《固體物理學(xué)》概念和習(xí)題 問題詳解

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1、word 《固體物理學(xué)》概念和習(xí)題 固體物理根本概念和思考題： 1. 給出原胞的定義。 答：最小平行單元。 2. 給出維格納-賽茨原胞的定義。 答：以一個格點(diǎn)為原點(diǎn)，作原點(diǎn)與其它格點(diǎn)連接的中垂面(或中垂線)，由這些中垂面(或中垂線)所圍成的最小體積(或面積)即是維格納-賽茨原胞。 3. 二維布喇菲點(diǎn)陣類型和三維布喇菲點(diǎn)陣類型。 4. 請描述七大晶系的根本對稱性。 5. 請給出密勒指數(shù)的定義。 6. 典型的晶體結(jié)構(gòu)〔簡單或復(fù)式格子，原胞，基矢，基元坐標(biāo)〕。 7. 給出三維、二維晶格倒易點(diǎn)陣的定義。 8. 請給出晶體衍射的布喇格定律。 9. 給出布里淵區(qū)的定義。

2、10. 晶體的解理面是面指數(shù)低的晶面還是指數(shù)高的晶面？為什么？ 11. 寫出晶體衍射的結(jié)構(gòu)因子。 12. 請描述離子晶體、共價(jià)晶體、金屬晶體、分子晶體的結(jié)合力形式。 13. 寫出分子晶體的雷納德-瓊斯勢表達(dá)式，并簡述各項(xiàng)的來源。 14. 請寫出晶格振動的波恩-卡曼邊界條件。 15. 請給出晶體彈性波中光學(xué)支、聲學(xué)支的數(shù)目與晶體原胞中基元原子數(shù)目之間的關(guān)系以與光學(xué)支、聲學(xué)支各自的振動特點(diǎn)?！簿w含N個原胞，每個原胞含p個原子，問該晶體晶格振動譜中有多少個光學(xué)支、多少個聲學(xué)支振動模式？〕 16. 給出聲子的定義。 17. 請描述金屬、絕緣體熱容隨溫度的變化特點(diǎn)。 18. 在

3、晶體熱容的計(jì)算中，愛因斯坦和德拜分別做了哪些根本假設(shè)。 19. 簡述晶體熱膨脹的原因。 20. 請描述晶體中聲子碰撞的正規(guī)過程和倒逆過程。 21. 分別寫出晶體中聲子和電子分別服從哪種統(tǒng)計(jì)分布〔給出具體表達(dá)式〕？ 22. 請給出費(fèi)米面、費(fèi)米能量、費(fèi)米波矢、費(fèi)米溫度、費(fèi)米速度的定義。 23. 寫出金屬的電導(dǎo)率公式。 24. 給出德曼-夫蘭茲定律。 25. 簡述能隙的起因。 26. 請簡述晶體周期勢場中描述電子運(yùn)動的布洛赫定律。 27. 請給出在一級近似下，布里淵區(qū)邊界能隙的大小與相應(yīng)周期勢場的傅立葉分量之間的關(guān)系。 28. 給出空穴概念。 29. 請寫出描述晶體中

4、電子和空穴運(yùn)動的朗之萬〔Langevin〕方程。 30. 描述金屬、半導(dǎo)體、絕緣體電阻隨溫度的變化趨勢。 31. 解釋直接能隙和間接能隙晶體。 32. 請說明本征半導(dǎo)體與摻雜半導(dǎo)體的區(qū)別。 33. 請解釋晶體中電子的有效質(zhì)量的物理意義。 34. 給出半導(dǎo)體的電導(dǎo)率。 35. 說明半導(dǎo)體的霍爾效應(yīng)與那些量有關(guān)。 36. 請解釋德哈斯-阿爾芬效應(yīng)。 37. 什么叫費(fèi)米液體？ 38. 請給出純金屬的電導(dǎo)率隨溫度的關(guān)系。 39. 請解釋刃位錯、螺位錯、晶界和小角晶界并畫出示意圖。 40. 請列出順磁性、抗磁性的主要區(qū)別。 41. 請列出鐵磁性固體的主要特征。

