馬德隆常數(shù)為μ＝2ln2。 (2)自然平衡狀態(tài)下的結(jié)合能為。 -q +q 21. (固體物理習(xí)題集3.5) 由N個(gè)一樣原子組成的一維單原子晶格格波的密度可以表示為：式中ωm是格波的最高頻率。求證它的振動(dòng)模總數(shù)恰好等N。 22. (固體物理習(xí)題集3.8) 設(shè)有一維原子鏈〔如圖〕，第2n個(gè)原子與第2n+1個(gè)原子之間的恢復(fù)力常數(shù)為β，第2n個(gè)原子與第2n-1個(gè)原子之間的

14、恢復(fù)力常數(shù)為β'〔β'<β〕。設(shè)兩種原子的質(zhì)量相等，最近鄰原子間距均為a，試求晶格振動(dòng)的振動(dòng)譜以與波矢q=0和q=±1/4a時(shí)的振動(dòng)頻率。 s 23. (固體物理習(xí)題集3.14) 設(shè)有一維雙原子鏈，鏈上最近鄰原子間的恢復(fù)力常數(shù)交織地等于β和10β。假設(shè)兩種原子的質(zhì)量相等，并且最近鄰間距為a/2，試求在波矢k=0和k=π/a處的ω(k)，并畫(huà)出其色散關(guān)系曲線。 24. (固體物理習(xí)題集3.21) 考慮一個(gè)由一樣原子組成的二維正方格子的橫振動(dòng)。設(shè)原子質(zhì)量為M，點(diǎn)陣常數(shù)為a，最近鄰原子間的恢復(fù)力常數(shù)為β，試求： 〔1〕格波的色散關(guān)系； 〔2〕長(zhǎng)波極限下格波的傳播速度。

15、 25. 邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的正方形二維晶體，含N個(gè)原胞，試求： 〔1〕 該點(diǎn)陣振動(dòng)的模式密度D(ω)； 〔2〕 德拜截止頻率νD和德拜溫度θD； 〔3〕 點(diǎn)陣振動(dòng)能表達(dá)式和低溫下比熱表達(dá)式。 〔其中〕 26. (固體物理習(xí)題集3.30) 一個(gè)頻率為ωi的諧振動(dòng)在溫度T下的平均能量 試用愛(ài)因斯坦模型求出由N個(gè)原子組成的單原子晶體晶格振動(dòng)的總能量，并求其在高溫和低溫極限情況下的表達(dá)式。 27. (固體物理習(xí)題集3.53) 設(shè)一維原子鏈中，兩原子的互作用能由下式表示 式中x為相鄰原子間距。求原子鏈的線脹系數(shù)α。 28. (固體物理習(xí)題集3.56) 設(shè)某離子晶體中離子間的互作

16、用能 式中，B為待定常數(shù)；r為近鄰離子間距。求該離子晶體的線脹系數(shù)。近鄰離子的平衡間距為3×10-10m。 29. 具有簡(jiǎn)立方結(jié)構(gòu)的晶體，原子間距為2?，由于晶體中非諧作用的存在，一但個(gè)沿[1,1,0]方向傳播的波矢為1.3×1010m-1的聲子同另一個(gè)波矢大小相等，沿[1,-1,0]方向傳播的聲子相互作用，合并成第三個(gè)聲子，試求新形成的第三個(gè)聲子的波矢。 30. (固體物理習(xí)題集5.10) 金屬銫的EF=1.55eV，求每立方厘米的銫晶體中所含的平均電子數(shù)。 31. (固體物理習(xí)題集3.14) 證明：在T=0K時(shí)，費(fèi)米能級(jí)E0F處的能態(tài)密度為 式中N為金屬中的自

17、由電子總數(shù)。 32. (固體物理習(xí)題集5.16) 證明：低溫下金屬中電子氣的費(fèi)米能 其中 為絕對(duì)零度的費(fèi)米能，n為電子濃度。 33. (固體物理習(xí)題集5.22) 證明，在T=0K時(shí)，金屬中自由電子氣的壓強(qiáng)和體積彈性模量分別為： , 式中EF0為T(mén)=0K時(shí)的費(fèi)米能；V、N分別代表金屬的體積和自由電子總數(shù)。 鋰〔體心立方結(jié)構(gòu)〕的晶格常數(shù)a=3.5×10-10m，費(fèi)米能EF0=7.6×10-19J，試估計(jì)鋰中自由電子對(duì)體積彈性模量的貢獻(xiàn)。 34. (固體物理習(xí)題集5.25) 證明：〔1〕T=0K時(shí)，金屬中自由電子的能量密度 式中，kF為費(fèi)米球半徑，

