滬教版高二上數(shù)列數(shù)學歸納法例題及練習

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1、. . 數(shù)學歸納法 一. 教學容： 高三復習專題：數(shù)學歸納法 二. 教學目的 掌握數(shù)學歸納法的原理及應用 三. 教學重點、難點 數(shù)學歸納法的原理及應用 四. 知識分析 【知識梳理】 數(shù)學歸納法是證明關于正整數(shù)n的命題的一種方法，在高等數(shù)學中有著重要的用途，因而成為高考的熱點之一。近幾年的高考試題，不但要求能用數(shù)學歸納法去證明現(xiàn)代的結論，而且加強了對于不完全歸納法應用的考察，既要求歸納發(fā)現(xiàn)結論，又要求能證明結論的正確性，因此，初步形成"觀察—－歸納—－猜想—－證明〞的思維模式，就顯得特別重要。 一般地，證明一個與正整數(shù)n有關的命題，可按

2、以下步驟進展： 〔1〕〔歸納奠基〕證明當n取第一個值n = n0時命題成立； 〔2〕〔歸納遞推〕假設n = k〔〕時命題成立，證明當時命題也成立。 只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從開場的所有正整數(shù)n都成立。上述證明方法叫做數(shù)學歸納法。 數(shù)學歸納法是推理邏輯，它的第一步稱為奠基步驟，是論證的根底保證，即通過驗證落實傳遞的起點，這個根底必須真實可靠；它的第二步稱為遞推步驟，是命題具有后繼傳遞性的保證，即只要命題對某個正整數(shù)成立，就能保證該命題對后繼正整數(shù)都成立，兩步合在一起為完全歸納步驟，稱為數(shù)學歸納法，這兩步各司其職，缺一不可，特別指出的是，第二步不是判斷命題的真?zhèn)?，而是證明命題是

3、否具有傳遞性，如果沒有第一步，而僅有第二步成立，命題也可能是假命題。 【要點解析】 ? 1、用數(shù)學歸納法證明有關問題的關鍵在第二步，即n＝k＋1時為什么成立，n＝k＋1時成立是利用假設n＝k時成立，根據(jù)有關的定理、定義、公式、性質等數(shù)學結論推證出n＝k＋1時成立，而不是直接代入，否那么n＝k＋1時也成假設了，命題并沒有得到證明。 用數(shù)學歸納法可證明有關的正整數(shù)問題，但并不是所有的正整數(shù)問題都是用數(shù)學歸納法證明的，學習時要具體問題具體分析。 ? 2、運用數(shù)學歸納法時易犯的錯誤 〔1〕對項數(shù)估算的錯誤，特別是尋找n＝k與n＝k＋1的關系時，項數(shù)發(fā)生什么變化被弄錯。 〔2〕沒有利用歸納假

4、設：歸納假設是必須要用的，假設是起橋梁作用的，橋梁斷了就通不過去了。 〔3〕關鍵步驟模糊不清，"假設n＝k時結論成立，利用此假設證明n＝k＋1時結論也成立〞，是數(shù)學歸納法的關鍵一步，也是證明問題最重要的環(huán)節(jié)，對推導的過程要把步驟寫完整，注意證明過程的嚴謹性、規(guī)性。 【典型例題】 例1. 用數(shù)學歸納法證明：時，。 解析：①當時，左邊，右邊，左邊=右邊，所以等式成立。 ②假設時等式成立，即有，那么當時， ， 所以當時，等式也成立。 由①，②可知，對一切等式都成立。 點評：〔1〕用數(shù)學歸納法證明與自然數(shù)有關的一些等式，命題關鍵在于"先看項〞，弄清等式兩邊的構成規(guī)律，等式的兩邊各有多

5、少項，項的多少與n的取值是否有關，由到時等式的兩邊會增加多少項，增加怎樣的項。 〔2〕在本例證明過程中，〔I〕考慮"n取第一個值的命題形式〞時，需認真對待，一般情況是把第一個值代入通項，考察命題的真假，〔II〕步驟②在由到的遞推過程中，必須用歸納假設，不用歸納假設的證明就不是數(shù)學歸納法。 此題證明時假設利用數(shù)列求和中的拆項相消法，即 ，那么這不是歸納假設，這是套用數(shù)學歸納法的一種偽證。 〔3〕在步驟②的證明過程中，突出了兩個湊字，一"湊〞假設，二"湊〞結論，關鍵是明確時證明的目標，充分考慮由到時，命題形式之間的區(qū)別和聯(lián)系。 例2. 。 解析：〔1〕當時，左邊，右邊，命題成立。 〔

6、2〕假設當時命題成立，即 ， 那么當時， 左邊 。 上式說明當時命題也成立。 由〔1〕〔2〕知，命題對一切正整數(shù)均成立。 例3. 用數(shù)學歸納法證明：對一切大于1的自然數(shù)n，不等式 成立。 解析：①當時，左=，右，左>右，∴不等式成立。 ②假設時，不等式成立，即 ， 那么當時， ， ∴時，不等式也成立。 由①，②知，對一切大于1的自然數(shù)n，不等式都成立。 點評：〔1〕此題證明命題成立時，利用歸納假設，并對照目標式進展了恰當?shù)目s小來實現(xiàn)，也可以用上歸納假設后，證明不等式成立。 〔2〕應用數(shù)學歸納法證明與非零自然數(shù)有關的命題時要注意兩個步驟缺一不可，第①步成立是推理