5、 42. 請列出亞鐵磁性與反鐵磁性的主要區(qū)別。 43. 什么是格波和聲子？晶體中聲子有多少種可能的量子態(tài)？ 44. 請說明Debye熱容量模型的根本假設(shè)，為什么說Debye熱容量模型在低溫下是正確的？ 45. 什么是近自由電子近似和緊束縛近似？ 46. 請用能帶論解釋晶體的導(dǎo)電性，并試述導(dǎo)體、半導(dǎo)體、絕緣體能帶的特點(diǎn)？ 47. 什么是n型半導(dǎo)體和p型半導(dǎo)體？什么是本征半導(dǎo)體？ 48. 試分析晶格熱振動引起晶體熱膨脹的原因以與限制聲子自由程的原因。 《固體物理學(xué)》習(xí)題 注意：固體物理習(xí)題集〔黃波等編寫〕上波矢q的定義〔q=1/λ〕與課堂上所用的波矢k相差2

6、π〔k=2π/λ〕；另外習(xí)題集上的量綱多采用厘米克秒制，注意其與國際單位制之間的轉(zhuǎn)換 1. 在14種布喇菲格子中，為什么沒有底心四方、面心四方和底心立方格子？ 2. 在六角晶系中常用4個指數(shù)〔h,k,i,l〕來表示，如圖，前三個指數(shù)表示晶面族中最靠近原點(diǎn)的晶面在互成120°的共平面軸a1,a2,a3上的截距為：a1/h,a2/k,a3/i，第4個指數(shù)表示該晶面在六重軸c上截距為c/l,證明：i=-(h+k),并將如下用(h,k,l)表示的晶面改用(h,k,i,l)表示：(001)(33)(10)(33)(100)(010)(3)。 答：根據(jù)幾何學(xué)可知，三維空間獨(dú)立的坐標(biāo)軸最多不超過三

7、個。前三個指數(shù)中只有兩 個是獨(dú)立的，它們之間存在以下關(guān)系：i＝-( h + k ) ?！?001〕，〔1323〕，〔1100〕，〔3213〕，〔1010〕，〔0110〕，〔2133〕。 3. 證明理想六角密堆積結(jié)構(gòu)的c/a比是=1.633，如果c/a值比這個值大得多，可以把晶體視為由原子密集平面所組成，這些面是疏松堆垛的。 4. 在單晶硅中，哪個晶面的原子面密度最大？在面心立方晶格中，哪個晶面的原子面密度最大？ 答：單晶硅中，晶面上的原子密度是(111)>(110)>(100)；面心立方晶格中，晶面原子排列密度〔111〕> (100) >(110)。 5. 如圖的兩種正六邊形〔

8、邊長為a〕平面格子是布喇菲格子還是復(fù)式格子？應(yīng)如何選取其基矢和原胞？ 6. 六角空間點(diǎn)陣，六角空間點(diǎn)陣的基矢可以取為： ；；； 〔1〕 證明：原胞的體積是； 〔2〕證明：倒易點(diǎn)陣的基矢是：，，；因此直接點(diǎn)陣就是它本身的點(diǎn)陣，但軸經(jīng)過了轉(zhuǎn)動； 〔3〕 描述并繪出六角空間點(diǎn)陣的第一布里淵區(qū)。 7. 證明第一布里淵區(qū)的體積是此處Vc是晶體初基晶胞的體積。 8. 金剛石的晶體結(jié)構(gòu)是一類典型的結(jié)構(gòu)，如果晶胞是慣用立方體，基元由八個 原子組成； 〔1〕 給出這個基元的結(jié)構(gòu)因子； 〔2〕 求結(jié)構(gòu)因子的諸零點(diǎn)并證明金剛石結(jié)構(gòu)所允許的反射滿足h+k+l=4n，