18、V為金屬體積。 〔2〕金屬中電子的平均能量 35. (固體物理習(xí)題集5.12) 3。 36. (固體物理習(xí)題集問(wèn)答6.5) 一維晶格能量E和波矢k的關(guān)系如如下圖。設(shè)電子能譜與自由電子一樣，試寫(xiě)出與簡(jiǎn)約波矢k=π/2a對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A〔第一能帶〕、B〔第二能帶〕和C〔第三能帶〕處的能量。 37. (固體物理習(xí)題集問(wèn)答6.7) 對(duì)簡(jiǎn)單立方、體心立方和面心立方晶格，由緊束縛近似導(dǎo)出的能帶底部電子的有效質(zhì)量均可表示為 能否據(jù)此斷言：具有這三種結(jié)構(gòu)的晶體，在能帶底部的電子具有同樣大小的有效質(zhì)量？ 38. (固體物理習(xí)題集6.1) 證明：在三維晶

19、格中，電子能量在k空間中具有周期性：E(k)=E(k+G)式中，G為任一倒格矢。 證明： 所以： 定義： 如此有： 所以：E(K)=E(K+G) 39. (固體物理習(xí)題集6.8) 設(shè)有一單價(jià)金屬，具有簡(jiǎn)單立方結(jié)構(gòu)，晶格常數(shù)a=3.345×10-10m，試求 〔1〕費(fèi)米球的半徑； 〔2〕費(fèi)米球到布里淵區(qū)邊界的最短距離。 40. (固體物理習(xí)題集6.14) 應(yīng)用緊束縛方法于一維單原子鏈，如只計(jì)與最近鄰原子間的相互作用，試證明其S態(tài)芯電子的能帶為E(k)=Emin+4Jsin2(πak) 式中，Emin為能帶底部的能量，J為交迭積分。并求能帶的寬度與能帶底部和頂部附近的電

20、子有效質(zhì)量。 41. (固體物理習(xí)題集6.20) 一矩形晶格，原胞邊長(zhǎng)a=2×10-10m，b=4×10-10m， 〔1〕畫(huà)出倒格子圖； 〔2〕以廣延圖和簡(jiǎn)約圖兩種形式，畫(huà)出第一布里淵區(qū)和 第二布里淵區(qū)； 〔3〕 畫(huà)出自由電子的費(fèi)米面〔設(shè)每個(gè)原胞有兩個(gè)電子〕。 42. (固體物理習(xí)題集8.23，8.24) 試證明：如只計(jì)與最近鄰原子間的相互作用，用緊束縛方法導(dǎo)出的體心立方晶體的S態(tài)電子的能帶為 E(k)=E0-A-8J[cos(πakx) cos(πaky) cos(πakz)] 式中J為交迭積分，試求： 〔1〕體心立方晶格能帶的寬度； 〔2

21、〕能帶底部和頂部電子的有效質(zhì)量； 〔3〕畫(huà)出沿kx方向〔ky=kz=0〕E(kx)和v(kx)的曲線。 43. (固體物理概念題與習(xí)題指導(dǎo)5.14) 某簡(jiǎn)立方晶體的晶格常數(shù)為a,其價(jià)電子的能帶： E= Acos(akx) cos(aky) cos(akz)+B (其中常數(shù)A,B>0) (1) 已測(cè)得帶頂電子的有效質(zhì)量 ,試求參數(shù)A; (2) 試求能帶寬度； (3) 試求布里淵區(qū)中心點(diǎn)附近電子的態(tài)密度。 所以能態(tài)密度為 44. (固體物理習(xí)題集7.13) 設(shè)vF, TF分別為費(fèi)米面電子的速度和平均自由時(shí)間，g(EF)為費(fèi)米能級(jí)處的狀態(tài)密度，證明