7、的根底，第②步是推理的依據(jù)〔即成立，那么成立，成立，……，從而斷定命題對所有的自然數(shù)均成立〕。另一方面，第①步中，驗證中的未必是1，根據(jù)題目要求，有時可為2，3等；第②步中，證明時命題也成立的過程中，要作適當?shù)淖冃?，設法用上歸納假設。 例4. 假設不等式對一切正整數(shù)n都成立，求正整數(shù)a的最大值，并證明你的結論。 解析：取，。 令，得，而， 所以取，下面用數(shù)學歸納法證明， ， 〔1〕時，已證結論正確 〔2〕假設時， 那么當時，有 ， 因為， 所以， 所以， 即時，結論也成立， 由〔1〕〔2〕可知，對一切， 都有， 故a的最大值為25。 例5. 用數(shù)學歸納法證明：

8、能被9整除。 解析：方法一：令， 〔1〕能被9整除。 〔2〕假設能被9整除，那么 ∴能被9整除。 由〔1〕〔2〕知，對一切，命題均成立。 方法二：〔1〕，原式能被9整除， 〔2〕假設，能被9整除，那么時 ∴時也能被9整除。 由〔1〕，〔2〕可知，對任何，能被9整除。 點評：證明整除性問題的關鍵是"湊項〞，而采用增項、減項、拆項和因式分解等手段湊出時的情形，從而利用歸納假設使問題獲證。 例6. 求證：能被整除，。 解析：〔1〕當時，，命題顯然成立。 〔2〕設時，能被整除， 那么當時， 。 由歸納假設，上式中的兩項均能被整除， 故時命題成立。 由〔1〕〔2〕可知

9、，對，命題成立。 例7. 平面有n個圓，其中每兩個圓都交于兩點，且無三個圓交于一點，求證：這n個圓將平面分成個局部。 解析：①時，1個圓將平面分成2局部，顯然命題成立。 ②假設時，個圓將平面分成個局部， 當時， 第k+1個圓交前面k個圓于2k個點，這2k個點將圓分成2k段，每段將各自所在區(qū)域一分為二，于是增加了2k個區(qū)域，所以這k+1個圓將平面分成個局部，即個局部。 故時，命題成立。 由①，②可知，對命題成立。 點評：用數(shù)學歸納法證明幾何問題的關鍵是"找項〞，即幾何元素從k個變成k+1個時，所證的幾何量將增加多少，這需用到幾何知識或借助于幾何圖形來分析，在實在分析不出來的情況下

10、，將n=k+1和n=k分別代入所證的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加說明即可，這也是用數(shù)學歸納法證明幾何命題的一大技巧。 例8. 設，是否存在關于自然數(shù)n的函數(shù)，使等式對于的一切自然數(shù)都成立.并證明你的結論。 解析：當時，由， 得， 當時，由， 得， 猜想。 下面用數(shù)學歸納法證明： 當時，等式恒成立。 ①當時，由上面計算知，等式成立。 ②假設成立， 那么當時， ∴當時，等式也成立。 由①②知，對一切的自然數(shù)n，等式都成立。 故存在函數(shù)，使等式成立。 點評：〔1〕歸納、猜想時，關鍵是尋找滿足條件的與n的關系式，猜想的關系未必對任意的都滿足條件，故需用數(shù)學

11、歸納法證明。 〔2〕通過解答歸納的過程提供了一種思路：可直接解出，即 。 【模擬試題】 ? 1. 用數(shù)學歸納法證明"當n為正奇數(shù)時，能被整除〞時，第二步歸納假設應寫成 ?????? A. 假設時，命題成立 B. 假設時，命題成立 C. 假設時，命題成立 D. 假設時，命題成立 ? 2. 證明，假設時成立，當1時，左端增加的項數(shù)是 ?????? A. 1項??? B. 項???? C. k項??? D. 項 ? 3. 記凸k邊形的角和為，那么凸邊形的角和〔〕 ?????? A. ???? B. ????? C. ? D. ? 4. 某個命題與自然數(shù)n有關，假設時命題成

12、立，那么可推得當時該命題也成立，現(xiàn)當時，該命題不成立，那么可推得 ?????? A. 當時，該命題不成立 B. 當時，該命題成立 C. 當n=4時，該命題不成立 D. 當n=4時，該命題成立 ? 5. 用數(shù)學歸納法證明時，由到時，不等式左邊應添加的項是 ?????? A. ?? B. ????? C. D. ? 6. 〔5分〕在數(shù)列中，，且，，2成等差數(shù)列〔表示數(shù)列的前n項和〕，那么，，分別為__________；由此猜想___________。 ? 7. 〔5分〕對一切都成立，那么a=_____________，b=_____________，c=___________

13、__。 ? 8. 〔14分〕由以下各式： ，，，，……你能得出怎樣的結論.并進展證明。 ? 9. 〔16分〕設數(shù)列滿足，。 〔1〕證明：對一切正整數(shù)n均成立； 〔2〕令，判斷與的大小，并說明理由。 ? 10. 〔14分〕函數(shù)，設數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足，。 〔1〕用數(shù)學歸納法證明 〔2〕證明：。 ? 11. 〔16分〕〔2006年，〕數(shù)列滿足：，且 。 〔1〕求數(shù)列的通項公式； 〔2〕證明：對一切正整數(shù)n，不等式恒成立。 【試題答案】 ? 1. B???? 2. D??????? 3. B??????? 4. C??????? 5. C ? 6. ，，， ? 7. ，， ? 8. 解：對所給各式進展觀察比較，注意各不等式左邊最后一項的分母特點：，，，，…，猜想為，對應各式右端為。 歸納得一般結論 ①當時，結論顯然成立。 ②假設當時，結論成立， 即成立， 那么當時， ，即當時結論也成立。 由①②可知對任意，結論都成立。 ? 9. 解：〔1〕證明略。 〔2〕方法一： ， ∴。 方法二： 〔由〔1〕的結論〕 = ， ∴。 方法三： ， 故，因此。 優(yōu)選