9、且所有指數(shù)都是偶數(shù)，n是任何整數(shù)；否如此所有指數(shù)都是奇數(shù)。 ?體心立方、面心立方晶胞的結(jié)構(gòu)因子和消光條件。[如：面心立方晶體慣用晶胞基元包含幾個原子，寫出其基元原子的位置和其衍射的結(jié)構(gòu)因子，并給出消光條件] 9. 如果a表示晶格常數(shù)，θ表示入射光束與衍射光束之間的交角，證明對于簡 單立方晶格，式中〔h k l〕為密勒指數(shù)，𝜆為入射光波長。 10. 畫出體心立方和面心立方晶體結(jié)構(gòu)的金屬在〔100〕，〔110〕，〔111〕面上的原子排列。 11. 假設(shè)一晶體的總互作用能可表示為：，試求： 〔1〕 平衡間距r0； 〔2〕 結(jié)合能W； 〔3〕 體彈性模量； 〔4

10、〕 假設(shè)m=2,n=10,r0=3?,W=4eV,求α、β的值。 12. (黃昆教材2.6)用雷納德-瓊斯勢計(jì)算Ne在體心立方和面心立方結(jié)構(gòu)中的結(jié) 合能之比。 13. (黃昆教材2.7)對于H2，從氣體的測量得到雷納德-瓊斯勢中的參數(shù)為：ε=50×10-23J，σ=2.96?，計(jì)算一摩爾氫原子結(jié)合成面心立方固體分子氫時的結(jié)合能。(A12=12.13, A6=14.45) 14. (固體物理習(xí)題集1.15和黃昆教材1.11) 證明六角晶體的介電常數(shù)量為 15. (固體物理習(xí)題集2.1) 設(shè)兩原子間的互作用能可表示為：式中，第一項(xiàng)為引力能； 第二項(xiàng)為排斥

11、能；α、β均為正常數(shù)。證明，要使這兩原子系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，必須n>m。 16. (固體物理習(xí)題集2.2) 設(shè)兩原子間的互作用能可由：表述。假設(shè)m=2,n=10，而且兩 原子構(gòu)成穩(wěn)定的分子，其核間距離為：3×10-10m，離解能為4eV,試計(jì)算： 〔1〕α和β； 〔2〕使該分子分裂所必須的力和當(dāng)分裂發(fā)生時原子核間的臨界間距； 〔3〕使原子間距比平衡距離減少10%時所需要的壓力。 17. (固體物理習(xí)題集2.11) 有一晶體，平均每對離子的互作用能為： 式中，R是最 RR近鄰離子間距；α是馬德隆常數(shù)；λ、An為常數(shù)。假設(shè)n=10, α=7.5,平衡時最近鄰距離R0=2.81×1

12、0-10m。求由2N=2×1022個離子組成的這種晶體平衡時的總互作用能。 18. (固體物理習(xí)題集2.21) 設(shè)LiF晶體(NaCl結(jié)構(gòu))的總互作用能可寫成：， 式中， N、Z、R分別代表晶體的離子總數(shù)、任一離子的最近鄰數(shù)和離子間的最短間距；α是馬德隆常數(shù)；λ、ρ為參量。求平衡時最近鄰間距R0、總結(jié)合能U0和體積彈性模量B的表達(dá)式。 19. (固體物理習(xí)題集2.32) 設(shè)NaCl晶體的互作用能可表示為：式中的N、R、ρ、A分別為晶體中的離子數(shù)、近鄰離子間距、排斥核半徑和排斥能參數(shù)。實(shí)驗(yàn)測定，NaCl晶體近鄰離子的平衡間距R0=2.82×10-10m，體積彈性模量K=2.4×1011