22、：對(duì)于球形費(fèi)米面的情況，電導(dǎo)率σ=e2 vF2TF g(EF)/3 45. (固體物理習(xí)題集8.1) 證明：在一給定溫度下，當(dāng)電子濃度n=ni(μh/μe)1/2，空穴濃度p=ni(μe/μh)1/2時(shí)，半導(dǎo)體的電導(dǎo)率為極小。這里ni是本征載流子濃度，μe和μh分別為電子和空穴的遷移率。 46. (固體物理習(xí)題集8.27) 實(shí)驗(yàn)得到一鍺樣品不呈現(xiàn)任何霍爾效應(yīng)。鍺中電子遷移率為3500cm2/V?s，空穴遷移率為1400cm2/V?s，問(wèn)電子電流在該樣品的總電流中所占的比例等于多少？ 47. (黃昆教材4.12) 設(shè)有二維正方晶格，晶體勢(shì)場(chǎng)為 用近自由電子近似的微擾論〔簡(jiǎn)并微擾

23、〕近似求出布里淵區(qū)頂角〔π/a,π/a〕處的能隙。(此題類(lèi)似于基特爾教材〔7.6〕) 48. (黃昆教材5.1) 設(shè)有一維晶體的電子能帶可以寫(xiě)成 其中，a是晶格常數(shù)，試求： 〔1〕能帶的寬度； 〔2〕電子在波矢k狀態(tài)的速度； 〔3〕能帶底部和能帶頂部的有效質(zhì)量。 49. (黃昆教材5.2) 晶格常數(shù)為2.5?的一維晶格，當(dāng)外加102V/m和107V/m電場(chǎng)時(shí)，試分別估算電子自能帶底運(yùn)動(dòng)到能帶頂所需要的時(shí)間。 50. (黃昆教材5.6) 假設(shè)E(k)=Ak2+c(kxky+kykz+kzkx)，導(dǎo)出k＝0點(diǎn)上的有效質(zhì)量量，并找出主軸方向〔使用

24、空間旋轉(zhuǎn)矩陣〕。 51. (黃昆教材6.1) He3的自旋為1/2，是費(fèi)米子。液體He33。計(jì)算費(fèi)米能EF和費(fèi)米溫度TF。 52. (黃昆教材6.3) 假設(shè)把銀看成具有球形費(fèi)米面的單價(jià)金屬，計(jì)算以下各量： 〔1〕費(fèi)米能和費(fèi)米溫度； 〔2〕費(fèi)米球半徑； 〔3〕費(fèi)米速度； 〔4〕費(fèi)米球面的橫截面積； 〔5〕在室溫與低溫時(shí)電子的平均自由程。 銀的密度等于10.5 g/cm3，原子量等于107.87，電阻率等于1.61×10-6Ω?cm 〔在295K〕0.038×10-6Ω?cm〔在20K〕。 53. (黃昆教材7.1)

25、InSb的電子有效質(zhì)量me=0.015m〔m為電子靜質(zhì)量〕，介電常數(shù)ε=18，晶格 常數(shù)a=6.479?，試計(jì)算： 〔1〕施主的電離能； 〔2〕基態(tài)的軌道半徑； 〔3〕假設(shè)施主均勻分布，相鄰雜質(zhì)原子的軌道之間發(fā)生交疊時(shí)，摻有的施主雜質(zhì)濃度應(yīng)高于多少？ 54. (黃昆教材7.3) Si中只含施主雜質(zhì)ND=1015/cm3?，F(xiàn)在40K下測(cè)得電子濃度為1012/cm3，試估算施主雜質(zhì)的電離能。 55. (黃昆教材7.4) 某一N型半導(dǎo)體電子濃度為1×1015/cm3，電子遷移率為1000cm2/Vs，求其電阻率。 56. (基特爾教材4.5) 孔氏異常〔Koh

26、n anomaly〕：假定晶面運(yùn)動(dòng)方程中平面力常數(shù)Cp取如下形式,其中A和k0是常數(shù)，而p遍取所有的整數(shù)值。這種形式是對(duì)于金屬的預(yù)期結(jié)果。利用這個(gè)公式和式求出ω2和?ω2/?K的表達(dá)式，證明K=k0時(shí)，?ω2/?K是無(wú)窮大，于是在k0處ω2對(duì)K或ω對(duì)K的圖形有一條垂直的切線：即在k0處色散關(guān)系ω〔K〕有一個(gè)扭折?！瞁. Kohn, Phys.Rev.Lett. 2(1959)393曾預(yù)言了與此有關(guān)的一個(gè)效應(yīng)?！? 57. (基特爾教材7.2) 約化能區(qū)中的自由電子能量?！瞐〕在空點(diǎn)陣近似下考慮面心立方晶體在約化能區(qū)圖式表示中的自由電子能帶，在約化能區(qū)圖式表示中所有的k都變換到 第一布里淵區(qū)。