13、dyn/cm2，NaCl結(jié)構(gòu)的馬德隆常數(shù)α=1.7476，試求NaCl晶體的排斥核半徑ρ和排斥能參數(shù)A。 20. 2N個正負(fù)離子組成一個一維鏈晶體。平衡時兩個最近鄰正負(fù)離子間距為R0。試證： (1)該晶體的馬德隆常數(shù)為μ＝2ln2。 (2)自然平衡狀態(tài)下的結(jié)合能為。 -q +q 21. (固體物理習(xí)題集3.5) 由N個一樣原子組成的一維單原子晶格格波的密度可以表示為：式中ωm是格波的最高頻率。求證它的振動?？倲?shù)恰好等N。 22. (固體物理習(xí)題集3.8) 設(shè)有一維原子鏈〔如圖〕，第2n個原子與第2n+1個原子之間的恢復(fù)力常數(shù)為β，第2n個原子與第2n-1個原子之間的

14、恢復(fù)力常數(shù)為β'〔β'<β〕。設(shè)兩種原子的質(zhì)量相等，最近鄰原子間距均為a，試求晶格振動的振動譜以與波矢q=0和q=±1/4a時的振動頻率。 s 23. (固體物理習(xí)題集3.14) 設(shè)有一維雙原子鏈，鏈上最近鄰原子間的恢復(fù)力常數(shù)交織地等于β和10β。假設(shè)兩種原子的質(zhì)量相等，并且最近鄰間距為a/2，試求在波矢k=0和k=π/a處的ω(k)，并畫出其色散關(guān)系曲線。 24. (固體物理習(xí)題集3.21) 考慮一個由一樣原子組成的二維正方格子的橫振動。設(shè)原子質(zhì)量為M，點(diǎn)陣常數(shù)為a，最近鄰原子間的恢復(fù)力常數(shù)為β，試求： 〔1〕格波的色散關(guān)系； 〔2〕長波極限下格波的傳播速度。

15、 25. 邊長為L的正方形二維晶體，含N個原胞，試求： 〔1〕 該點(diǎn)陣振動的模式密度D(ω)； 〔2〕 德拜截止頻率νD和德拜溫度θD； 〔3〕 點(diǎn)陣振動能表達(dá)式和低溫下比熱表達(dá)式。 〔其中〕 26. (固體物理習(xí)題集3.30) 一個頻率為ωi的諧振動在溫度T下的平均能量 試用愛因斯坦模型求出由N個原子組成的單原子晶體晶格振動的總能量，并求其在高溫和低溫極限情況下的表達(dá)式。 27. (固體物理習(xí)題集3.53) 設(shè)一維原子鏈中，兩原子的互作用能由下式表示 式中x為相鄰原子間距。求原子鏈的線脹系數(shù)α。 28. (固體物理習(xí)題集3.56) 設(shè)某離子晶體中離子間的互作

16、用能 式中，B為待定常數(shù)；r為近鄰離子間距。求該離子晶體的線脹系數(shù)。近鄰離子的平衡間距為3×10-10m。 29. 具有簡立方結(jié)構(gòu)的晶體，原子間距為2?，由于晶體中非諧作用的存在，一但個沿[1,1,0]方向傳播的波矢為1.3×1010m-1的聲子同另一個波矢大小相等，沿[1,-1,0]方向傳播的聲子相互作用，合并成第三個聲子，試求新形成的第三個聲子的波矢。 30. (固體物理習(xí)題集5.10) 金屬銫的EF=1.55eV，求每立方厘米的銫晶體中所含的平均電子數(shù)。 31. (固體物理習(xí)題集3.14) 證明：在T=0K時，費(fèi)米能級E0F處的能態(tài)密度為 式中N為金屬中的自

17、由電子總數(shù)。 32. (固體物理習(xí)題集5.16) 證明：低溫下金屬中電子氣的費(fèi)米能 其中 為絕對零度的費(fèi)米能，n為電子濃度。 33. (固體物理習(xí)題集5.22) 證明，在T=0K時，金屬中自由電子氣的壓強(qiáng)和體積彈性模量分別為： , 式中EF0為T=0K時的費(fèi)米能；V、N分別代表金屬的體積和自由電子總數(shù)。 鋰〔體心立方結(jié)構(gòu)〕的晶格常數(shù)a=3.5×10-10m，費(fèi)米能EF0=7.6×10-19J，試估計(jì)鋰中自由電子對體積彈性模量的貢獻(xiàn)。 34. (固體物理習(xí)題集5.25) 證明：〔1〕T=0K時，金屬中自由電子的能量密度 式中，kF為費(fèi)米球半徑，

18、V為金屬體積。 〔2〕金屬中電子的平均能量 35. (固體物理習(xí)題集5.12) 3。 36. (固體物理習(xí)題集問答6.5) 一維晶格能量E和波矢k的關(guān)系如如下圖。設(shè)電子能譜與自由電子一樣，試寫出與簡約波矢k=π/2a對應(yīng)的點(diǎn)A〔第一能帶〕、B〔第二能帶〕和C〔第三能帶〕處的能量。 37. (固體物理習(xí)題集問答6.7) 對簡單立方、體心立方和面心立方晶格，由緊束縛近似導(dǎo)出的能帶底部電子的有效質(zhì)量均可表示為 能否據(jù)此斷言：具有這三種結(jié)構(gòu)的晶體，在能帶底部的電子具有同樣大小的有效質(zhì)量？ 38. (固體物理習(xí)題集6.1) 證明：在三維晶

19、格中，電子能量在k空間中具有周期性：E(k)=E(k+G)式中，G為任一倒格矢。 證明： 所以： 定義： 如此有： 所以：E(K)=E(K+G) 39. (固體物理習(xí)題集6.8) 設(shè)有一單價(jià)金屬，具有簡單立方結(jié)構(gòu)，晶格常數(shù)a=3.345×10-10m，試求 〔1〕費(fèi)米球的半徑； 〔2〕費(fèi)米球到布里淵區(qū)邊界的最短距離。 40. (固體物理習(xí)題集6.14) 應(yīng)用緊束縛方法于一維單原子鏈，如只計(jì)與最近鄰原子間的相互作用，試證明其S態(tài)芯電子的能帶為E(k)=Emin+4Jsin2(πak) 式中，Emin為能帶底部的能量，J為交迭積分。并求能帶的寬度與能帶底部和頂部附近的電

20、子有效質(zhì)量。 41. (固體物理習(xí)題集6.20) 一矩形晶格，原胞邊長a=2×10-10m，b=4×10-10m， 〔1〕畫出倒格子圖； 〔2〕以廣延圖和簡約圖兩種形式，畫出第一布里淵區(qū)和 第二布里淵區(qū)； 〔3〕 畫出自由電子的費(fèi)米面〔設(shè)每個原胞有兩個電子〕。 42. (固體物理習(xí)題集8.23，8.24) 試證明：如只計(jì)與最近鄰原子間的相互作用，用緊束縛方法導(dǎo)出的體心立方晶體的S態(tài)電子的能帶為 E(k)=E0-A-8J[cos(πakx) cos(πaky) cos(πakz)] 式中J為交迭積分，試求： 〔1〕體心立方晶格能帶的寬度； 〔2

21、〕能帶底部和頂部電子的有效質(zhì)量； 〔3〕畫出沿kx方向〔ky=kz=0〕E(kx)和v(kx)的曲線。 43. (固體物理概念題與習(xí)題指導(dǎo)5.14) 某簡立方晶體的晶格常數(shù)為a,其價(jià)電子的能帶： E= Acos(akx) cos(aky) cos(akz)+B (其中常數(shù)A,B>0) (1) 已測得帶頂電子的有效質(zhì)量 ,試求參數(shù)A; (2) 試求能帶寬度； (3) 試求布里淵區(qū)中心點(diǎn)附近電子的態(tài)密度。 所以能態(tài)密度為 44. (固體物理習(xí)題集7.13) 設(shè)vF, TF分別為費(fèi)米面電子的速度和平均自由時間，g(EF)為費(fèi)米能級處的狀態(tài)密度，證明