27、粗略繪出[111]方向上的所有能帶的能量，直至相當(dāng)于布里淵區(qū)邊界k=(2π/a)(1/2,1/2,1/2)處的最低帶能量的6倍。就令這個(gè)能量為能量的單位。這個(gè)問(wèn)題明確，為什么帶邊不一定要在布里淵區(qū)中心。當(dāng)考慮到晶體勢(shì)場(chǎng)時(shí)，有幾個(gè)簡(jiǎn)并〔能帶交叉〕被消除。 58. (基特爾教材7.4) 金剛石結(jié)構(gòu)中的勢(shì)能?！瞐〕試證對(duì)于金剛石結(jié)構(gòu)，在G=2A時(shí)，一個(gè)電子所感受的晶體勢(shì)場(chǎng)的傅立葉分量UG為零，其中A是慣用立方晶胞的倒易點(diǎn)陣中的基矢。〔b)證明在周期點(diǎn)陣中波動(dòng)方程通常的一級(jí)近似解中與矢量A末端垂直的布里淵區(qū)邊界面上的能隙為零，并且證明在二級(jí)近似中該能隙不為零。 59. (基特爾教材7.6) 正

28、方點(diǎn)陣?？紤]在二維情況下具有晶體勢(shì)場(chǎng)U(x,y)=?4Ucos(2πx/a)cos(2πy/a) 的正方點(diǎn)陣。應(yīng)用中心方程近似求出布里淵區(qū)角點(diǎn)〔π/a,π/a〕處的能隙。這個(gè)問(wèn)題只需解一個(gè)2×2的行列式方程就足夠了。(此題類(lèi)似于黃昆教材4.12) 60. (基特爾教材9.3) 六角密堆積結(jié)構(gòu). 考慮點(diǎn)陣常數(shù)為a和c的三維簡(jiǎn)單六角點(diǎn)陣晶體的第一布里淵區(qū)，令表示平行于晶體點(diǎn)陣的軸的最短倒易點(diǎn)陣矢量。(a)證明六角密堆積晶體結(jié)構(gòu)的晶體勢(shì)U()的傅立葉分量U()為零； (b) U(2)是否也為零？(c)為什么原如此上可以得到由處于簡(jiǎn)單六角點(diǎn)陣的陣點(diǎn)上的二階原子所構(gòu)成的絕緣體？

29、(d)為什么不可能得到六角密堆積結(jié)構(gòu)的單價(jià)原子構(gòu)成的絕緣體？ 解：設(shè)原胞中有m個(gè)原子，他們?cè)谠械奈恢糜杀硎?，如此晶格?shì)能為 其中 正倒格矢分別為： ，對(duì)于平行于c軸的最短的倒格矢G，有 同理，對(duì)于六角密堆結(jié)構(gòu)，當(dāng)G=時(shí)， 簡(jiǎn)單六角原胞中含有一個(gè)原子，第一個(gè)能帶可容納2N個(gè)電子。假設(shè)晶體是雙價(jià)原子組成的，如此N個(gè)原子的體系可提供2N個(gè)價(jià)電子，這樣能帶可能全被填滿。所以在原如此上其可構(gòu)成絕緣體。 同理：?jiǎn)蝺r(jià)原子構(gòu)成的六角密堆結(jié)構(gòu)，是不可能成為絕緣體的。 61. (方俊鑫教材32題) 平面正六方形晶格〔如圖〕，六角形兩個(gè)對(duì)邊的間距是a，基矢; ;試畫(huà)出此晶體的第一、二、三布里淵區(qū)。 如如下圖： 62. (方俊鑫教材38題) 某晶體中電子的等能量曲面是橢球面，求能量E到E+dE之間的狀態(tài)數(shù)。 63. 某二維晶體，其原胞的基矢=2𝑎，=2𝑎；⊥。設(shè)晶體有N個(gè)原胞，每個(gè)原胞平均有1個(gè)電子：(1)畫(huà)出該晶體的第一、二布里淵區(qū)；(2)在擴(kuò)展布里淵區(qū)圖上畫(huà)出自由電子的費(fèi)米面。 39 / 39