22、：對于球形費(fèi)米面的情況，電導(dǎo)率σ=e2 vF2TF g(EF)/3 45. (固體物理習(xí)題集8.1) 證明：在一給定溫度下，當(dāng)電子濃度n=ni(μh/μe)1/2，空穴濃度p=ni(μe/μh)1/2時，半導(dǎo)體的電導(dǎo)率為極小。這里ni是本征載流子濃度，μe和μh分別為電子和空穴的遷移率。 46. (固體物理習(xí)題集8.27) 實(shí)驗(yàn)得到一鍺樣品不呈現(xiàn)任何霍爾效應(yīng)。鍺中電子遷移率為3500cm2/V?s，空穴遷移率為1400cm2/V?s，問電子電流在該樣品的總電流中所占的比例等于多少？ 47. (黃昆教材4.12) 設(shè)有二維正方晶格，晶體勢場為 用近自由電子近似的微擾論〔簡并微擾

23、〕近似求出布里淵區(qū)頂角〔π/a,π/a〕處的能隙。(此題類似于基特爾教材〔7.6〕) 48. (黃昆教材5.1) 設(shè)有一維晶體的電子能帶可以寫成 其中，a是晶格常數(shù)，試求： 〔1〕能帶的寬度； 〔2〕電子在波矢k狀態(tài)的速度； 〔3〕能帶底部和能帶頂部的有效質(zhì)量。 49. (黃昆教材5.2) 晶格常數(shù)為2.5?的一維晶格，當(dāng)外加102V/m和107V/m電場時，試分別估算電子自能帶底運(yùn)動到能帶頂所需要的時間。 50. (黃昆教材5.6) 假設(shè)E(k)=Ak2+c(kxky+kykz+kzkx)，導(dǎo)出k＝0點(diǎn)上的有效質(zhì)量量，并找出主軸方向〔使用

24、空間旋轉(zhuǎn)矩陣〕。 51. (黃昆教材6.1) He3的自旋為1/2，是費(fèi)米子。液體He33。計(jì)算費(fèi)米能EF和費(fèi)米溫度TF。 52. (黃昆教材6.3) 假設(shè)把銀看成具有球形費(fèi)米面的單價(jià)金屬，計(jì)算以下各量： 〔1〕費(fèi)米能和費(fèi)米溫度； 〔2〕費(fèi)米球半徑； 〔3〕費(fèi)米速度； 〔4〕費(fèi)米球面的橫截面積； 〔5〕在室溫與低溫時電子的平均自由程。 銀的密度等于10.5 g/cm3，原子量等于107.87，電阻率等于1.61×10-6Ω?cm 〔在295K〕0.038×10-6Ω?cm〔在20K〕。 53. (黃昆教材7.1)

25、InSb的電子有效質(zhì)量me=0.015m〔m為電子靜質(zhì)量〕，介電常數(shù)ε=18，晶格 常數(shù)a=6.479?，試計(jì)算： 〔1〕施主的電離能； 〔2〕基態(tài)的軌道半徑； 〔3〕假設(shè)施主均勻分布，相鄰雜質(zhì)原子的軌道之間發(fā)生交疊時，摻有的施主雜質(zhì)濃度應(yīng)高于多少？ 54. (黃昆教材7.3) Si中只含施主雜質(zhì)ND=1015/cm3。現(xiàn)在40K下測得電子濃度為1012/cm3，試估算施主雜質(zhì)的電離能。 55. (黃昆教材7.4) 某一N型半導(dǎo)體電子濃度為1×1015/cm3，電子遷移率為1000cm2/Vs，求其電阻率。 56. (基特爾教材4.5) 孔氏異常〔Koh

26、n anomaly〕：假定晶面運(yùn)動方程中平面力常數(shù)Cp取如下形式,其中A和k0是常數(shù)，而p遍取所有的整數(shù)值。這種形式是對于金屬的預(yù)期結(jié)果。利用這個公式和式求出ω2和?ω2/?K的表達(dá)式，證明K=k0時，?ω2/?K是無窮大，于是在k0處ω2對K或ω對K的圖形有一條垂直的切線：即在k0處色散關(guān)系ω〔K〕有一個扭折?！瞁. Kohn, Phys.Rev.Lett. 2(1959)393曾預(yù)言了與此有關(guān)的一個效應(yīng)。〕 57. (基特爾教材7.2) 約化能區(qū)中的自由電子能量?！瞐〕在空點(diǎn)陣近似下考慮面心立方晶體在約化能區(qū)圖式表示中的自由電子能帶，在約化能區(qū)圖式表示中所有的k都變換到 第一布里淵區(qū)。

27、粗略繪出[111]方向上的所有能帶的能量，直至相當(dāng)于布里淵區(qū)邊界k=(2π/a)(1/2,1/2,1/2)處的最低帶能量的6倍。就令這個能量為能量的單位。這個問題明確，為什么帶邊不一定要在布里淵區(qū)中心。當(dāng)考慮到晶體勢場時，有幾個簡并〔能帶交叉〕被消除。 58. (基特爾教材7.4) 金剛石結(jié)構(gòu)中的勢能。〔a〕試證對于金剛石結(jié)構(gòu)，在G=2A時，一個電子所感受的晶體勢場的傅立葉分量UG為零，其中A是慣用立方晶胞的倒易點(diǎn)陣中的基矢?！瞓)證明在周期點(diǎn)陣中波動方程通常的一級近似解中與矢量A末端垂直的布里淵區(qū)邊界面上的能隙為零，并且證明在二級近似中該能隙不為零。 59. (基特爾教材7.6) 正

28、方點(diǎn)陣?？紤]在二維情況下具有晶體勢場U(x,y)=?4Ucos(2πx/a)cos(2πy/a) 的正方點(diǎn)陣。應(yīng)用中心方程近似求出布里淵區(qū)角點(diǎn)〔π/a,π/a〕處的能隙。這個問題只需解一個2×2的行列式方程就足夠了。(此題類似于黃昆教材4.12) 60. (基特爾教材9.3) 六角密堆積結(jié)構(gòu). 考慮點(diǎn)陣常數(shù)為a和c的三維簡單六角點(diǎn)陣晶體的第一布里淵區(qū)，令表示平行于晶體點(diǎn)陣的軸的最短倒易點(diǎn)陣矢量。(a)證明六角密堆積晶體結(jié)構(gòu)的晶體勢U()的傅立葉分量U()為零； (b) U(2)是否也為零？(c)為什么原如此上可以得到由處于簡單六角點(diǎn)陣的陣點(diǎn)上的二階原子所構(gòu)成的絕緣體？

29、(d)為什么不可能得到六角密堆積結(jié)構(gòu)的單價(jià)原子構(gòu)成的絕緣體？ 解：設(shè)原胞中有m個原子，他們在原胞中的位置由表示，如此晶格勢能為 其中 正倒格矢分別為： ，對于平行于c軸的最短的倒格矢G，有 同理，對于六角密堆結(jié)構(gòu)，當(dāng)G=時， 簡單六角原胞中含有一個原子，第一個能帶可容納2N個電子。假設(shè)晶體是雙價(jià)原子組成的，如此N個原子的體系可提供2N個價(jià)電子，這樣能帶可能全被填滿。所以在原如此上其可構(gòu)成絕緣體。 同理：單價(jià)原子構(gòu)成的六角密堆結(jié)構(gòu)，是不可能成為絕緣體的。 61. (方俊鑫教材32題) 平面正六方形晶格〔如圖〕，六角形兩個對邊的間距是a，基矢; ;試畫出此晶體的第一、二、三布里淵區(qū)。 如如下圖： 62. (方俊鑫教材38題) 某晶體中電子的等能量曲面是橢球面，求能量E到E+dE之間的狀態(tài)數(shù)。 63. 某二維晶體，其原胞的基矢=2𝑎，=2𝑎；⊥。設(shè)晶體有N個原胞，每個原胞平均有1個電子：(1)畫出該晶體的第一、二布里淵區(qū)；(2)在擴(kuò)展布里淵區(qū)圖上畫出自由電子的費(fèi)米面。 39 / 39